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2014届高三调研测试试卷(三)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2014．1
参考公式：
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝（xi－)2，其中＝
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．
1. 设集合A＝{x|x2<1，x∈R}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝________．
2. 若＝1＋ni(m、n∈R，i为虚数单位)，则mn的值为________．
3. 已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，则a的值为________．
4. 某学校选修羽毛球课程的学生中高一、高二年级分别有80名、50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为________．
5. 某市连续5天测得空气中PM2.5(直径小于或等于2.5 μm的颗粒物)的数据(单位：μg/m3)分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为________．
6. 函数y＝2sin2x＋3cos2x－4的最小正周期为________．
7. 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为________．
8. 已知实数x、y满足约束条件则z＝5－x2－y2的最大值为________．
9. 若曲线C1：y＝3x4－ax3－6x2与曲线C2：y＝ex在x＝1处的切线互相垂直，则实数a的值为________．
10. 给出下列命题：
① 若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
② 若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
③ 若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
④ 若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
则其中所有真命题是________．(填序号)
11. 已知θ∈，等比数列{an}中，a1＝1a4＝tan33θ.若数列{an}的前2 014项的和为0，则θ的值为________．
12. 已知函数f(x)＝若f(f(－2))>f(k)，则实数k的取值范围为________．
13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanA＝7tanB，＝3，则c＝________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝16，点P(1，2)，M、N为圆O上不同的两点，且满足·＝0.若＝＋，则||的最小值为________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA)．
(1) 若m∥n，c＝a，求角A；
(2) 若m·n＝3bsinB，cosA＝，求cosC的值．

16、(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥BC，E、F分别是A1B、AC1的中点．
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；
(3) 若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥FABC的体积．

17、(本小题满分14分)
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知S3＝a5，S5＝25.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若p、q为互不相等的正整数，且等差数列{bn}满足b1＝，bap＝p，baq＝q，求数列{bn}的前n项和Tn.

18、(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右准线为直线l，动直线y＝kx＋m(k<0，m>0)交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P、Q两点，如图．若A、B两点分别是椭圆E的右顶点、上顶点时，点Q的纵坐标为(其中e为椭圆的离心率)，且OQ＝OM.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 如果OP是OM、OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．

19、(本小题满分16分)
几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(x∈N*)之间满足如下关系：① 当34≤x≤60时，t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050；② 当60≤x≤70时，t(x)＝－100x＋7 600.设该店月利润为M(元)，月利润＝月销售总额－月总成本．
(1) 求M关于销售价格x的函数关系式；
(2) 求该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格．

20、(本小题满分16分)
已知函数f(x)＝lnx－x－，a∈R.
(1) 当a＝0时，求函数f(x)的极大值；
(2) 求函数f(x)的单调区间；
(3) 当a>1时，设函数g(x)＝.若实数b满足：b>a且g＝g(a)，g(b)＝2g，求证：4做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，等腰梯形ABCD内接于圆O，AB∥CD.过点A作圆O的切线交CD的延长线于点E.求证：∠DAE＝∠BAC.

B. (选修42：矩阵与变换)
已知直线l：ax－y＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a的值．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知点P，直线l：ρcos＝2，求点P到直线l的距离．

D. (选修45：不等式选讲)
已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.
(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；
(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为，求PA.

23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．
(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；
(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，an}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．

2014届高三调研测试试卷(三)(常州)
数学参考答案及评分标准
1. [0，1)　2. －1　3. 1　4. 15　5. 31.6　6. π　7. 　8. 　9.
10. ①②　11. －　12. (log9，4)　13. 4　14. 3－
15. 解：(1) ∵ m∥n，∴ acosA＝ccosC.由正弦定理，得sinAcosA＝sinCcosC.
化简，得sin2A＝sin2C.(2分)
∵ A、C∈(0，π)，∴ 2A＝2C或2A＋2C＝π，
从而A＝C(舍)或A＋C＝. ∴ B＝.(4分)
在Rt△ABC中，tanA＝＝，A＝.(6分)
(2) ∵ m·n＝3bcosB，∴ acosC＋ccosA＝3bsinB.
由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B.
∵ A＋B＋C＝π，∴ sin(A＋C)＝sinB.从而sinB＝.(8分)
∵ cosA＝>0，A∈(0，π)，∴ A∈，sinA＝.(10分)
∵ sinA>sinB，∴ a>b，从而A>B，B为锐角，cosB＝ .(12分)
∴ cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.(14分)
16. (1) 证明：连结A1C.∵ 直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形，
∴ 点F在A1C上，且为A1C的中点．
在△A1BC中，∵ E、F分别是A1B、A1C的中点，∴ EF∥BC.(2分)
∵ BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴ EF∥平面ABC.(4分)
(2) 证明：∵ 在直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B⊥平面ABC，∴ B1B⊥BC.
∵ EF∥BC，AB⊥BC，∴ AB⊥EF，B1B⊥EF.(6分)
∵ B1B∩AB＝B，∴ EF⊥平面ABB1A1.(8分)
∵ EF⊂平面AEF，∴ 平面AEF⊥平面ABB1A1.(10分)
(3) 解：VFABC＝VA1ABC＝××S△ABC×AA1(12分)
＝××a2×2a＝.(14分)
17. 解：(1) 由已知，得解得(4分)
∴ an＝2n－1.(6分)
(2) p、q为正整数，由(1)得ap＝2p－1，aq＝2q－1.(8分)
进一步由已知，得b2p－1＝p，b2q－1＝q.(10分)
∵ {bn}是等差数列，p≠q，∴ {bn}的公差d′＝＝.(12分)
∴ Tn＝nb1＋d′＝.(14分)
18. 解：当A、B两点分别是椭圆E的右顶点和上顶点时，则A(a，0)、B(0，b)、M.
∵ Q，∴ 由O、M、Q三点共线，得＝，化简得b＝1.(2分)
∵ OQ＝OM，∴ ＝，化简得2a＝c.
由　解得(4分)
(1) 椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(6分)
(2) 把y＝kx＋m(k<0，m>0)，代入＋y2＝1，得
(5k2＋1)x2＋10mkx＋5m2－5＝0.(8分)
当Δ>0，5k2－m2＋1>0时，xM＝－，yM＝，
从而点M.(10分)
∴ 直线OM的方程y＝－x.
由得x＝.(12分)
∵ OP是OM、OQ的等比中项，∴ OP2＝OM·OQ，
从而x＝|xM|xQ＝－.(14分)
由＝－，得m＝－2k，从而＝－2，满足Δ>0.(15分)
∴ 为常数－2.(16分)
19. 解：(1) 当x＝60时，t(60)＝1 600，代入t(x)＝－a(x＋5)2＋10 050，
解得a＝2.(2分)
∴ M(x)＝
即M(x)＝(4分)
(注：写到上一步，不扣分．)
(2) 设g(u)＝(－2u2－20u＋10 000)(u－34)－20 000，34≤u<60，u∈R，则
g′(u)＝－6(u2－16u－1 780)．
令g′(u)＝0，解得u1＝8－2(舍去)，u2＝8＋2∈(50，51)．(7分)
当340，g(u)单调递增；
当51
∵ x∈N*，M(50)＝44 000，M(51)＝44 226，∴ M(x)的最大值为44 226.(12分)
当60≤x≤76时，M(x)＝100(－x2＋110x－2 584)－20 000单调递减，
故此时M(x)的最大值为M(60)＝21 600.(14分)
综上所述，当x＝51时，月利润M(x)有最大值44 226元．(15分)
答：该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．(16分)
20. (1) 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝0时，f(x)＝lnx－x，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1.(1分)
列表：

x
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↑
极大值
↓
∴ f(x)的极大值为f(1)＝－1.(3分)
(2) 解：f′(x)＝－1＋＝.
令f′(x)＝0，得－x2＋x＋a＝0，记Δ＝1＋4a.
(i) 当a≤－时，f′(x)≤0，∴ f(x)单调减区间为(0，＋∞)；(5分)
(ii) 当a>－时，由f′(x)＝0得x1＝，x2＝，
① 若－x2>0，
由f′(x)<0，得0x1；由f′(x)>0，得x2由(1)知f(x)单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)；
③ 若a>0，则x1>0>x2，
由f′(x)<0，得x>x1；由f′(x)>0，得01)．
由g＝g(a)，得＝|ln(a－1)|.
∵ 1－1)(b－1)<(b－1)2，∴ b>2.(12分)
由g(b)＝2g，得
|ln(b－1)|＝2＝2，(*)
∵ ≥＝1，
∴ (*)式可化为ln(b－1)＝2ln[(a－1)＋(b－1)]，
即b－1＝14分)
令b－1＝t(t>1)，则t＝，整理，得t4－4t3＋2t2＋1＝0，
从而(t－1)(t3－3t2－t－1)＝0，即t3－3t2－t－1＝0.
记h(t)＝t3－3t2－t－1，t>1，h′(t)＝3t2－6t－1，令h′(t)＝0得t＝1－(舍)，
t＝1＋，列表：
t

h′(t)
－
＋
h(t)
↓
↑
∴ h(t)在上单调减在上单调增．
∵ h(3)<0，h(4)>0，∴ 31)代入上述方程，解得a＝－1.(10分)
C. 解：点P的直角坐标为(3，)，(4分)
直线l的普通方程为x－y－4＝0，(8分)
从而点P到直线l的距离为＝.(10分)
D. 证明：左边－右边＝(y－y2)x2＋(y2－1)x－y＋1＝(1－y)[yx2－(1＋y)x＋1](4分)
＝(1－y)(xy－1)(x－1)，(6分)
∵ x≥1，y≥1，
∴ 1－y≤0，xy－1≥0，x－1≥0.(8分)
从而左边－右边≤0，
∴ x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.(10分)
22. 解：连结OC.
∵ 平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴ PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB，PO⊥OC.
∵ AC＝BC，点O是AB的中点，∴ OC⊥AB.且
OA＝OB＝OC＝a.(2分)
如图，建立空间直角坐标系Oxyz.

(1) PA＝2a，PO＝a.
A(0，－a，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，
P(0，0，a)，D.(4分)
从而＝(0，－a，－a)，＝.
∵ cos〈，〉＝＝＝－，
∴ 异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.(6分)
(2) 设PO＝h，则P(0，0，h)．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴ OC⊥平面PAB.
从而＝(a，0，0)是平面PAB的一个法向量．
不妨设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵ ＝(0，a，－h)，＝(a，－a，0)，　∴
不妨令x＝1，则y＝1，z＝，则n＝.(8分)
由已知，得＝＝，化简，得h2＝a2.
∴ PA＝＝＝a.(10分)
23. 解：(1) 110.(3分)
(2) 集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A，B)有2n(2n－1)个．
若AB，并设B中含有k(1≤k≤n，k∈N*)个元素，则满足AB的有序集合对(A，B)有C＝3n－2n个．(6分)
同理，满足BA的有序集合对(A，B)有3n－2n个．(8分)
故满足条件的有序集合对(A，B)的个数为
2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n.(10分)