资源描述
2014届高三调研测试试卷(三)
数 学
(满分160分,考试时间120分钟)
2014.1
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=(xi-)2,其中=
一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填写在相应位置上.
1. 设集合A={x|x2<1,x∈R},B={x|0≤x≤2},则A∩B=________.
2. 若=1+ni(m、n∈R,i为虚数单位),则mn的值为________.
3. 已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为2x-y=0,则a的值为________.
4. 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一、高二年级分别有80名、50名.现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了24名,则在高二年级学生中应抽取的人数为________.
5. 某市连续5天测得空气中PM2.5(直径小于或等于2.5 μm的颗粒物)的数据(单位:μg/m3)分别为115,125,132,128,125,则该组数据的方差为________.
6. 函数y=2sin2x+3cos2x-4的最小正周期为________.
7. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料.从这5瓶饮料中随机取2瓶,则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________.
8. 已知实数x、y满足约束条件则z=5-x2-y2的最大值为________.
9. 若曲线C1:y=3x4-ax3-6x2与曲线C2:y=ex在x=1处的切线互相垂直,则实数a的值为________.
10. 给出下列命题:
① 若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面;
② 若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面;
③ 若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面;
④ 若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.
则其中所有真命题是________.(填序号)
11. 已知θ∈,等比数列{an}中,a1=1,a4=tan33θ.若数列{an}的前2 014项的和为0,则θ的值为________.
12. 已知函数f(x)=若f(f(-2))>f(k),则实数k的取值范围为________.
13. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若tanA=7tanB,=3,则c=________.
14. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M、N为圆O上不同的两点,且满足·=0.若=+,则||的最小值为________.
二、 解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分)
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量m=(a,c),n=(cosC,cosA).
(1) 若m∥n,c=a,求角A;
(2) 若m·n=3bsinB,cosA=,求cosC的值.
16、(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥BC,E、F分别是A1B、AC1的中点.
(1) 求证:EF∥平面ABC;
(2) 求证:平面AEF⊥平面AA1B1B;
(3) 若A1A=2AB=2BC=2a,求三棱锥FABC的体积.
17、(本小题满分14分)
设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,已知S3=a5,S5=25.
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若p、q为互不相等的正整数,且等差数列{bn}满足b1=,bap=p,baq=q,求数列{bn}的前n项和Tn.
18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的右准线为直线l,动直线y=kx+m(k<0,m>0)交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为M,射线OM分别交椭圆及直线l于P、Q两点,如图.若A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点时,点Q的纵坐标为(其中e为椭圆的离心率),且OQ=OM.
(1) 求椭圆E的标准方程;
(2) 如果OP是OM、OQ的等比中项,那么是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明理由.
19、(本小题满分16分)
几名大学毕业生合作开设3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:① 当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5)2+10 050;② 当60≤x≤70时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(元),月利润=月销售总额-月总成本.
(1) 求M关于销售价格x的函数关系式;
(2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格.
20、(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx-x-,a∈R.
(1) 当a=0时,求函数f(x)的极大值;
(2) 求函数f(x)的单调区间;
(3) 当a>1时,设函数g(x)=.若实数b满足:b>a且g=g(a),g(b)=2g,求证:4<b<5.
2014届高三调研测试试卷(三)
数学附加题
(满分40分,考试时间30分钟)
21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A. (选修41:几何证明选讲)
如图,等腰梯形ABCD内接于圆O,AB∥CD.过点A作圆O的切线交CD的延长线于点E.求证:∠DAE=∠BAC.
B. (选修42:矩阵与变换)
已知直线l:ax-y=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线l′,若直线l′过点(1,1),求实数a的值.
C. (选修44:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,已知点P,直线l:ρcos=2,求点P到直线l的距离.
D. (选修45:不等式选讲)
已知x≥1,y≥1,求证:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
22. 如图,在三棱锥PABC中,已知平面PAB⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2a,点O、D分别是AB、PB的中点,PO⊥AB,连结CD.
(1) 若PA=2a,求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小;
(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为,求PA.
23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不是A的子集.
(1) 若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;
(2) 若M={a1,a2,a3,…,an},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.
2014届高三调研测试试卷(三)(常州)
数学参考答案及评分标准
1. [0,1) 2. -1 3. 1 4. 15 5. 31.6 6. π 7. 8. 9.
10. ①② 11. - 12. (log9,4) 13. 4 14. 3-
15. 解:(1) ∵ m∥n,∴ acosA=ccosC.由正弦定理,得sinAcosA=sinCcosC.
化简,得sin2A=sin2C.(2分)
∵ A、C∈(0,π),∴ 2A=2C或2A+2C=π,
从而A=C(舍)或A+C=. ∴ B=.(4分)
在Rt△ABC中,tanA==,A=.(6分)
(2) ∵ m·n=3bcosB,∴ acosC+ccosA=3bsinB.
由正弦定理,得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B,从而sin(A+C)=3sin2B.
∵ A+B+C=π,∴ sin(A+C)=sinB.从而sinB=.(8分)
∵ cosA=>0,A∈(0,π),∴ A∈,sinA=.(10分)
∵ sinA>sinB,∴ a>b,从而A>B,B为锐角,cosB= .(12分)
∴ cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-×+×=.(14分)
16. (1) 证明:连结A1C.∵ 直三棱柱A1B1C1ABC中,AA1C1C是矩形,
∴ 点F在A1C上,且为A1C的中点.
在△A1BC中,∵ E、F分别是A1B、A1C的中点,∴ EF∥BC.(2分)
∵ BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴ EF∥平面ABC.(4分)
(2) 证明:∵ 在直三棱柱A1B1C1ABC中,B1B⊥平面ABC,∴ B1B⊥BC.
∵ EF∥BC,AB⊥BC,∴ AB⊥EF,B1B⊥EF.(6分)
∵ B1B∩AB=B,∴ EF⊥平面ABB1A1.(8分)
∵ EF⊂平面AEF,∴ 平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分)
(3) 解:VFABC=VA1ABC=××S△ABC×AA1(12分)
=××a2×2a=.(14分)
17. 解:(1) 由已知,得解得(4分)
∴ an=2n-1.(6分)
(2) p、q为正整数,由(1)得ap=2p-1,aq=2q-1.(8分)
进一步由已知,得b2p-1=p,b2q-1=q.(10分)
∵ {bn}是等差数列,p≠q,∴ {bn}的公差d′==.(12分)
∴ Tn=nb1+d′=.(14分)
18. 解:当A、B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时,则A(a,0)、B(0,b)、M.
∵ Q,∴ 由O、M、Q三点共线,得=,化简得b=1.(2分)
∵ OQ=OM,∴ =,化简得2a=c.
由 解得(4分)
(1) 椭圆E的标准方程为+y2=1.(6分)
(2) 把y=kx+m(k<0,m>0),代入+y2=1,得
(5k2+1)x2+10mkx+5m2-5=0.(8分)
当Δ>0,5k2-m2+1>0时,xM=-,yM=,
从而点M.(10分)
∴ 直线OM的方程y=-x.
由得x=.(12分)
∵ OP是OM、OQ的等比中项,∴ OP2=OM·OQ,
从而x=|xM|xQ=-.(14分)
由=-,得m=-2k,从而=-2,满足Δ>0.(15分)
∴ 为常数-2.(16分)
19. 解:(1) 当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5)2+10 050,
解得a=2.(2分)
∴ M(x)=
即M(x)=(4分)
(注:写到上一步,不扣分.)
(2) 设g(u)=(-2u2-20u+10 000)(u-34)-20 000,34≤u<60,u∈R,则
g′(u)=-6(u2-16u-1 780).
令g′(u)=0,解得u1=8-2(舍去),u2=8+2∈(50,51).(7分)
当34<u<50时,g′(u)>0,g(u)单调递增;
当51<u<60时,g′(u)<0,g(u)单调递减.(10分)
∵ x∈N*,M(50)=44 000,M(51)=44 226,∴ M(x)的最大值为44 226.(12分)
当60≤x≤76时,M(x)=100(-x2+110x-2 584)-20 000单调递减,
故此时M(x)的最大值为M(60)=21 600.(14分)
综上所述,当x=51时,月利润M(x)有最大值44 226元.(15分)
答:该打印店月利润最大为44 226元,此时产品的销售价格为51元/件.(16分)
20. (1) 解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).
当a=0时,f(x)=lnx-x,f′(x)=-1,令f′(x)=0得x=1.(1分)
列表:
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↑
极大值
↓
∴ f(x)的极大值为f(1)=-1.(3分)
(2) 解:f′(x)=-1+=.
令f′(x)=0,得-x2+x+a=0,记Δ=1+4a.
(i) 当a≤-时,f′(x)≤0,∴ f(x)单调减区间为(0,+∞);(5分)
(ii) 当a>-时,由f′(x)=0得x1=,x2=,
① 若-<a<0,则x1>x2>0,
由f′(x)<0,得0<x<x2,x>x1;由f′(x)>0,得x2<x<x1.
∴ f(x)的单调减区间为,,单调增区间为;(7分)
② 若a=0,由(1)知f(x)单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+∞);
③ 若a>0,则x1>0>x2,
由f′(x)<0,得x>x1;由f′(x)>0,得0<x<x1.
f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(9分)
综上所述:当a≤-时,f(x)的单调减区间为(0,+∞);
当-<a<0时,f(x)的单调减区间为,,单调增区间为;
当a≥0时,f(x)单调减区间为,单调增区间为.(10分)
(3) 证明:g(x)=|ln(x-1)|(x>1).
由g=g(a),得=|ln(a-1)|.
∵ 1<a<b,∴ b-1=a-1(舍),或(a-1)(b-1)=1.
∵ 1=(a-1)(b-1)<(b-1)2,∴ b>2.(12分)
由g(b)=2g,得
|ln(b-1)|=2=2,(*)
∵ ≥=1,
∴ (*)式可化为ln(b-1)=2ln[(a-1)+(b-1)],
即b-1=14分)
令b-1=t(t>1),则t=,整理,得t4-4t3+2t2+1=0,
从而(t-1)(t3-3t2-t-1)=0,即t3-3t2-t-1=0.
记h(t)=t3-3t2-t-1,t>1,h′(t)=3t2-6t-1,令h′(t)=0得t=1-(舍),
t=1+,列表:
t
h′(t)
-
+
h(t)
↓
↑
∴ h(t)在上单调减,在上单调增.
∵ h(3)<0,h(4)>0,∴ 3<t<4,从而4<b<5.(16分)
2014届高三调研测试试卷(三)(常州)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明:∵ ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∴ AD=BC.从而=.
∴ ∠ACD=∠BAC.(4分)
∵ AE为圆的切线,∴ ∠EAD=∠ACD.(8分)
∴ ∠DAE=∠BAC.(10分)
B. 解:设P(x,y)为直线l上任意一点,在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′(x′,y′),则=,
化简,得(4分)
代入ax-y=0,整理,得-(2a+1)x′+ay′=0.(8分)
将点(1,1)代入上述方程,解得a=-1.(10分)
C. 解:点P的直角坐标为(3,),(4分)
直线l的普通方程为x-y-4=0,(8分)
从而点P到直线l的距离为=.(10分)
D. 证明:左边-右边=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1=(1-y)[yx2-(1+y)x+1](4分)
=(1-y)(xy-1)(x-1),(6分)
∵ x≥1,y≥1,
∴ 1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0.(8分)
从而左边-右边≤0,
∴ x2y+xy2+1≤x2y2+x+y.(10分)
22. 解:连结OC.
∵ 平面PAB⊥平面ABC,PO⊥AB,∴ PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB,PO⊥OC.
∵ AC=BC,点O是AB的中点,∴ OC⊥AB.且
OA=OB=OC=a.(2分)
如图,建立空间直角坐标系Oxyz.
(1) PA=2a,PO=a.
A(0,-a,0),B(0,a,0),C(a,0,0),
P(0,0,a),D.(4分)
从而=(0,-a,-a),=.
∵ cos〈,〉===-,
∴ 异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.(6分)
(2) 设PO=h,则P(0,0,h).∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴ OC⊥平面PAB.
从而=(a,0,0)是平面PAB的一个法向量.
不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
∵ =(0,a,-h),=(a,-a,0), ∴
不妨令x=1,则y=1,z=,则n=.(8分)
由已知,得==,化简,得h2=a2.
∴ PA===a.(10分)
23. 解:(1) 110.(3分)
(2) 集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n-1)个.
若AB,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素,则满足AB的有序集合对(A,B)有C=3n-2n个.(6分)
同理,满足BA的有序集合对(A,B)有3n-2n个.(8分)
故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为
2n(2n-1)-2(3n-2n)=4n+2n-2×3n.(10分)
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