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第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷

题号
一
二
三
四
五
六
七
总计
得分

复核人

全卷共七题，总分为140分。

一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O¢O平行的方向射向a．以l表示b与O¢O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．

二、（15分）U形管的两支管 A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 cm2，cm2，cm2，在 C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为℃时，空气柱长为＝30 cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为 ＝2.0cm，＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为＝12 cm．大气压强保持为 ＝76 cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 ＝97℃时空气的体积．

三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处和，分别将质量为的物体和质量为的待发射卫星同时自由释放，只要比足够大，碰撞后，质量为的物体，即待发射的卫星就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知＝20，地球半径＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

四、(20分)如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．

五、(22分)有一半径为的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．
己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？

六、(23分)两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：当时，电势；电势为零的点的坐标, 电势为极小值的点的坐标为 （＞2）。试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在轴上的位置．

七、(25分)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为处沿水平方向以初速抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为（＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知
（1）

因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有
（2）
由式（1）、（2）可得
（3）
代入数据，可得
（4）
若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得
（5）

评分标准：本题15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。

二、参考解答
在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为
， （1）
（2）
当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大
（3）
由此造成气柱中空气体积的增大量为
（4）
与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
（5）
所以，当温度为时空气的体积和压强分别为
（6）
（7）
由状态方程知
（8）
由以上各式，代入数据可得
K （9）
此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为
（10）
代入数据可得
（11）
评分标准：本题15分。
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。

三、参考解答
位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
， （1）
式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为
（2）
于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为
（3）
作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为
（4）
（5）
为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中
点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为
（6）
式中是地球的质量。由上式可以得到
（7）
由以上各式可以求得
（8）
可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为
（9）
物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有
（10）
式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得
（11）
可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。
设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有
， （12）
（13）
解式（12）和式（13），得
（14）
质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有
（15）
由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
（16）
的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有
（17）
由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到
（18）
已知m，则得
（19）
评分标准：本题20分。
求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。

四、参考解答
图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有
（1）

在中
（2）
（3）
由式（1）和式（2）得

再由式（3）得

设点到的距离为，有

得

（4）
解式（4）可得
（5）
为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式

由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为
（6）
上式给出随变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为
（7）
在轴上处，无光线通过。
随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角相应的光线有

这光线的折射线与轴线的交点处于
（8）
在轴上处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右
（9）
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。与就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示

评分标准：本题20分。
求得式（7）并指出在轴上处无光线通过，给10分；求得式（8）并指出在轴上处无光线通过，给6分；得到式（9）并指出上有光线段的位置，给4分。

五、参考解答
放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为，水平摩擦力为；圆柱B受墙面的正压力为，竖直摩擦力为，圆柱A受圆柱B的正压力为，切向摩擦力为；圆柱B受圆柱A的正压力为，切向摩擦力为，如图复解20-5所示。各力以图示方向为正方向。
已知圆柱A与地面的摩擦系数＝0.20，两圆柱间的摩擦系数＝0.30。设圆柱B与墙面的摩擦系数为，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。
设两圆柱的质量均为，为了求出、、以及为保持平衡所需的、、之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：
圆柱A： （1）
（2）
（3）
圆柱B： （4）
（5）
（6）
由于，所以得
（7）
式中代表，，和的大小。又因，于是式（1）、（2）、（4）和（5）四式成为：
（8）
（9）
（10）
（11）
以上四式是，，和的联立方程，解这联立方程可得
（12）
（13）
（14）
（15）
式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，，，没有问题，但，，三个力能不能达到所需要的数值，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。三个力中只要有一个不能达到所需的值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。
首先讨论圆柱B与墙面的接触点。接触点不发生滑动要求

由式（12），得

所以
（16）
再讨论圆柱A与地面的接触点的情形。按题设此处的摩擦系数为＝0.20，根据摩擦定律，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力满足，则圆柱在地面上不滑动；若，这一点将要发生滑动。
圆柱A在地面上不发生滑动的条件是
（17）
由图复解20-5可知
（18）
（19）
由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，可以求得
（20）
即只有当时，圆柱A在地面上才能不滑动。
最后讨论两圆柱的接触点。接触点不发生滑动要求
（21）
由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得
（22）
显然，在平衡时，的上限为。总结式（20）和式（22），得到满足的条件为

（23）
评分标准：本题22分。
求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。

六、参考解答
在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；负电荷在空间各点的电势为负。现已知处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点处，以表示该点电荷的电量。当从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，这表明负的点电荷必定在原点的左侧。设它到原点的距离为，当很大时，电势一定为负，且趋向于零，这表明负的点电荷的电量的数值应大于。即产生题目所给的电势的两个点电荷，一个是位于原点的正电荷，电量为；另一个是位于负轴上离原点距离处的负电荷，电量的大小为，且＞。按题目所给的条件有
（1）
（2）
因时，电势为极小值，故任一电量为的正检测电荷位于处的电势能也为极小值，这表明该点是检测电荷的平衡位置，位于该点的检测电荷受到的电场力等于零，因而有
（3）
由式（1）、（2）和（3）可解得
（4）
（5）
（6）
式中为静电力常量。
评分标准：本题23分。
式（1）、（2）各4分，式（3）6分，式（4）、（5）、（6）各3分。

七、参考解答
设物块在点第一次与地面碰撞，碰撞前水平速度仍为，竖直速度为
（1）
碰撞后物块的竖直速度变为，根据题意，有
（2）
设物块的质量为，碰撞时间为，因为碰撞时间极短，物块与地面间沿竖直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，这样，物块对地面的正压力的大小为
（3）
水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果，设水平方向速度变为，则有
（4）
由以上各式得
（5）
同理，在落地点，，…，其碰撞后的竖直分速度分别为

…………
（6）
其水平速度分别为

…………
（7）
由式（6）可知，只有当碰撞次数时，碰地后竖直方向的分速度才趋向于零，但物块对地面的正压力的最小值不小于。地面作用于物块的摩擦力的最小值不小于，因次，物块沿水平方向的分速度一定经历有限次数碰撞后即变为零，且不会反向。
设经过次碰撞，物块沿水平方向的分速度已经足够小，再经过一次碰撞，即在次碰撞结束后，水平方向的分速度恰好变为零。因，由式（7）

两边取对数
（8）
令
（9）
若恰为整数，这表示这次碰撞中，经过整个碰撞时间，水平速度变为零，则碰撞次数

有 （10）
若不是整数，此种情况对应于在次碰撞结束前，即在小于碰撞时间内，水平速度变为零。则碰撞次数

有
（11）
表示的整数部分。
由于经过次碰撞，物块沿水平方向的分速度已为零，但竖直方向的分速度尚未为零，故物块将在处作上下跳跃，直到，即，最后停止在处。物块运动的最远水平距离。下面分别计算每次跳跃的距离。
（12）

…………
（13）
所求距离为上述所有量的总和，为

（14）
分别求级数的和：
（15）

（16）
将以上两个关系式和代入式（14），得
（17）
式中由式（10）或式（11）决定。
评分标准：本题25分。
式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）并说明的取值，给3分。

第21届全国中学生物理竞赛复赛题试卷

一、(20分)薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评判．对于均匀薄膜材料，在一定温度下，某种气体通过薄膜渗透过的气体分子数，其中t为渗透持续时间，S为薄膜的面积，d为薄膜的厚度，为薄膜两侧气体的压强差．k称为该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数．透气系数愈小，材料的气密性能愈好．
图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意图．EFGI为渗透室，U形管左管上端与渗透室相通，右管上端封闭；U形管内横截面积A＝0.150cm2．实验中，首先测得薄膜的厚度d =0.66mm，再将薄膜固定于图中处，从而把渗透室分为上下两部分，上面部分的容积，下面部分连同U形管左管水面以上部分的总容积为V1，薄膜能够透气的面积S =1.00cm2．打开开关K1、K2与大气相通，大气的压强P1＝1.00atm，此时U形管右管中气柱长度，．关闭K1、K2后，打开开关K3，对渗透室上部分迅速充气至气体压强，关闭K3并开始计时．两小时后， U形管左管中的水面高度下降了．实验过程中，始终保持温度为．求该薄膜材料在时对空气的透气系数．（本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定，在压强差变化不太大的情况下，可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值来代替公式中的．普适气体常量R = 8.31Jmol-1K-1，1.00atm = 1.013×105Pa）．

二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R的2倍，卫星通过近地点时的速度，式中M为地球质量，G为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R表示）

三、(15分)m子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批m子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N(0), t时刻剩余的粒子数为N(t)，则有，式中t为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的m子数为原来的5％，试估算m子产生处相对于地面的高度h．不考虑重力和地磁场对m子运动的影响．

四、(20分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．
z
如图，S1、S2、S3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）
1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置．
2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据．

L
S1
S3
P
a
a
S2
a
h
h

五、(20分)如图所示，接地的空心导体球壳内半径为R，在空腔内一直径上的P1和P2处，放置电量分别为q1和q2的点电荷，q1＝q2＝q，两点电荷到球心的距离均为a．由静电感应与静电屏蔽可知：导体空腔内表面将出现感应电荷分布，感应电荷电量等于－2q．空腔内部的电场是由q1、q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的．由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的，所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强．但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷来代替（在本题中假想(等效)点电荷应为两个），只要假想的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，即：设想将整个导体壳去掉，由q1在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷与q2共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为0．这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的．等效电荷取代感应电荷后，可用等效电荷、和q1、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强．
1．试根据上述条件，确定假想等效电荷、的位置及电量．
r
P2
P1
q
R
A
O
a
a
2．求空腔内部任意点A的电势UA．已知A点到球心O的距离为r，与的夹角为q ．

A
B
C
p-a
D
E
六、(20分)如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为p-a ，a < p/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为0这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．

七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速．设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系．
x
O
y
v0
c
a
b
y
d

第21届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、开始时U形管右管中空气的体积和压强分别为
V2 = HA （1）
p2= p1
经过2小时，U形管右管中空气的体积和压强分别为
（2）
（3）
渗透室下部连同U形管左管水面以上部分气体的总体积和压强分别为
（4）
（5）
式中r 为水的密度，g为重力加速度．由理想气体状态方程可知，经过2小时，薄膜下部增加的空气的摩尔数
（6）
在2个小时内，通过薄膜渗透过去的分子数
（7）
式中NA为阿伏伽德罗常量．
渗透室上部空气的摩尔数减少，压强下降．下降了Dp
（8）
经过2小时渗透室上部分中空气的压强为
（9）
测试过程的平均压强差
（10）
根据定义，由以上各式和有关数据，可求得该薄膜材料在0℃时对空气的透气系数
（11）
评分标准：
本题20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．

二、如图，卫星绕地球运动的轨道为一椭圆，地心位于轨道椭圆的一个焦点O处，设待测量星体位于C处．根据题意，当一个卫星运动到轨道的近地点A时，另一个卫星恰好到达远地点B处，只要位于A点的卫星用角度测量仪测出AO和AC的夹角a1，位于B点的卫星用角度测量仪测出BO和BC的夹角a2，就可以计算出此时星体C与地心的距离OC．
因卫星椭圆轨道长轴的长度
(1)
式中r近、与r远分别表示轨道近地点和远地点到地心的距离．由角动量守恒
A
B
O
a1

(2)
式中m为卫星的质量．由机械能守恒
(3)
已知
C
，
得 (4)
所以 (5)
在△ABC中用正弦定理
(6)
所以 (7)
地心与星体之间的距离为，在△BOC中用余弦定理
(8)
由式(4)、(5)、(7)得

(9)
评分标准：
本题20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．

三、因m子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命

根据时间膨胀效应，在地球上观测到的m子平均寿命为t，
(1)
代入数据得
t = 1.4×10－5s (2)
相对地面，若m子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的m子数为
(3)
根据题意有
(4)
对上式等号两边取e为底的对数得
(5)
代入数据得
(6)
根据题意，可以把m子的运动看作匀速直线运动，有
(7)
代入数据得
(8)
评分标准：
本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．

z
a
L
S1

P
a
S2
a
h
h

S3’
O1
O2(S2’)
O3
图1
M’
M
u
四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式
(1)
可解得

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得
≈1.757h