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二次根式的知识点及应用
知识点一： 二次根式的概念
形如__________ 的式子叫做二次根式。（即一个 的算术平方根叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，
等是二次根式，而，等都不是二次根式。
练习：下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点二：取值范围
1.    二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
例1：使有意义的的取值范围为____________
例2.若，则=_____________。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
例：若没有意义，则m的取值范围为____________。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注意：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平
方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是
非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，
如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
例：.已知：,求x-y的值.
练习：1..若，则=_____________。
2.已知x,y都是实数,且满足,化简.
知识点四：二次根式（）的性质：
（）=______（ ） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则。 如：，.
知识点五：二次根式的性质：
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注意：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，
表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；
在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
例：1.化简
2.已知是实数，且，则与的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
知识点七：二次根式的运算：
1.二次根式乘法法则 反过来，

2.二次根式除法法则 反过来，

3.二次根式的加减： (一化，二找，三合并 )
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
①被开方数不含分母；分母中不含根号；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；）
（2）找出其中的同类二次根式；(几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。)
（3）合并同类二次根式。 （系数相加减，被开方数和根指数不变）
注：二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用
例计算：（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

综合测试;
1．化简得（ ）
（A）2 （B） （C） （D）
2．已知下列命题：
①；②；③
④．其中正确的有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3．若，则等于（ ） （A）0 （B） （C） （D）0或
4．若，则化简得（ ）（A）（B）（C）（D）
5.．当时，化简等于（ ）
（A）2 （B） （C） （D）0

6．若，则的结果为（ ）（A） （B） （C） （D）
7．若与化成最简二次根式后的被开方数相同，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．若的平方根是，则．时，式子有意义．
9．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则．
10．若是的整数部分，是的小数部分，则，．
11．若，则等于_____．
12．若，则．
13．若，且成立的条件是_____．
1 4．计算下列各题：
（1）； （2）

15．已知，求的值 ．

16．已知是实数，且，求的值.

17．21．若与互为相反数，求代数式的值.

18．已知求代数式

19．先化简，再求值：

20、（8分）实数a、b在数轴上的位置如图2所示。
化简：。