一道平面几何题的“小乾坤”.docx

一道平面几何定值问题里的“小乾坤”
王钦华 四川苍溪实验中学校
在平面几何中常常会遇见一些定值问题，所谓的定值问题是指：在变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或是几何元素的某些几何性质或位置关系不变的一类问题。如初中数学竞赛中有如下平面几何题：这些题形式简洁，但内涵丰富。笔者略微整理，请指正。
题目1 若是给定等腰三角形中底边上的任意一点，过作于，于，求证：为定值。
1.1 解题
先来看看它本身的解法，目前探讨的解法有四种，分别如下：
1.1.1 解法一：极端化法
点是边上任意一点，于是可以考虑点与点重合时，过点作于,显然此时的,即定值为腰上的高。
现证明如下：
过（异于、两点）作于，于,于。显然,再证明即可。
为等腰三角形

又
故在和中

即 为定值且为腰上的高得证
1.1.2解法二：面积法

如图所示连接

（等腰中)
而，所以（为腰上的高）显然为定值。
1.1.3解法三：借助于锐角三角函数
设等腰的底边为，腰长为，过点作于,过点作于

易知，又有

在和中,

在中，又
（定值）
1.1.4解法四：坐标法
以等腰底边所在的直线为轴，底边高为轴建立如图所示的直角坐标系：

设,,,
直线
直线
由不等式表示的平面区域知点在直线的右侧，在直线的左侧，所以将点代入直线可得：

又由点到直线的距离公式可知：

=（定值）
可以验证这一值仍然是等腰腰上的高。
由此我们还可以得出如下结论：
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于等腰三角形一腰上的高