十三中王春辉《函数的表示法》教学设计.doc

1.2.2 函数的表示法教学设计

函数的图象是函数的又一种表示形式，它直观明了，是后继学习研究函数性质的基础，在日常生活中，它的直观性比比皆是，例如：股市的走势图、我国工农业产值的变化图.本课函数的作图是通过有限的点来刻画函数的整体图象，先是描出这些点，然后用圆滑的曲线连接，从某种意义上讲不够严谨，教学时不必细说，重点是研究如何作图.映射作为函数概念的推广，其教学要求不能太高，教学中主要是结合实际使学生对映射有所了解，可以为今后进一步学习各类映射作好准备.
三维目标
一、知识与技能
1.了解实际背景的图象与数学情境下的图象是相通的.
2.了解图象可以是散点.
3.图象是数形结合的基础.
4.了解映射的概念及表示方法.
二、过程与方法
1.自主学习，了解作图的基本要求.
2.探究与活动，明白作图是由点到线，由局部到全体的运动变化过程.
3.会判断一个对应是不是映射.
4.重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.
三、情感态度与价值观
1.培养辩证地看待事物的观念和数形结合的思想.
2.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.
3.激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
教学重点
函数的作图.
教学难点
如何选点作图，映射的概念.
教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的材料.
教学过程
一、创设情景，引入新课
师：日常生活中我们见过许多曲线图象.让我们一起来看一看（多媒体投影）：
（图象1）股市走势图.
（图象2）产生的震动波曲线.
（图象3）医用心电图的波线.
师：初中我们已研究过直线、反比例及二次函数的图象，请大家作出y=2x－1，y＝，y＝x2的图象.（学生在下面自己作图，老师巡视）
我们可以发现这些线的图象都有一个共同的特点，就是由满足一定条件的点构成的，具体地说就是x作为横坐标，y作为纵坐标描成的点，所有的点即构成该曲线的图象.
二、讲解新课
1.函数的图象
一般而言，如何作出y＝f（x）的图象呢？我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点（x0，f（x0）），自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合（点集）为｛（x，y）|y=f（x），x∈A｝，这些点组成的曲线就是函数y＝f（x）的图象.
可从以下几个方面加深对函数图象的理解：
画函数的图象，不仅要依据函数的解析式，而且还必须考虑它的定义域.两个用不同的解析式表示的函数，只有在对应关系相同、定义域相同的条件下，才能是相同的函数，才能有相同的图象.
由函数的图象的定义知道，点的集合｛（x，y）|y=f（x），x∈A｝是函数的图象，因此从理论上讲，用列表描点法总能作出函数的图象，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图象的特点，如二次函数的图象是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图象的特征描绘出来的.
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，以后可以看到，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质.反之，掌握好函数的性质，将有助于正确地画出函数的图象.
我们知道函数的图象是由点集构成的，如何作图即如何选点呢？我们看一看下面的一些例题.
【例1】 试画出下列函数的图象：
（1）f（x）=x+1（x∈{1，2，3，4，5}）；
（2）f（x）=（x－1）2+1，x∈［1，3）.
解：（1）我们先列表再描点
x
1
2
3
4
5
y
2
3
4
5
6

（1）

（2）
师：如图（1）就是所要作出图象，它是由一些散点构成的.换句话说就是函数的图象可以是一些散点.如何得到f（x）=x+1的图象？
生：仅需把图（1）的散点连结起来构成一条直线就是f（x）=x+1的图象，如图（2）.
师：对，在初中我们就研究过一次函数的图象，它表示一条直线，所以今后我们作一次函数的图象仅需作出其两点，然后再连成一条直线即可.
（2）师：这是一个什么曲线？
生：抛物线.
师：是一条完整的抛物线吗？
生：好像不是.
师：为什么？
生：因为x∈［1，3），所以x的取值受限制.
师：对，这个函数的图象与抛物线f（x）=（x－1）2+1有联系，它是其中一段，为了能够作出其图象，我们先作出抛物线f（x）=（x－1）2+1的图象，大家自己动手作出该函数的图象，用虚线表示.（一会儿后）请生甲回答如何作出其图象的.（同时投影其所得的图象）
生甲：先作出顶点（1，1），再作出两点（2，2）、（3，5），然后根据抛物线的对称轴是x＝1，作出（2，2）、（3，5）关于x＝1的对称点，然后顺次用圆滑的曲线连结这五个点.从而得到抛物线f（x）=（x－1）2+1的图象.〔如图（3）〕

（3）
师：生甲同学通过选关键点顶点，再结合二次函数的对称性取另外两点作出其关于对称轴的对称点，这样得到5点，最后用圆滑的曲线由左向右顺次连结这些点.这个方法是通常作二次函数的方法.
这种方法提醒我们对一些熟知的函数要作出其图象仅需要选一些特征点及辅助点，然后就可以得出其图象.
这样要作出f（x）=（x－1）2+1，x∈［1，3），仅需要在f（x）=（x－1）2+1的虚线图象上取x∈［1，3）的一段用实线描出，但端点（3，5）处用空心点表示.〔如图（4）〕

（4）
【例2】 作出函数y=|x－2|（x＋1）的图象.
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：（1）当x≥2，即x－2≥0时，y=（x－2）（x+1）=x2－x－2=（x－）2－.
当x＜2，即x－2＜0时，y=－（x－2）（x+1）=－x2+x+2=－（x－）2+，所以y=
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出.〔如图（5）〕

（5）
方法引导：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x、y的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图象．
2.映射
函数是“两个数集间的一种确定的对应关系”.当我们将数集扩展到任意的集合时，就可以得到映射的概念.例如，亚洲的国家构成集合A，亚洲各国的首都构成集合B，对应关系f：国家a对应于它的首都b.这样，对于集合A中的任意一个国家，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的首都与之对应.我们将对应f：A→B称为映射.
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.
在我们的生活中，有很多映射的例子，例如，设集合A={x|x某场电影票上的号码}，集合B={x|x是某电影院的座位号}，对应关系f：电影票的号码对应于电影院的座位号，那么对应f：A→B是一个映射.
【例3】 教科书P26例7.
本例中的（1）（2）是以后经常用到的映射，教学时应引导学生认真理解.对于（3），还可以把“内切圆”换成“外接圆”让学生思考.对于（4），可以与本例后的“思考”进行比较，让学生进一步体会映射是讲顺序的，即f：A→B与f：B→A是不同的，并且，它们中可以一个是映射而另一个不是映射，也可以两个都是映射或两个都不是映射.
在此基础上归纳出映射概念值得注意的几点：
（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；
（2）对于映射f：A→B，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.所以，集合A叫原象集，集合B叫象所在的集合（集合B中可以有些元素不是象）.
（3）映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应”，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素在A中是否有原象，以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的.
（4）用映射刻画函数的定义可以这样叙述：设A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f（x）.其中x∈A，y∈B.原象集合A叫做函数y=f（x）的定义域，象集合C叫做函数y=f（x）的值域.很明显，CB.
【例4】 已知集合A=｛1，2，3，k｝，B=｛4，7，a4，a2+3a｝，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y=3x+1和A中元素x对应.求a及k的值.
方法引导：集合A中元素1，2，3在对应法则的作用下，分别得到象4，7，10，关键是集合B中谁和10对应.
解：∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应，
∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.
对于集合B而言能与10对应的元素有两种情况：a4=10或a2+3a=10.
∵a∈N，∴a2+3a－10=0得a=－5（舍去）或a=2.
当a=2时，a4=16.
由3k+1=16得k=5.
∴a=2，k=5为所求.
方法技巧：本题是集合与映射问题的综合，在分析对应关系时，应从已知出发，寻找未知量的关系.如果本题A集合中只有两个已知的元素，此时应该考虑四种对应关系.然后用已知条件和集合的性质加以排除.本题将集合与映射两个概念同时考查，有一定的新意.
三、课堂练习
1.根据所给定义域，画出函数y=x2－2x+2的图象.
（1）x∈R；
（2）x∈（－1，2］；
（3）x∈（－1，2）且x∈Z.
答案：
（1） （2） （3）

2.判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么?
（1）A=B=N*，对应关系f：x→y=|x－3|.
（2）A=R，B=｛0，1｝，对应关系f：x→y=
（3）A=B=R，对应关系f：x→y=±.
（4）A=Z，B=Q，对应关系f：x→y=.
（5）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f：a→b=（a－1）2.
答案：（1）对于A中的3，在f作用下得0，但0B，即3在B中没有象，所以不是映射.
（2）对于A中任意一个非负数都有唯一象1，对于A中任意一个负数都有唯一象0，所以是映射.
（3）集合A中的负数在B中没有元素与之对应，故不是映射.
（4）集合A中的0在B中没有元素和它对应，故不是映射.
（5）在f的作用下，A中的0，1，2，9分别对应到B中的1，0，1，64，所以是映射.
四、课堂小结
1.本节学习的数学知识：
函数的图象、函数图象的作法、作函数图象的要素、映射的概念.
2.本节学习的数学方法：
定义法、数形结合与分类讨论的思想方法、归纳与发散的思想、思维的批判性.
五、布置作业
1.教科书P27练习题4.
2.教科书P29习题1.2 A组14题，B组2，3，4题.
补充：1.画出下列函数的图象.
（1）y=（－1）x，x∈{0，1，2，3}；
（2）y=x－|1－x|；
（3）y=.
2.下列说法正确的是
A.y轴所示的函数表达式为x=0
B.y=（x＜0）是定义域为空集的函数
C.设f是从集合A到集合B的映射，则A中每一元素在B中都有象
D.设f是从集合A到集合B的映射，则B为A中元素的象的集合
3.已知集合M=｛x|0≤x≤6｝，P=｛y|0≤y≤3｝，则下列对应关系中，不能看作从M到P的映射的是
A. f：x→y=x B. f：x→y=x C. f：x→y=x D. f：x→y=x
板书设计
1.2.2 函数的表示法（2）
1.函数的图象
作法
注意点
例1
例2
2.映射
映射的定义
对映射的几点说明
例3
例4
课堂练习
课堂小结