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对话小学数学中的数量关系、图形关系与统计关系

■东北师范大学 □史宁中 孔凡哲
《时代数学学习.新世纪小学数学教师》，2006年第1期

如何理解小学数学中的数量关系、图形关系和统计关系？对此，笔者进行了一席畅谈。
一、小学数学内容的核心
S（即史宁中教授，下同）：如同中学数学一样，小学数学课程内容本质上也是研究数量关系、图形关系和随机关系，其核心在于关系。
K（即孔凡哲教授，下同）：为什么这样认为呢？如果能够搞清楚这个问题，对于理解我国小学数学课程内容的设计与编排的意图很有帮助。
S：事实上，整个义务教育阶段和高中阶段的数学都是在研究关系，具体来说，研究数量关系、图形关系和随机关系等三类关系。
二、数量关系
K：如何理解数量关系呢？
S：小学数学最为基础的内容是研究数及其运算，这就接触到数字。而数字的本质在于多与少。而后，多与少在数学上就变成大与小，之后，逐渐产生了自然数。
K：数学史显示，产生自然数实际上是非常了不起的。你认为，让学生理解自然数其重要性体现在哪些方面？
S：产生自然数有两个最了不起的成果：
一个是，从一类事物的共同属性中抽象出“数”。两匹马、两头驴、两个人都是2，能抽象出2是非常了不起的。中国历史上对此的抽象非常差，几乎到了清朝都没有抽象出来，因而，中国古代数学总是带有名数。其实，世界上根本没有2，只有两个具体思想的人、两瓶饮料等等，能抽象出2是了不起的事情。
K：能不能这样认为，在这里，自然数是一类有限等价集合的共同特征，是作为一类等价集合的标记而出现的。也就说，对于集合A={a1,a2,a3,…,an}，B={b1,b2,b3,…,bn}而言，它们之间可以建立一一对应关系（如，映射f：ai→bi，其中，i=1，2，…，n），进而，也就构成了一组等价集合，自然数n就成为这些集合A、B、…的共同特征之一。
S：可以这样理解。
自然数中的第二方面就是“位数”，这是数字非常了不起的一件事情。个位、十位、百位、千位……。你想想大小关系有了的话，数是无穷无尽的，你只能用无穷无尽的数才能把它表示出来。事实上不用，十个字母就能把所有的数表示出来。为什么呢？因为有位数，在个位的2与在十位的2是不一样的。中国过去有算盘，算盘体现了这种思想。但真正的表述是很困难的，一直到印度人、而后是阿拉伯人，最后中国引入数位表示，所以说这个抽象是非常了不起的事情。
自然数产生之后，就有了自然数系，为了加法的封闭运算就产生了整数；然后，为了除法的封闭运算就产生了有理数；为了根号的运算产生了无理数，这样就产生了算术公理体系。一般来说，加法交换律、加法结合律、加法分配律、有0元素、有单位1，还有逆元素，满足这六条。运算一旦封闭之后，就构成算术体系。
正是由于大小而产生了序的关系。序的关系很重要，有些时候数字本身并不重要，只需要知道序的关系就可以了。它就能够提供一定的信息。比如，评价几种酒的好坏，只是评价这种酒最好喝，那种酒其次，而其中的具体指标往往不需要知道。到近代数学之后，序的关系变得非常重要，越来越重要。
三、图形关系
K：如何理解图形关系呢？
S：小学图形的核心问题在于讨论图形的直觉和直观，而图形关系的核心在于分类。分类问题中最好处理的分类问题是两个集合不交时。如果两个集合的交集是非空的，就不那么好分类了。两个集合如果包含就更不好分了。
例如，将矩形、三角形放在一起，学生一下子就能分辨出来，这两个集合是不交的。但是，将矩形和菱形放在一起，就不太好分了，两个集合有交叉部分，对学生来说，这就不太好分了。最难的是矩形和正方形的分类，学生老也分不清，因为矩形包含正方形。
我认为，在小学数学教学中，分类问题是非常重要的。直到大学数学还在研究分类问题，如曲面分类等等，而拓扑学主要是研究分类问题。
K：当前，对于小学图形问题，大家普遍关心小学生数学学习方式的变革。作为数学家，你是如何看待小学生几何学习方式的变革？
S：基于小学生的年龄特征和身心发展规律，小学图形关系的学习必须是直观几何式的，而空间观念、几何直觉的培养至关重要。
学生逻辑思维的训练和培养要在7年级以后才能正式开始，此时的逻辑也是基于直观意义的、物理背景的和非形式化的逻辑。
例如，对于平移、旋转来说，无论是小学阶段还是初中阶段，都不能从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而是直观地理解平移、旋转使图形产生了运动，在不同的运动中，图形的对应点之间遵循着一定的变化规律。了解图形的变换，对于学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受与欣赏都是十分重要的。通过画简单的图形和运用平移、对称和旋转设计有趣的图案，有利于学生对图形之间的关系有一些初步的了解，有利于丰富学生的空间观念。在认识图形的基础上，小学阶段必须加强对图形变换（平移、对称和旋转等）的初步认识，使学生更全面地感知和体验周围的事物，认识和理解图形，逐步形成空间观念，发展逻辑思维能力和合情推理能力。
在当前，尤其值得关注的是图形变换的课程内容载体的现实化、情景化和事例的代表性，同时也要注意揭示其中所蕴含的数学含义，注意挖掘平移、旋转、轴对称、方位等的深刻内涵，以及彼此之间的关联，并在课程教学内容中加以恰当的体现。这是深化小学几何课程内容改革的重要工作，也是数学课程标准修改所关注的重要问题。
四、统计关系
K：很多小学教师谈起统计关系时，心理总是发虚。作为统计学家，你是如何看待统计关系的？
S：统计是这样的，它假定了一个模型：做一个实验只有两个结果，成功或失败。用0表示成功，用1表示失败，成功的概率是P，失败的概率是1—P。这个是概率。统计在这里什么也没有，说明统计你必须调查研究，必须得到数据，所以，统计是建立在数据基础之上的。理解统计必须让学生亲身经历数据的收集、整理和决策的过程。
K：你是如何看待统计关系的？
S：统计与概率、函数有什么区别？
事实上，函数、统计、概率三者的差异是非常明显的，例如：
一至三年级的同学都喜欢周星驰，4-6年级的同学都喜欢成龙。这是函数关系；
小学一至六年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是概率关系；
而调查显示，小学一至六年级的同学中，三分之一的同学喜欢周星驰，三分之二的同学喜欢成龙。这是统计关系。
用数学式子可以表示为：设喜欢周星驰用值0表示，喜欢成龙用值1表示。
（1）x{1，2，3，4，5，6，}，y{0，1}， 。
（2）ξ服从分布 ；
（3）调查数据显示，P{y=0}=，而P{y=1}=。
总之，对于（X，A，μ）来说：当μ=1时是函数关系；当μ=p[0，1]时是概率关系；当μ=p时是统计关系。