中学数学竞赛讲座及练习(第22讲)+分式.doc

第二十二讲 分式的化简与求值
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
　　例1 化简分式：

　　分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

　　 　　　＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］

　　说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．
　　例2 求分式

　　当a=2时的值．
　　分析与解 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：
　　a2-b2=(a+b)(a-b)，
　　可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

　　例3 若abc=1，求

　　分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
　　解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．

　　解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

　　例4 化简分式：

　　分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

　　说明

　　互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
　　例5 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：

　　似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．
　　解

　　说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用
　　例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求

　　分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．
　　解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
　　由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有

　　说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．
　　例7 化简分式：

　　适当变形，化简分式后再计算求值．

　　(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．
　　原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
　　　　　　=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
　　　　　　=10，
　　原式分母=(x2-8x+13)+2=2，

　　说明 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．

　　解法1 利用比例的性质解决分式问题．
　　(1)若a+b+c≠0，由等比定理有

　　所以
　　a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
　　于是有

　　(2)若a+b+c=0，则
　　a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
　　于是有

　　说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
　　解法2 设参数法．令

　　则
　　a+b=(k+1)c，①
　　a+c=(k+1)b，②
　　b+c=(k+1)a．③
　　①+②+③有
　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
　　所以 (a+b+c)(k-1)=0，
　　故有k=1或 a+b+c=0．
　　当k=1时，

　　当a+b+c=0时，
　　说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．

练习四

　　1．化简分式：

　　2．计算：

　　3．已知：
　　(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2
　　=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，

　　的值．