有答案-寒假-数列-综合复习.docx

数列 综合练习题
1．若Sn是数列{an}的前n项和，则Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝
2．若数列{an}为等差数列，则有：
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和：Sn＝na1＋＝.
3．等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若Sn表示等差数列{an}的前n项和，则
Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等差数列．

一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为(　　)
A．24 B．22
C．20 D．－8
答案　A
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a7＋a11＝6，则S13等于(　　)
A．24 B．25
C．26 D．27
答案　C
解析　∵a3＋a7＋a11＝6，∴a7＝2，
∴S13＝＝13a7＝26.
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0 B．37
C．100 D．－37
答案　C
解析　设数列{an}，{bn}的公差分别为d，d′，
则a2＋b2＝(a1＋d)＋(b1＋d′)
＝(a1＋b1)＋(d＋d′)
＝100.
又∵a1＋b1＝100，∴d＋d′＝0.
∴a37＋b37＝(a1＋36d)＋(b1＋36d′)
＝(a1＋b1)＋36(d＋d′)＝100.
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于(　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
答案　B
解析　∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
∵a1＝5－d，a3＝5＋d，d>0，
∴a1a2a3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80，
∴d＝3，a1＝2.
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)
＝3a1＋33d＝3×2＋33×3＝105.
5．若{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则Sn>0成立的最大自然数n为(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
答案　A
解析　S4＝S8⇒a5＋a6＋a7＋a8＝0⇒a6＋a7＝0，又a1>0，d<0，S12＝＝0，n<12时，
Sn>0.
6．在等差数列{an}中，a1＝－2 008，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 012等于(　　)
A．－2 012 B．2 012
C．6 033 D．6 036
答案　D
解析　＝a1＋，
∴－＝a1＋d－a1－d
＝d＝2.
∴S2 012＝2 012×(－2 008)＋×2
＝2 012×3＝6 036.
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．
答案　80
解析　a6＋a7＋…＋a10＝S10－S5＝111－31＝80.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sp＝Sq(p，q∈N*且p≠q)，则Sp＋q＝________.
答案　0
解析　设Sn＝an2＋bn，由Sp＝Sq.
知ap2＋bp＝aq2＋bq，∴p＋q＝－.
∴Sp＋q＝a(p＋q)2＋b(p＋q)
＝a(－)2＋b(－)
＝－＝0.
9．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
答案　5或6
解析　d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
10．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　n2－2n＋21
解析　∵an＋1－an＝2n－1， ∴a2－a1＝1，a3－a2＝3，…， an－an－1＝2n－3，
n≥2. ∴an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)． ∴an＝20＋＝n2－2n＋21.
三、解答题
11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解　(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70， 整理得n2＋13n－140＝0. 解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－420＝0. 解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
12．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.
∴，∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n， ∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3， ∴2c2＋c＝0，∴c＝－ (c＝0舍去)．
能力提升
13．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，Sn为{an}的前n项的和，则下列结论正确的是(　　)
A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
答案　D
解析　∵S19＝＝19a10<0， S20＝.
而a1＋a20＝a10＋a11，∵a10<0，a11>0且|a10|<a11， ∴a10＋a11>0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)>0. 又∵d＝a11－a10>0. ∴Sn>0 (n≥20)．
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
……………………………
根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是______________.
答案　－＋3
解析　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1 (n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.

常见的几种求和方法

1．等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.
2．等比数列前n项和公式：
(1)当q＝1时，Sn＝na1；
(2)当q≠1时，Sn＝＝.
3．数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝.
4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：
(1)＝－；
(2)＝(－)；
(3)＝－.

一、选择题
1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　∵an＝＝－，
∴S5＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＝.
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为(　　)
A．11 B．99 C．120 D．121
答案　C
解析　∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
3．数列1，2，3，4，…的前n项和为(　　)
A.(n2＋n＋2)－ B.n(n＋1)＋1－
C.(n2－n＋2)－ D.n(n＋1)＋2(1－)
答案　A
解析　1＋2＋3＋…＋(n＋)
＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋) ＝＋
＝(n2＋n)＋1－ ＝(n2＋n＋2)－.
4．已知数列{an}的通项an＝2n＋1，由bn＝所确定的数列{bn}的前n项之和是(　　)
A．n(n＋2) B.n(n＋4) C.n(n＋5) D.n(n＋7)
答案　C
解析　a1＋a2＋…＋an＝(2n＋4)＝n2＋2n.
∴bn＝n＋2，∴bn的前n项和Sn＝.
5．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案　B
解析　S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9，
S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17，
S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25，
所以S17＋S33＋S50＝1.
6．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an等于(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n＋1 D．4n－1
答案　A
解析　由于an－an－1＝1×2n－1＝2n－1，
那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
二、填空题
7．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项是________．
答案　－6
8．在数列{an}中，an＋1＝，对所有正整数n都成立，且a1＝2，则an＝______.
答案　
解析　∵an＋1＝，∴＝＋.
∴是等差数列且公差d＝.
∴＝＋(n－1)×＝＋＝， ∴an＝.
9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________．
答案　1 473
解析　100内所有能被3整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝＝1 683.
100内所有能被21整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210.
∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为
S1－S2＝1 683－210＝1 473.
10．数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn (n≥1)，则an＝____________.
答案　
解析　an＋1＝Sn，an＋2＝Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝(Sn＋1－Sn)＝an＋1， ∴an＋2＝an＋1 (n≥1)．
∵a2＝S1＝，∴an＝.
三、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n.
(2)由(1)知an＝2n＋1 所以bn＝＝＝·
＝·， 所以Tn＝·(1－＋－＋…＋－)
＝·(1－)＝， 即数列{bn}的前n项和Tn＝.
12．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
能力提升
13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案　A
解析　∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln＝ln(n＋1)－ln n.
又a1＝2，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n.
14．已知正项数列{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，求{an}的通项公式．
解　当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝(a1＋1)2，
解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)2－(an－1＋1)2＝(a－a＋2an－2an－1)，
∴a－a－2(an＋an－1)＝0，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0.
∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

数列 章末复习课

一、选择题
1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)
1

2

1

a

b

c
A.1 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　由题意知，a＝，b＝，c＝，
故a＋b＋c＝1.
2．已知等比数列{an}，a1＝3，且4a1、2a2、a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33 B．72 C．84 D．189
答案　C
解析　由题意可设公比为q，则4a2＝4a1＋a3，
又a1＝3，∴q＝2. ∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.
3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
答案　C
解析　设项数为2n，公比为q.
由已知S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1. ①
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n. ②
②÷①得，q＝＝2，
∴S2n＝S奇＋S偶＝255＝＝， ∴2n＝8.
4．在公差不为零的等差数列{an}中，a1，a3，a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an等于(　　)
A．n B．n＋1 C．2n－1 D．2n＋1
答案　B
解析　由题意a＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，
得a1d＝2d2.
又d≠0，∴a1＝2d，S7＝7a1＋d＝35d＝35.
∴d＝1，a1＝2，an＝a1＋(n－1)d＝n＋1.
5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n (n≥2，n∈N＋)，则的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，
∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝， ∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，
∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝， ∴＝×＝.
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，数列{bn}满足bn＝ln an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}前n项和的最大值等于(　　)
A．126 B．130 C．132 D．134
答案　C
解析　∵{an}是各项不为0的正项等比数列，
∴{bn}是等差数列．
又∵b3＝18，b6＝12，∴b1＝22，d＝－2，
∴Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n， ＝－(n－)2＋
∴当n＝11或12时，Sn最大， ∴(Sn)max＝－112＋23×11＝132.
二、填空题
7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．
答案　2,4,8
解析　设这三个数为，a，aq.由·a·aq＝a3＝64，得a＝4.
由＋a＋aq＝＋4＋4q＝14.解得q＝或q＝2.
∴这三个数从小到大依次为2,4,8.
8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．
答案　5
解析　S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12；S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11.
则，∴S奇＝162，S偶＝192，
∴S偶－S奇＝6d＝30，d＝5.
9．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.
答案　0
解析　∵a，b，c成等差数列，设公差为d，
则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz
＝dlogm＝dlogm1＝0.
10．等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则a13＋a14＋a15＝________.
答案　48
解析　易知q≠1，∴，
∴＝1＋q3＝3，∴q3＝2. ∴a13＋a14＋a15＝(a1＋a2＋a3)q12 ＝S3·q12＝3×24＝48.
三、解答题
11．设{an}是等差数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.
解　设等差数列{an}的公差为d，
则＝＝an＋1－an＝d.
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝d.
∴b1b2b3＝b＝，∴b2＝.
∴，解得或.当时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)
此时，bn＝b1qn－1＝·4n－1＝22n－5. 由bn＝5－2n＝an，∴an＝5－2n.
当时，q2＝，∴q＝
此时，bn＝b1qn－1＝2·n－1＝2n－3＝an，
∴an＝2n－3. 综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.
12．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出最大的整数t；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵d>0，∴d＝2
∵a1＝1.∴an＝2n－1 (n∈N*)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝ ＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0， ∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9. 又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.
能力提升
13．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰为等比数列，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋…＋kn.
解　由题意知a＝a1a17，
即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)． ∵d≠0，由此解得2d＝a1.
公比q＝＝＝3.∴akn＝a1·3n－1. 又akn＝a1＋(kn－1)d＝a1，
∴a1·3n－1＝a1. ∵a1≠0，∴kn＝2·3n－1－1，
∴k1＋k2＋…＋kn＝2(1＋3＋…＋3n－1)－n ＝3n－n－1.
14．设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：
3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f (n＝2,3,4，…)．求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2n·b2n＋1.
(1)证明　由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，
得a2＝，＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t， ① 3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t. ②
① －②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0.
∴＝，(n＝2,3，…)． ∴数列{an}是一个首项为1， 公比为的等比数列．
(2)解　由f(t)＝＝＋， 得bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列． ∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)解　由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列．
于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1
＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)
＝－(b2＋b4＋…＋b2n)＝－·n ＝－(2n2＋3n)．

数列 章末检测 （A）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于(　　)
A．667 B．668 C．669 D．671
答案　D
解析　由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15 B．30 C．31 D．64
答案　A
解析　在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12，
∴a12＝16－1＝15.
3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)
A．81 B．120 C．168 D．192
答案　B
解析　由a5＝a2q3得q＝3.
∴a1＝＝3，
S4＝＝＝120.
4．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
答案　B
解析　∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)
＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)
＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54，
∴a1＋a20＝18.
∴S20＝＝180.
5．数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值(　　)
A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3
C．存在且不唯一 D．不一定存在
答案　B
解析　依题意，
bn＝b1·n－1＝·3n－3＝3n－2，
∴an＋logkbn＝3n－7＋logk3n－2
＝3n－7＋(3n－2)logk
＝n－7－2logk，
∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，
即logk3＝1，∴k＝3.
6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)
A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对
答案　A
解析　∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，
∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.
7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于(　　)
A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2
答案　C
解析　依题意有2a4＝a6－a5，
即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，
∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.
∴q＝－1或q＝2.
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
答案　A
解析　显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝⇒q5＝－，
故＝＝＝＝.
9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为a＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.
所以＝＝.
10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)
A．21 B．20 C．19 D．18
答案　B
解析　∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，
∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴当n＝20时，Sn有最大值．
11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
答案　D
解析　由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．
12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的(　　)
A．第48项 B．第49项
C．第50项 D．第51项
答案　C
解析　将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，
即，，，…，，
则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13.－1与＋1的等比中项是________．
答案　±1
14．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．
答案　－4
解析　由，解得－≤d<－，
∵d∈Z，∴d＝－4.
15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．
答案　15
解析　设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.
16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①0<q<1；②a99a101－1<0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)
答案　①②④
解析　①中，⇒
⇒q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中，⇒a99a101<1，∴②正确．
③中，⇒T100<T99，∴③错误．
④中，T198＝a1a2…a198
＝(a1a198)(a2a197)…(a99a100)
＝(a99a100)99>1，
T199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)…(a99a101)·a100
＝a199100<1，∴④正确．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3＝－6，a6＝0，
所以
解得a1＝－10，d＝2.
所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
解　设{an}的公差为d，则

即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
(1)解　设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1.
(2)证明　因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和．
(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1
两边乘以2得：2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.

21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列{}的前n项和Tn＝.
(1)解　由已知(n≥2)，
得an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×()n－2(n≥2)．
∴an＝
(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log[×()n－1]＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋
＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－＝.
22．(14分)已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)(an＋2)，并且a2，a4，a9成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
解　(1)∵对任意n∈N*，有Sn＝(an＋1)(an＋2)， ①
∴当n＝1时，有S1＝a1＝(a1＋1)(a1＋2)，
解得a1＝1或2.
当n≥2时，有Sn－1＝(an－1＋1)(an－1＋2)． ②
①－②并整理得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
而数列{an}的各项均为正数，∴an－an－1＝3.
当a1＝1时，an＝1＋3(n－1)＝3n－2，
此时a＝a2a9成立；
当a1＝2时，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，
此时a＝a2a9不成立，舍去．
∴an＝3n－2，n∈N*.
(2)T2n＝b1＋b2＋…＋b2n
＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－6a2－6a4－…－6a2n
＝－6(a2＋a4＋…＋a2n)
＝－6×＝－18n2－6n.

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