九下28锐角三角函数.doc

课堂教学设计
课题： 28.1 锐角三角函数 授课时数： 3节
设计要素
设 计 内 容
教学内容分析
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，在测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这些都归结到直角三角形中边角的关系问题。本节有3个课时，第一课时是个引子。首先从梯子的倾斜程度，引出第一个三角函数-----正切。正切是生活中用的最多的三角函数概念，正弦、余弦概念都是类比正切的概念得出的。因此，本节课的地位也显得很重要。
教 学 目 标
知识与 技能
（1） 初步了解正弦、余弦、正切概念.
（2） 能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.
（3） 熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

过程与 方法

（1） 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点．
（2） 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．
（3） 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

情感态度价值观
（1） 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲．
（2） 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．

学情分析

日期： 2011 年 月 日
教 学 分 析
教学重点
1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．
2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系．

教学难点
难点

1. 直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值
2. 理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
解决办法
教师指导学生探索法．
教学策略
教学思路：学生动手操作，教师引导，小组合作交流.
教学资源
《优秀教案》
《教师用书》
《新课标教案》
《新突破》
《全品练习册》
板书设计
28.1 锐角三角函数
1.在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则

∠α的正弦 ， ∠α的余弦 ，
∠α的正切
2. 关系：（1）若 那么=或=
（2）
（3）

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果
（修改批注）
第一课时

一、 创设情境 
  导入新课

二、合作探究

1. 三角函
数—正弦

【问题】 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？请同学们看下图，并回答问题。
(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？

1. 三角函数—正弦
：
【问题1】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
【问题2】如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o，计算∠A的对边与斜边的比BC/AB，能得到什么结论？
【问题3】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90o，∠A=∠A`=α，那么与有什么关系

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于1/2

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值。

让学生观察现实激发学生的好奇心和求知欲.

在实践的基础上,讲述有关概念,加深学生对知识的理解与记忆.

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

2.注意事项

三、课堂练习

四、课堂小结作业布置

第二课时
一、复习提问
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。记作sinA。
sinA＝
2.注意：
1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

例1.如图,在中, ,求sin和sin的值.

1. 课本77页练习
全品练习册
2. 作业布置
课本82页，习题28.1
1. 4

1、口述正弦的定义
2、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；
sin∠ADC= ．

学生思考并发表意见

学生畅所欲言

E
O
A
B
C
D
·

注意做题格式和步骤

了解学生对正弦的掌握情况。

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

二、合作探究

三角函数
的定义

三、课堂练习
【问题】一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`， ∠C=∠C` =90o，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

例2.(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.
让学生观察，思考、讨论、交流，小结.

结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

在探究的过程中，是学生体会到数学中知识之间的相互联系，从而加深对相关知识的理解.

加深对本节知识点的理解

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）
四、课堂小结及作业布置

第三课时

一、复习提问
引出新课

二、合作探究

1.本节课从梯子的倾斜程度谈起，经历了探索直角三角形中的边角关系，得出了在直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定，并以此为基础，在“Rt△”中定义了tanA＝．
2.课本82页，习题28.1
2. 6. 7.

学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义

【问题1】.从定义可以看出与有什么关系？与呢？满足这种关系的与又是什么关系呢？
【问题2】.利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗？
【问题3】.再试试看与和存在特殊关系吗？
（1）若 那么=或=
（2）
（3）

学生畅所欲言
学生独立完成

学生小组合作，讨论交流
强调：∠A是坡角，∠A的正切即tanA为山的坡度

学生温故而知新，并让学生进一步思考

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

三、课堂小结
作业布置

【问题4】.在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？
【问题5】.让学生画30°45°60的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60

sinα
cosα
tanα
30°

45°

1
60°

1.在RtΔABC中,设∠C=900，∠α为RtΔABC的一个锐角，则

∠α的正弦 ， ∠α的余弦 ，
∠α的正切
2.作业课本83页，4. 8.
全品练习册
（1）锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；
（2）锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；
（3）锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)

学生举手回答三角函数
并独立完成作业

培养学生的合作和思考能力。
学生思考,培养学生的思维能力.并以问题串的形式突破难点.

梳理本节的知识点.
教 学 流 程 图

课堂练习，巩固提高
探究三角函数的坡度

(一) 圆的定义

探究三角函数的定义

(二) 圆的定义

课本
创设情境，开展学习活动

三角函数

观察，思考操作

引入

讨论，交流

探究1

思考，讨论
，归纳

探究2

动手，练习

练习

畅所欲言
梳理知识，课堂小结

小结

独立完成

作业布置
作业
教学设计评价

课堂教学设计
课题： 28.2 解直角三角形 授课时数： 3节
设计要素
设 计 内 容
教学内容分析
本节在归纳了直角三角形中边角关系的基础上，给出了直角三角形的解法，它既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识，另外由于解直角三角形在生活实际中应用非常广泛，因而正确理解直角三角形的边角关系并运用它们解直角三角形既是本节课的教学重点也是教学难点。本节的学习还蕴含着深刻的数学思想方法（转化化归），教学中有针对性地对学生进行这方面渗透，有利用学生数学思维能力的提高。
教 学 目 标
知识与 技能
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，
直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2. 使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

过程与 方法

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及 锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

情感态度价值观
1. 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
2. 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
学情分析

日期： 2011 年 月 日
教 学 分 析
教学重点
直角三角形的解法．
教学难点
难点

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
解决办法
教师指导学生探索法．
教学策略
教学思路：学生动手操作，教师引导，小组合作交流.
疑 点： 学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．
教学资源
《优秀教案》
《教师用书》
《新课标教案》
《新突破》
《全品练习册》
板书设计
28.2解直角三角形
1.如果用∠A表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

2.坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i
表示。把坡面与水平面的夹角α叫做坡角

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果
（修改批注）
第一课时

二、 创设情境 
  导入新课

二、合作探究

1. 解直角
三角形

【问题1】、已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h。你能求出斜面钢条的长度和倾角a 吗？
变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α，你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？
【问题2】、如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？

1．在三角形中共有几个元素？

2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系

如果用∠A表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

A

C B

学生思考并发表意见自己写出三角函数

让学生观察现实激发学生的好奇心和求知欲.

让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答.

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

三、课堂练习

四、课堂小结作业布置

第二课时
一、复习提问
(2)三边之间关系
 a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系
∠A+∠B=90°

3. 探究
（1）．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 
（2）．为什么两个已知元素中至少有一条边？ 

例 1.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．
例 2.在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．

练习：课本87页

1. 在直角三角形中，除直角外
还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2. 作业课本92页，1. 2. 3

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？
2.在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？

学生思考并发表意见

由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形

解 ∵tanA==
=
∴ 
∴ 
∴C=2b=

学生畅所欲言

这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．

先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠.

学生认真对待题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

二、合作探究

三、例题讲解
【问题】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) 
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 
例3. 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)

例4.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(0.1m)?
让学生观察，思考、讨论、交流，小结.

引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求
未知量？

分析：在，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.
教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）
四、课堂练习作业布置

第三课时

一、复习提问
引出新课

二、合作探究

练习：课本89页，1. 2.
小结：谈谈本节课你的收获
是什么？
作业：课本92页，4. 7

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）.
2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.

例5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

例6. 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

学生在练习本上完成

思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：i＝＝tan

让学生明确方位

坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．

教 学 过 程
教学内容 教学环节
教 师 活 动
学生活动
教学媒体使用预期效果（修改批注）

三、课堂练习

四、课堂小结
作业布置

1、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
 ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
 ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

小结：
 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
作业：
课本93页习题28.2
8. 9
课本98页复习题28
10
全品练习册

学生畅所欲言，谈谈自己的收获

通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．

会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决。

教 学 流 程 图

课堂练习，巩固提高
解直角三角形的应用

(三) 圆的定义

探究解三角形的定义
(四) 圆的定义

课本
创设情境，开展学习活动

解直角三角形

观察，思考操作

引入

讨论，交流

探究1

思考，讨论
，归纳

探究2

动手，练习

练习

畅所欲言
梳理知识，课堂小结

小结

独立完成

作业布置
作业
教学设计评价