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常州数学.doc

上传人:仙人****88 文档编号:9343675 上传时间:2025-03-22 格式:DOC 页数:12 大小:5MB
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2014届高三调研测试试卷(三) 数  学 (满分160分,考试时间120分钟) 2014.1 参考公式: 样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-)2,其中= 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上. 1. 设集合A={x|x2<1,x∈R},B={x|0≤x≤2},则A∩B=________. 2. 若=1+ni(m、n∈R,i为虚数单位),则mn的值为________. 3. 已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为2x-y=0,则a的值为________. 4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一、高二年级分别有80名、50名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了24名,则在高二年级学生中应抽取的人数为________. 5. 某市连续5天测得空气中PM2.5(直径小于或等于2.5 μm的颗粒物)的数据(单位:μg/m3)分别为115,125,132,128,125,则该组数据的方差为________. 6. 函数y=2sin2x+3cos2x-4的最小正周期为________. 7. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________. 8. 已知实数x、y满足约束条件则z=5-x2-y2的最大值为________. 9. 若曲线C1:y=3x4-ax3-6x2与曲线C2:y=ex在x=1处的切线互相垂直,则实数a的值为________. 10. 给出下列命题: ① 若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; ② 若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; ③ 若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; ④ 若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题是________.(填序号) 11. 已知θ∈,等比数列{an}中,a1=1,a4=tan33θ.若数列{an}的前2 014项的和为0,则θ的值为________. 12. 已知函数f(x)=若f(f(-2))>f(k),则实数k的取值范围为________. 13. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若tanA=7tanB,=3,则c=________. 14. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M、N为圆O上不同的两点,且满足·=0.若=+,则||的最小值为________. 二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量m=(a,c),n=(cosC,cosA). (1) 若m∥n,c=a,求角A; (2) 若m·n=3bsinB,cosA=,求cosC的值. 16、(本小题满分14分) 如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥BC,E、F分别是A1B、AC1的中点. (1) 求证:EF∥平面ABC; (2) 求证:平面AEF⊥平面AA1B1B; (3) 若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥FABC的体积. 17、(本小题满分14分) 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,已知S3=a5,S5=25. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若p、q为互不相等的正整数,且等差数列{bn}满足b1=,bap=p,baq=q,求数列{bn}的前n项和Tn. 18、(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的右准线为直线l,动直线y=kx+m(k<0,m>0)交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为M,射线OM分别交椭圆及直线l于P、Q两点,如图.若A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点时,点Q的纵坐标为(其中e为椭圆的离心率),且OQ=OM. (1) 求椭圆E的标准方程; (2) 如果OP是OM、OQ的等比中项,那么是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由. 19、(本小题满分16分) 几名大学毕业生合作开设3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:① 当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5)2+10 050;② 当60≤x≤70时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(元),月利润=月销售总额-月总成本. (1) 求M关于销售价格x的函数关系式; (2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格. 20、(本小题满分16分) 已知函数f(x)=lnx-x-,a∈R. (1) 当a=0时,求函数f(x)的极大值; (2) 求函数f(x)的单调区间; (3) 当a>1时,设函数g(x)=.若实数b满足:b>a且g=g(a),g(b)=2g,求证:4<b<5. 2014届高三调研测试试卷(三) 数学附加题 (满分40分,考试时间30分钟) 21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修41:几何证明选讲) 如图,等腰梯形ABCD内接于圆O,AB∥CD.过点A作圆O的切线交CD的延长线于点E.求证:∠DAE=∠BAC. B. (选修42:矩阵与变换) 已知直线l:ax-y=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线l′,若直线l′过点(1,1),求实数a的值. C. (选修44:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知点P,直线l:ρcos=2,求点P到直线l的距离. D. (选修45:不等式选讲) 已知x≥1,y≥1,求证:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y. 【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 22. 如图,在三棱锥PABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点O、D分别是AB、PB的中点,PO⊥AB,连结CD. (1) 若PA=2a,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小; (2) 若二面角APBC的余弦值的大小为,求PA. 23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集. (1) 若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; (2) 若M={a1,a2,a3,…,an},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数. 2014届高三调研测试试卷(三)(常州) 数学参考答案及评分标准 1. [0,1) 2. -1 3. 1 4. 15 5. 31.6 6. π 7.  8.  9. 10. ①② 11. - 12. (log9,4) 13. 4 14. 3- 15. 解:(1) ∵ m∥n,∴ acosA=ccosC.由正弦定理,得sinAcosA=sinCcosC. 化简,得sin2A=sin2C.(2分) ∵ A、C∈(0,π),∴ 2A=2C或2A+2C=π, 从而A=C(舍)或A+C=. ∴ B=.(4分) 在Rt△ABC中,tanA==,A=.(6分) (2) ∵ m·n=3bcosB,∴ acosC+ccosA=3bsinB. 由正弦定理,得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B,从而sin(A+C)=3sin2B. ∵ A+B+C=π,∴ sin(A+C)=sinB.从而sinB=.(8分) ∵ cosA=>0,A∈(0,π),∴ A∈,sinA=.(10分) ∵ sinA>sinB,∴ a>b,从而A>B,B为锐角,cosB= .(12分) ∴ cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=.(14分) 16. (1) 证明:连结A1C.∵ 直三棱柱A1B1C1ABC中,AA1C1C是矩形, ∴ 点F在A1C上,且为A1C的中点. 在△A1BC中,∵ E、F分别是A1B、A1C的中点,∴ EF∥BC.(2分) ∵ BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴ EF∥平面ABC.(4分) (2) 证明:∵ 在直三棱柱A1B1C1ABC中,B1B⊥平面ABC,∴ B1B⊥BC. ∵ EF∥BC,AB⊥BC,∴ AB⊥EF,B1B⊥EF.(6分) ∵ B1B∩AB=B,∴ EF⊥平面ABB1A1.(8分) ∵ EF⊂平面AEF,∴ 平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分) (3) 解:VFABC=VA1ABC=××S△ABC×AA1(12分) =××a2×2a=.(14分) 17. 解:(1) 由已知,得解得(4分) ∴ an=2n-1.(6分) (2) p、q为正整数,由(1)得ap=2p-1,aq=2q-1.(8分) 进一步由已知,得b2p-1=p,b2q-1=q.(10分) ∵ {bn}是等差数列,p≠q,∴ {bn}的公差d′==.(12分) ∴ Tn=nb1+d′=.(14分) 18. 解:当A、B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时,则A(a,0)、B(0,b)、M. ∵ Q,∴ 由O、M、Q三点共线,得=,化简得b=1.(2分) ∵ OQ=OM,∴ =,化简得2a=c. 由 解得(4分) (1) 椭圆E的标准方程为+y2=1.(6分) (2) 把y=kx+m(k<0,m>0),代入+y2=1,得 (5k2+1)x2+10mkx+5m2-5=0.(8分) 当Δ>0,5k2-m2+1>0时,xM=-,yM=, 从而点M.(10分) ∴ 直线OM的方程y=-x. 由得x=.(12分) ∵ OP是OM、OQ的等比中项,∴ OP2=OM·OQ, 从而x=|xM|xQ=-.(14分) 由=-,得m=-2k,从而=-2,满足Δ>0.(15分) ∴ 为常数-2.(16分) 19. 解:(1) 当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5)2+10 050, 解得a=2.(2分) ∴ M(x)= 即M(x)=(4分) (注:写到上一步,不扣分.) (2) 设g(u)=(-2u2-20u+10 000)(u-34)-20 000,34≤u<60,u∈R,则 g′(u)=-6(u2-16u-1 780). 令g′(u)=0,解得u1=8-2(舍去),u2=8+2∈(50,51).(7分) 当34<u<50时,g′(u)>0,g(u)单调递增; 当51<u<60时,g′(u)<0,g(u)单调递减.(10分) ∵ x∈N*,M(50)=44 000,M(51)=44 226,∴ M(x)的最大值为44 226.(12分) 当60≤x≤76时,M(x)=100(-x2+110x-2 584)-20 000单调递减, 故此时M(x)的最大值为M(60)=21 600.(14分) 综上所述,当x=51时,月利润M(x)有最大值44 226元.(15分) 答:该打印店月利润最大为44 226元,此时产品的销售价格为51元/件.(16分) 20. (1) 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当a=0时,f(x)=lnx-x,f′(x)=-1,令f′(x)=0得x=1.(1分) 列表: x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - f(x) ↑ 极大值 ↓ ∴ f(x)的极大值为f(1)=-1.(3分) (2) 解:f′(x)=-1+=. 令f′(x)=0,得-x2+x+a=0,记Δ=1+4a. (i) 当a≤-时,f′(x)≤0,∴ f(x)单调减区间为(0,+∞);(5分) (ii) 当a>-时,由f′(x)=0得x1=,x2=, ① 若-<a<0,则x1>x2>0, 由f′(x)<0,得0<x<x2,x>x1;由f′(x)>0,得x2<x<x1. ∴ f(x)的单调减区间为,,单调增区间为;(7分) ② 若a=0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞); ③ 若a>0,则x1>0>x2, 由f′(x)<0,得x>x1;由f′(x)>0,得0<x<x1. f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(9分) 综上所述:当a≤-时,f(x)的单调减区间为(0,+∞); 当-<a<0时,f(x)的单调减区间为,,单调增区间为; 当a≥0时,f(x)单调减区间为,单调增区间为.(10分) (3) 证明:g(x)=|ln(x-1)|(x>1). 由g=g(a),得=|ln(a-1)|. ∵ 1<a<b,∴ b-1=a-1(舍),或(a-1)(b-1)=1. ∵ 1=(a-1)(b-1)<(b-1)2,∴ b>2.(12分) 由g(b)=2g,得 |ln(b-1)|=2=2,(*) ∵ ≥=1, ∴ (*)式可化为ln(b-1)=2ln[(a-1)+(b-1)], 即b-1=14分) 令b-1=t(t>1),则t=,整理,得t4-4t3+2t2+1=0, 从而(t-1)(t3-3t2-t-1)=0,即t3-3t2-t-1=0. 记h(t)=t3-3t2-t-1,t>1,h′(t)=3t2-6t-1,令h′(t)=0得t=1-(舍), t=1+,列表: t h′(t) - + h(t) ↓ ↑ ∴ h(t)在上单调减,在上单调增. ∵ h(3)<0,h(4)>0,∴ 3<t<4,从而4<b<5.(16分) 2014届高三调研测试试卷(三)(常州) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 证明:∵ ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∴ AD=BC.从而=. ∴ ∠ACD=∠BAC.(4分) ∵ AE为圆的切线,∴ ∠EAD=∠ACD.(8分) ∴ ∠DAE=∠BAC.(10分) B. 解:设P(x,y)为直线l上任意一点,在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′(x′,y′),则=, 化简,得(4分) 代入ax-y=0,整理,得-(2a+1)x′+ay′=0.(8分) 将点(1,1)代入上述方程,解得a=-1.(10分) C. 解:点P的直角坐标为(3,),(4分) 直线l的普通方程为x-y-4=0,(8分) 从而点P到直线l的距离为=.(10分) D. 证明:左边-右边=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1=(1-y)[yx2-(1+y)x+1](4分) =(1-y)(xy-1)(x-1),(6分) ∵ x≥1,y≥1, ∴ 1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0.(8分) 从而左边-右边≤0, ∴ x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.(10分) 22. 解:连结OC. ∵ 平面PAB⊥平面ABC,PO⊥AB,∴ PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB,PO⊥OC. ∵ AC=BC,点O是AB的中点,∴ OC⊥AB.且 OA=OB=OC=a.(2分) 如图,建立空间直角坐标系Oxyz. (1) PA=2a,PO=a. A(0,-a,0),B(0,a,0),C(a,0,0), P(0,0,a),D.(4分) 从而=(0,-a,-a),=. ∵ cos〈,〉===-, ∴ 异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.(6分) (2) 设PO=h,则P(0,0,h).∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴ OC⊥平面PAB. 从而=(a,0,0)是平面PAB的一个法向量. 不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), ∵ =(0,a,-h),=(a,-a,0), ∴ 不妨令x=1,则y=1,z=,则n=.(8分) 由已知,得==,化简,得h2=a2. ∴ PA===a.(10分) 23. 解:(1) 110.(3分) (2) 集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n-1)个. 若AB,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素,则满足AB的有序集合对(A,B)有C=3n-2n个.(6分) 同理,满足BA的有序集合对(A,B)有3n-2n个.(8分) 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2n(2n-1)-2(3n-2n)=4n+2n-2×3n.(10分)
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