反函数的本质.doc

反函数的本质分析
刘鹏举

由于高中课本对于函数及其反函数的讲解推理较少，使得许多同学错误地认为：由于x=f-1(y)与y= f(x)在同一坐标系的图象是相同的，函数y=f(x) 与x=f-1(y)是同一函数，其反函数都是y=f-1(x ) 。
错误的原因在于受传统“y表示函数x表示自变量”的思维束缚而忽视了f到f-1 的变化。函数y=f(x)的反函数就是x=f-1(y)，因为自变量到函数的对应关系变了，只是习惯上用x表示自变量，y表示函数，故将y=f(x)的反函数x=f-1(y)仅仅做字母变化记作y=f-1(x)
y=f(x)中的x处于自变量的位置，而从关系是理解出x变成x=f-1(y)以后，此时的x 处于函数的位置，不能在原图上将x当作自变量来画图，也就是说，x=f-1(y)中的x不再用横坐标来衡量，而要用纵坐标（函数轴）来衡量。
如已知函数y=x2(x≧0),可以解出x= ≧0)尽管字母没变，但字母表示的意义变了，x= ≧0)中的x不能再当作自变量来作图。y=x2(x≧0)的图象与x= ≧0)的图象
应该关于直线y=x对称。
因此，函数与它相应的反函数的图像重在研究f与 f-1，，而不在于y与x （不管反函数的形式如何），即“y=f(x)的图象与x=f-1(y)的图象关于直线y=x对称”及“y=f(x)的图象与y=f-1(x) 的图象关于直线y=x对称”，两种说法都表示函数与反函数的图象关系。
函数轴

认为y=f(x)与x=f-1(y)两者图象相同的错误在于：始终把x当作永恒的自变量，把y当作永恒的函数，着重考察y与x而忽视了f与f-1。当函数x=f-1(y)与y=f-1(x)有着相同的定义域和值域时就表示相同的函数，它们都是y=f(x)的反函数（若y=f(x)反函数的定义域与值域和前者相同）。
图2
图3
为明确其中关系可以看下面的分解图象。
y y

自变量轴
x x

图1

由于函数y=f(x)与x=f-1(y)中 y与x地位的变化，所以不能在图1或者图2这样标明了x 、y的同一个坐标系中画图，如果将图1与图2中的图像同时画在图3的坐标里，就可以直观地看到y=f(x)与x=f-1(y)的关系了。

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