湘教版八年级期中数学试卷2.doc

2015-2016学年湖南省八年级（下）期中数学模拟试卷

一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．70°
2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
3．下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
7．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A． B． C． D．1
9．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
10．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0
11．不等式组的整数解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

二．填空题（共6小题）
13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　　　　　　．
14．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　　　　　　cm．

15．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　　　　　　．

16．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为　　　　　　．
17．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　　　　　　．

18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　　　　　　．

三．解答题（共6小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

20．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．
21．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
22．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．

2015-2016学年湖南省八年级（下）期中数学模拟试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．70°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．

2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（　　）

A． B．1 C． D．2
【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE=CE=1．
故选B．
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．

3．下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【考点】不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不符合题意．
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
在数轴上表示不等式的解集是：

故选：D．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

5．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8
【考点】坐标与图形变化-平移；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．

∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB=3．
∵∠CAB=90°，BC=5，
∴AC=4．
∴A′C′=4．
∵点C′在直线y=2x﹣6上，
∴2x﹣6=4，解得 x=5．
即OA′=5．
∴CC′=5﹣1=4．
∴S▱BCC′B′=4×4=16 （面积单位）．
即线段BC扫过的面积为16面积单位．
故选：C．
【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积．

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．

7．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（　　）

A． B． C． D．1
【考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中， =1，即可解答．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，
∴∠PBC==30°，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中， =1，
∴点P到边AB所在直线的距离为1，
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．

9．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【分析】满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∵y=nx+4n=0时，x=﹣4，
∴nx+4n＞0的解集是x＞﹣4，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的解集是﹣4＜x＜﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．

10．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m＜0 B．﹣1＜m≤0 C．﹣1≤m≤0 D．﹣1＜m＜0
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出不等式的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵不等式组的解集为m﹣1＜x＜1，
又∵不等式组恰有两个整数解，
∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，
解得：﹣1≤m＜0
恰有两个整数解，
故选A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出关于m的不等式组，难度适中．

11．不等式组的整数解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即可求出个数．
【解答】解：，
解不等式①得，x＞﹣，
解不等式②得，x≤1，
所以，不等式组的解集是﹣＜x≤1，
所以，不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个．
故选C．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

12．在平面直角坐标系中，点A（，），B（3，3），动点C在x轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等，求出AB的中垂线与x轴的交点，即可求出点C1的坐标；然后再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；最后判断出以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点，据此判断出点C的个数为多少即可．
【解答】解：如图，
，
∵AB所在的直线是y=x，
∴设AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+b，
∵点A（，），B（3，3），
∴AB的中点坐标是（2，2），
把x=2，y=2代入y=﹣x+b，
解得b=4，
∴AB的中垂线所在的直线是y=﹣x+4，
∴C1（4，0）
以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴的交点为点C2、C3；
AB==4，
∵3＞4，
∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与x轴没有交点．
综上，可得
若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为3．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了坐标与图形性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

二．填空题（共6小题）
13．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　4：3　．
【考点】角平分线的性质．
【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3．
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．

14．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=　16　cm．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，
∴AB=40﹣24=16（cm）．
故答案为：16．
【点评】（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．

15．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为　　．

【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD，
设CD=x，则BD=4﹣x，
在Rt△BCD中，
CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，
解得x=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．

16．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为　4　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】求出不等式组的解集，根据已知得出a﹣1=3，从而求出a的值．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x＜a﹣1，
∵不等式组的解集为1＜x＜3，
∴a﹣1=3，
∴a=4
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元一次不等式组，解一元一次方程的应用，关键是能求出a﹣1=3．

17．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　10　．

【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的基本性质解答即可．
【解答】解：根据题意，将周长为8的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC，
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．

18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=　5　．

【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC﹣EC=2，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．
【解答】解：作FG⊥AC，
根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，
∵点F是DE的中点，
∴FG∥CD
∴GF=CD=AC=3
EG=EC=BC=2
∵AC=6，EC=BC=4
∴AE=2
∴AG=4
根据勾股定理，AF=5．

【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线性质、勾股定理的综合运用，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．

三．解答题（共6小题）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB===13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴，
解得：，
∴CE=2，
∴OE=2．

【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键．

20．解不等式：≤﹣1，并把解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：去分母得，4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号得，8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项得，8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项得，﹣x≤﹣2，
把x的系数化为1得，x≥2．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．

21．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可确定出所有非负整数解．
【解答】解：，
由①得：x≥﹣2；
由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，
则不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【解答】解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，
由题意得，×2=，
解得：x=3500，
经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元；
（2）由（1）得，今年的大蒜数为：×3=300（吨），
设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，
由题意得，，
解得：100≤m≤120，
总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000，
当m=120时，利润最大，为228000元．
答：应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．

【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）利用关于x轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的坐标，然后画出图形即可；
（2）利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标；
（3）利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）根据关于x轴对称点的坐标特点可知：A1（2，﹣4），B1（1，﹣1），C1（4，﹣3），
如图下图：连接A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．

（2）如图：

（3）由两点间的距离公式可知：BC=，
∴点C旋转到C2点的路径长=．
【点评】本题主要考查的是图形的对称、图形的旋转以及扇形的弧长公式，掌握相关性质是解题的关键．

24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．

【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．