【解析版】江苏省淮安市盱眙县马坝中学2012-2013学年高三（下）期初数学试卷.doc

2012-2013学年江苏省淮安市盱眙县马坝中学高三（下）期初数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题
1．（3分）（2010•盐城二模）已知全集U={1，2，3，4}，集合P={1，2}，Q={2，3}，则P∩（∁UQ）=　{1}　．

考点：
交、并、补集的混合运算．
专题：
计算题．
分析：
根据题意，由补集的运算可得CUQ，再由交集的运算可得答案．
解答：
解：根据题意，由补集的运算可得，CUQ={ 1，4}，
已知集合P={1，2}，
由交集的运算可得，P∩（CUQ）={1}．
点评：
本题考查集合的交、并、补的运算，注意运算结果是集合的形式．

2．（3分）已知等差数列）=　﹣　．

考点：
等差数列的通项公式；诱导公式的作用．
专题：
计算题．
分析：
由等差数列中，知，由此能求出tan（a1+a2009）的值．
解答：
解：∵等差数列中，
∴，
∴tan（a1+a2009）
=
=
=﹣．
点评：
本题考查等差数列的通项公式，解题时要认真审题，注意三角函数诱导公式的灵活运用．

3．（3分）已知边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为，推广到空间，棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为：　a　．

考点：
类比推理．
专题：
计算题；阅读型．
分析：
三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的，类彼此可利用四面体的体积相等求得棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和．
解答：
解：边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的，
由此可以推测棱长为a的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到．
方法如下，如图，
在棱长为a的正四面体内任取一点P，P到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4．
四面体A﹣BCD的四个面的面积相等，均为，高为．
由体积相等得：．
所以．
故答案为．

点评：
本题考查了类比推理，考查了学生的空间想象能力，训练了等积法求点到面的距离，是基础题．

4．（3分）（2012•黄山模拟）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1、x2（x1≠x2），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x2﹣2x+3；
③f（x）=；
④f（x）=ex；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是　①②　．（写出所有满足条件的函数的序号）

考点：
导数的运算；命题的真假判断与应用．
专题：
计算题；新定义．
分析：
对于所给的每一个函数，分别计算和的值，检验二者是否相等，从而根据恒均变函数”的定义，做出判断．
解答：
解：对于①f（x）=2x+3，==2，=2，满足，为恒均变函数．
对于②f（x）=x2﹣2x+3，===x1+x2﹣2
=2•﹣2=x1+x2﹣2，故满足，为恒均变函数．
对于；③，==，=﹣=，
显然不满足，故不是恒均变函数．
对于④f（x）=ex ，=，=，显然不满足
，故不是恒均变函数．
对于⑤f（x）=lnx，==，=，
显然不满足 ，故不是恒均变函数．
故答案为 ①②．
点评：
本题主要考查函数的导数运算，“恒均变函数”的定义，判断命题的真假，属于基础题．

5．（3分）定义方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=cosx（）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是　γ＞α＞β　．

考点：
函数的零点与方程根的关系．
专题：
新定义．
分析：
分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．
解答：
解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=﹣sinx，
由题意得：
α=1，ln（β+1）=，cosγ=﹣sinγ，
①∵ln（β+1）=，
∴（β+1）β+1=e，
当β≥1时，β+1≥2，
∴β+1≤＜2，
∴β＜1，这与β≥1矛盾，
∴0＜β＜1；
②∵cosγ=﹣sinγ，
∴γ＞1．
∴γ＞α＞β．
故答案为：γ＞α＞β．
点评：
函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．

6．（3分）设a，b为正数，且a+b=1，则的最小值是
　　．

考点：
基本不等式；平均值不等式．
专题：
整体思想．
分析：
因为a+b=1，所以可变形为（）（a+b），展开后即可利用均值不等式求解．
解答：
解：∵a，b为正数，且a+b=1，
∴=（）（a+b）=+1++2=，
当且仅当，即b=a时取等号．
故答案为．
点评：
本题考查了利用均值不等式求最值，灵活运用了“1”的代换，是高考考查的重点内容．

7．（3分）（2009•辽宁）若函数f（x）=在x=1处取极值，则a=　3　．

考点：
利用导数研究函数的极值．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
先求出f′（x），因为x=1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，代入求出a即可．
解答：
解：f′（x）==．
因为f（x）在1处取极值，
所以1是f′（x）=0的根，
将x=1代入得a=3．
故答案为3
点评：
考查学生利用导数研究函数极值的能力．

8．（3分）若A（﹣2，﹣3），B（1，1），点P（a，2）是AB的垂直平分线上一点，则a=　　．

考点：
中点坐标公式．
专题：
计算题．
分析：
因为P为AB垂直平分线上一点，根据垂直平分线定理可得AP=BP，利用两点间的距离公式列出方程求出a即可．
解答：
解：点P（a，2）是AB的垂直平分线上一点，则AP=BP，即=
两边平方得：4a+4+25=﹣2a+1+1，解得a=﹣
故答案为：﹣
点评：
考查学生会利用垂直平分线定理解决数学问题，灵活运用两点间的距离公式化简求值．

9．（3分）已知平面向量，且满足，则的取值范围　[1，3]　．

考点：
向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律．
专题：
计算题．
分析：
由||+||≥|+|，||﹣||≤|+|．知|+|﹣||≤||≤|+|+||，由此能求出||的取值范围．
解答：
解：||+||≥|+|，
类似于三角形两边之和大于第三边，但这里的边可以重合，所以等号成立的；
同理：||﹣||≤|+|．
类似于两边之差小于第三边，
所以|+|﹣||≤||≤|+|+||
||的取值范围是：1≤||≤3．
故答案为：[1，3]．
点评：
本题考查向量的模的求法，解题时要认真审题，仔细解答．

10．（3分）已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=　2n　．

考点：
等差数列的前n项和；数列递推式．
专题：
计算题．
分析：
由题意知得 ，由此可知数列{an}的通项公式an．
解答：
解：a1=S1=1+1=2，
an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]
=2n．
当n=1时，2n=2=a1，
∴an=2n．
故答案为：2n．
点评：
本题主要考查了利用数列的递推公式an=Sn﹣Sn﹣1求解数列的通项公式，属于基础题．

11．（3分）已知曲线y=x3+2与曲线y=4x2﹣1在x=x0处的切线互相垂直，则x0的值为　　．

考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：
导数的综合应用．
分析：
分别对函数y=x3+2、y=4x2﹣1求导得出在x=x0处的切线的斜率，由两切线的斜率积等于﹣1得x0的方程，解方程得答案．
解答：
由y=x3+2得y′=x2，在x=x0处的切线的斜率，
由y=4x2﹣1得y′=8x，在x=x0处的切线的斜率k2=8x0
又切线互相垂直，所以k1•k2=﹣1，即，解得，
故答案为：
点评：
本题主要考查了利用导数求切线方程的方法及两条直线垂直与两斜率间的关系．

12．（3分）（2006•天津）设向量与的夹角为θ，且，，则cosθ=　　．

考点：
平面向量数量积坐标表示的应用．
分析：
先求出，然后用数量积求解即可．
解答：
解：设向量与的夹角为θ，且，
∴，
则cosθ==．
故答案为：
点评：
本题考查平面向量的数量积，是基础题．

13．（3分）（2012•陕西）观察下列不等式：
，
，

…
照此规律，第五个不等式为　1+++++＜　．

考点：
归纳推理．
专题：
探究型．
分析：
由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式
解答：
解：由已知中的不等式
1+，，1++，…
得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方
右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，
故可以归纳出第n个不等式是 1+…+=，（n≥2），
所以第五个不等式为1+++++＜
故答案为：1+++++＜
点评：
本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性

14．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；
④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．
其中正确的命题是　①③④　．（写出所有正确命题的序号）

考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．
解答：
解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①正确，②错误；
到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确；
到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=1}，集合是两条平行线，故④正确；
故答案为：①③④
点评：
本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．

二、解答题
15．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=﹣1取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值．

考点：
利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
导数的综合应用．
分析：
（1）本题是据题意求参数的题，题目中x=﹣1时有极大值2，且f′（1）=0，函数图象过原点，可转化出4个等式，利用其建立方程求解即可得函数y=f（x）的解析式．
（2）对任意的x∈[﹣2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，可知当x∈[﹣2，4]时恒有f（x）≥f′（x）+6x+m，将问题转化为m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x恒成立，再利用常数分离法进行求解．
解答：
解：（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），
∵x=﹣1时有极大值2，∴f′（﹣1）=3a﹣2b+c=0 ①
又f（0）=d=0 ②
f′（1）=3a+2b+c=0 ③
f（﹣1）=﹣a+b﹣c=2 ④
①②③④联立得 a=1，b=0，c=﹣3，d=0．
故函数f（x）=x3﹣3x2．
（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，
∴m≤f（x）﹣f′（x）﹣6x，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣6x=x3﹣3x2﹣9x+3，∴g′（x）=3x2﹣6x﹣9，
令g′（x）=0，得x=﹣1或x=3，
∴g（x）在[﹣2，﹣1]内单调递增，在[﹣1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，
∴g（x）min=g（3）=﹣24；
∴m≤﹣24，即mmax=﹣24．
点评：
本小题考点是导数的运用，考查导数与极值的关系，本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数﹣﹣﹣求函数的表达式．

16．抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，﹣1）作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型．

考点：
圆锥曲线的轨迹问题．
专题：
计算题．
分析：
设直线：AB：y=kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），求出F的坐标，利用AB和RF是平行四边形的对角线，对角线的中点坐标重合，直线与抛物线有两个交点，推出k的范围，整理出R的轨迹方程即可．
解答：
解：设直线：AB：y=kx﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），R（x，y），由题意F（0，1）．
由 y=kx﹣1，x2=4y，
可得x2=4kx﹣4．
∴x1+x2=4k．
∵AB和RF是平行四边形的对角线，
∴x1+x2=x，y1+y2=y+1．
y1+y2=k（x1+x2）﹣2=4k2﹣2，
∴x=4k y=4k2﹣3，消去k，可得得x2=4（y+3）．
又∵直线和抛物线交于不同两点，
∴△=16k2﹣16＞0，
|k|＞1
∴|x|＞4
所以x2=4（y+3），（|x|＞4）
点评：
本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意挖掘题目的条件，推出直线的斜率的范围（这是容易疏忽的地方），平行四边形的对角线的交点的特征，是解题的关键．

17．（2012•芜湖二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，﹣2），点C满足，其中m，n∈R且m﹣2n=1．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0，b＞0且a≠b）交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；双曲线的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与双曲线方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得从而又e得出．解得双曲线实轴长2a的取值范围即可．
解答：
解：（1）设C（x，y），∵
∴（x，y）=m（1，0）+n（0，﹣2）．
∴∵m﹣2n=1，
∴x+y=1
即点C的轨迹方程为x+y=1（15分）
（2）由得（b2﹣a2）x2+2a2x2﹣a2﹣a2b2=0
由题意得（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
∵以MN为直径的圆过原点，∴．即x1x2+y1y2=0．
∴x1x2+（1﹣x1）（1﹣x2）=1﹣（x1+x2）+2x1x2=．即b2﹣a2﹣2a2b2=0．
∴为定值．（14分）
（3）∵
∴
∵e∴．
∴
解得：0＜a≤，0＜2a≤1
∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．
点评：
本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．

18．设0＜a＜b＜1+a，解关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2．

考点：
一元二次不等式的解法．
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
不等式移项变形后，利用平方差公式分解因式，根据0＜a＜b＜1+a分三种情况考虑：当0＜a＜1时；当a=1时；当a＞1时，分别求出解集即可．
解答：
解：原不等式可化为[（1+a）x﹣b][（1﹣a）x﹣b]＞0，
∵0＜a＜b＜1+a，
∴当0＜a＜1时，不等式化为（x﹣）（x﹣）＞0，
∴不等式的解集为{x|x＞或x＜}；
当a=1时，不等式化为（x﹣）（﹣b）＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜}；
当a＞1时，不等式化为（x﹣）（x﹣）＜0，
∴不等式的解集为{x|＜x＜}．
点评：
此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论的思想，是一道基本题型．

19．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF：FC=1：3．
（1）若M为AB中点，求证：BB1∥平面EFM；
（2）求证：EF⊥BC；
（3）求二面角A1﹣B1D﹣C1的大小．

考点：
直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：
证明题．
分析：
（1）先连接EM、MF，根据中位线定理得到BB1∥ME，再由 线面平行的判定定理得到BB1∥平面EFM，即可．
（2）取BC的中点N，连接AN，再由正三棱柱的性质得到AN⊥BC，再由F是BN的中点可得到MF∥AN，从而得到MF⊥BC、ME⊥BC，再根据线面垂直的判定定理得到BC⊥平面EFM，进而可证明BC⊥EF．
解答：
（1）证明：连接EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，
∴BB1∥ME，又BB1⊄平面EFM，∴BB1∥平面EFM．
（2）证明：取BC的中点N，连接AN由正三棱柱得：AN⊥BC，
又BF：FC=1：3，∴F是BN的中点，故MF∥AN，
∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME．
∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM，
又EF⊂平面EFM，∴BC⊥EF．
（3）解 取B1C1的中点O，连结A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由点O作B1D的垂线OQ，垂足为Q，连结A1Q，由三垂线定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD为二面角A1﹣B1D﹣C的平面角，易得∠A1QO=arctan
点评：
本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查立体几何中的基本定理的应用．

20．（2010•安徽模拟）甲乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量X=|x﹣y|．
（1）求y=2的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望．

考点：
等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：
计算题．
分析：
（1）由题意知y=2 包括两种情况，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，根据变量的结果对应的事件做出两种情况的概率，这两种情况是互斥的，且每一种情况中包含的事件是相互独立事件，根据公式得到结果．
（2）由题意知随机变量的取值是0、1、2、3，根据不同变量对应的事件得到概率，写出分布列和期望，不同是一个必得分的题目．
解答：
解：（1）由题意知y=2 包括两种情况，一是x=2，y=2，一是x≠2，y=2，
∴P（y=2）=P（x=2，y=2）+P（x≠2，y=2）=
（2）随机变量X可取的值为0，1，2，3
当X=0时，（x，y）=（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）
∴
当X=1时，（x，y）=（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）
∴
同理可得
∴随机变量X的分布列为

∴
点评：
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道大题，文科考概率一般考查古典概型和几何概型．