单元评估检测(六).doc

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单元评估检测（六）
（第六章）
（120分钟 160分）
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上)
1.推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是矩形；③三角形不是平行四边形”中的小前提是______________(填序号).
2.(2012·常州模拟)设0＜b＜a＜1，则①ab＜b2＜1;②
③2b＜2a＜2;④a2＜ab＜1.其中不正确的是___________(填序号)
3.(2012·苏州模拟)已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)的最大值为_________.
4．已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|2x-1>1},则A∩B=____________.
5．若a，b，c∈(-∞,0),则a+，b+,c+三数中至少有一个不小于-2.用反证法证明时应假设为__________________.
6．已知变量x,y满足则z=2x+y的最大值为____________.
7.(2012·连云港模拟)设=(1,), =(0,1)，O为坐标原点，动点P(x,y)满足0≤·≤1,0≤·≤1，则z=y-x的最小值是___________.
8.设z＝x＋y，其中x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为________.
9．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是_______.
10．已知二次函数f(x)=ax2+4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为____________.
11.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(1≤t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前t天平均售出(如前10天的平均售出为)的月饼最少为___________.
12.下表为某运动会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备1 200元，预订15张下表中球类比赛的门票.

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下，该球迷想预订上表中三种球类比赛门票，其中篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且篮球比赛门票的费用不超过足球比赛门票的费用，求可以预订的足球比赛门票数为___________.
13.(2012·淮安模拟)用大小一样的钢珠可以排成正三角形、正方形与正五边形数组，其排列的规律如图所示:

已知m个钢珠恰好可以排成每边n个钢珠的正三角形数组与正方形数组各一个;且知若用这m个钢珠去排成每边n个钢珠的正五边形数组时，就会多出9个钢珠，则m=____________.
14.方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1 000， (n∈N*)，则x2 012＝_____________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(14分)(2012·扬州模拟)求证:
16．(14分)设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆［1,4］，求实数a的取值范围.
17.(14分)(2012·南通模拟)上海某玩具厂生产x万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P元，且P=1 000+5x+,x∈(0,200］，而每套售出价格为Q元，其中Q=+b,(a＞5 000,b＞5)，问:(1)该玩具厂生产多少套吉祥物时，使得每套成本费用最低?
(2)若产出的吉祥物能全部售出，问产量多大时，厂家所获利润最大?
18.(16分)已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0，其中k∈R.
(1)当k变化时，试求不等式的解集A；
(2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B(其中Z为整数集). 试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
19.(16分)已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b、c∈R),不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0，f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=-1;
(2)求证：c≥3;
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b、c的值.
20.(16分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式；
(3)求(n≥2，n∈N*)的值.

答案解析
1.【解析】由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论.
答案:②
2.【解析】①错误.∵a＞b＞0,∴ab＞b2.
②错误.∵y=是减函数,
∴.
③正确.∵y=2x是增函数,∴2b＜2a＜2.
④错误.∵a＞b,∴a2＞ab.
答案:①②④
3.【解析】∵x<0,∴-x>0,
∴x+-2=-［(-x)+］-2≤-2·-2=-4,
等号成立的条件是,即x=-1.
答案:-4
4.【解析】A={x|-1<x<3},B={x|x>1},
所以A∩B={x|1<x<3}.
答案:{x|1<x<3}
5．【解析】由“至少”的否定为“全都”或“全部”,故应假设全都小于-2.
答案:全都小于-2
6．【解析】作出可行域如图，

得目标函数过C点时z最大,而由得C(3,3)
∴zmax=2×3+3=9.
答案:9
7.【解析】由
得0≤x+y≤1.
由=y,
得 0≤y≤1.
故x、y的约束条件为
作出可行域如图.

∴目标函数z=y-x过点A(1,0)时,z最小,此时
zmin=0-1=-1.
答案:-1
8.【解析】如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，
∴zmin＝－6＋3＝－3.

答案:-3
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤：
(1)画出可行域；
(2)确定目标函数的斜率；
(3)画出过原点、斜率与目标函数斜率相同的直线；
(4)平移直线，确定满足最优解的点；
(5)求满足最优解的点的坐标.
9．【解题指南】本题实际就是分母不等于零恒成立问题,需分m=0或m≠0讨论.
【解析】∵y＝的定义域为R，
∴mx2＋4mx＋3恒不等于0.
当m＝0时，mx2＋4mx＋3＝3满足题意．
当m≠0时，Δ＝16m2－12m<0，
解得0<m<，综上，0≤m<，
即m∈［0，)．
答案：［0，)
10．【解析】由题意知,a>0且Δ=16-4ac=0,即ac=4,
∴c>0.
∴
=
≥
当且仅当a=c=2时取等号.
答案：3
11.【解析】平均销售量y＝≥18.
当且仅当t＝，即t＝4∈［1,30］等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
答案:18
12.【解析】设预订篮球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都是n(n∈N*)张，则足球比赛门票预订(15－2n)张，由题意得

解得：5≤n≤，
又n∈N*，可得n＝5，
∴15－2n＝5.
∴可以预订足球比赛门票5张．
答案:5
13.【解析】设每边有n个钢珠的三角形数组,正方形数组及正五边形数组分别有钢珠数为an,bn,cn.
由图表可知,
an-an-1=n,bn=n2
cn-cn-1=3n-2
∴累加可求an=,cn=
∴由已知
整理得n2+n+2n2=3n2-n+18解得n=9
∴m=+9=117+9=126.
答案:126
14.【解析】由＝x得ax2＋(2a－1)x＝0.
因为f(x)有唯一不动点，
所以2a－1＝0，即a＝.
所以f(x)＝.
所以xn＋1＝
所以x2 012＝x1＋×2 011＝1 000＋＝2 005.5.
答案：2 005.5

15.【证明】方法一:
要证
只需证

2a-9+,

因为18＜20显然成立,
所以原不等式成立.
方法二:要证
只需证
只需证
∵a≥6,
∴a-3＞a-4＞a-5＞a-6≥0,
∴
显然成立，
故
16．【解题指南】此题需根据Δ<0,Δ>0,Δ=0分类讨论，求出解集M，验证即可，不要忘记M=Ø的情况.
【解析】(1)当Δ=4a2-4(a+2)<0，即-1<a<2时，M=Ø,满足题意；
(2)当Δ=0时，a=-1或a=2.a=-1时M={-1}，不合题意；a=2时M={2}，满足题意；
(3)当Δ>0，即a>2或a<-1时，令f(x)=x2-2ax+a+2，要使M⊆［1,4］，只需

得2<a≤；
综上，-1<a≤.
【变式备选】若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a的取值范围.
【解析】方法一：令t=2x>0，则原方程有实数解⇔t2+at+a+1=0在(0，+∞)上有实根
得
或
得得a≤2-.
方法二：令t=2x(t>0),则原方程化为
t2+at+a+1=0,变形得
a==-［(t+1)+-2］≤-(-2)=2-.
∴a的取值范围是(-∞,2-］.
17.【解析】(1)
=+5≥25,
(当且仅当x=100时，取等号),
∴生产100万套时，每套成本费用最低.
(2)由题设，利润f(x)=(+b)x-(1 000+5x+)=+(b-5)x+a-1 000,
x∈(0,200］
当5(b-5)≤200,即b≤45时，f(x)max=f(5(b-5))=(b-5)2+a-1 000
∴当产量为5b-25万套时，利润最大.
当b＞45时，函数f(x)在(0,200］上是增函数,
∴当产量为200万套时，f(x)max=200b+a-6 000.
18.【解析】(1)当k=0时，A=(-∞,4)；
当k>0且k≠2时，A=(-∞,4)∪(k+,+∞)；
当k=2时，A=(-∞,4)∪(4,+∞)；
当k<0时，A=(k+,4).
(2)由(1)知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集.
因为k+≤-4，当且仅当k=-2时取等号，所以当k=-2时，集合B的元素个数最少.此时A=(-4,4)，故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
19.【解题指南】本题考查的是不等式的综合应用问题.在解答时：
(1)充分利用条件不论α、β为何实数，恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0.注意分析sinα、2+cosβ的范围，利用满足范围内的特值求证即可获得问题的解答；
(2)首先利用(1)的结论对问题进行化简，化为只有参数c的函数，再结合条件不论β为何实数，恒有f(2+cosβ)≤0，即可获得问题的解答;
(3)首先对函数进行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答.
【解析】(1)∵|sinα|≤1且f(sinα)≥0恒成立，可得f(1)≥0.
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，可得f(1)≤0,
∴f(1)=0,∴1+b+c=0,∴b+c=-1.
(2)∵b+c=-1,∴b=-1-c,
∴f(x)=x2-(1+c)x+c=(x-1)(x-c).
又∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立，
∴x-c≤0，即c≥x恒成立.
∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α-(1+c)sinα+c=(sinα-)2+c-()2,∵≥2
∴当sinα=-1时，f(sinα)的最大值为1-b+c.
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4,c=3.即b=-4,c=3.
20.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,
f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25+7+9=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),
…
f(2)-f(1)=4×1,
∴f(n)-f(1)=4［(n-1)+(n-2)+…+2+1］
=2(n-1)·n,
∴f(n)=2n2-2n+1.
(3)当n≥2时，

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