与圆有关的证明.docx

教学设计
课题：与圆有关的证明
桂平市西山一中 李冠成
教学目标：1、知识与技能：与圆有关的证明——切线的证明，活用“作垂直，证半径”；“作半径，证垂直”的技能。
2、过程与方法：寻找解题突破口，数形结合思想。
3、情感态度与价值观：从正确求解过程中获得喜悦。
教学重点：切线的证明
教学难点：正确作出证明与求解
教学过程：一、知识回顾
圆的重要定理：
（1）切线的性质定理：主要是用来证明——垂直关系。
（2）切线的判定定理：主要是用来证明直线是圆的切线。
三角形的重要定理：
（1）中位线定理：主要是用来求出相关线段的关系或值
（2）勾股定理：主要是用来求线段长度或线段的关系
（3）相似：主要是用来求线段间的关系
（4）三角函数：主要用来求边与角的关系
二、技巧与方法
证明一条直线是圆的切线的方法：
（1）“作半径，证垂直”，即当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径。
（2）“作垂直，证半径”，当直线与圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。

三、经典例题解析
已知：如图，AB是⨀𝑂的直径，
⨀𝑂 过AC的中点D，DE ⊥BC于点E。
（1）求证：DE为⨀𝑂的切线；
（2）若DE=2，tanC=12,求⨀𝑂的直径
证明：（1）如图，连结OD
∵𝑫是AC中点，AB是⨀𝑂直径
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ADO= ∠C
又∵DE⊥BC，
∴ ∠C+ ∠EDC=90°，
∴ ∠ADO+ ∠EDC=90°，
∴ ∠ODE=180°-（∠ADO+ ∠EDC）=180°-90°=90°，
即DE⊥OD，而OD是⨀𝑂半径，∴DE是⨀𝑂的切线。
(2)连结BD，
∵DE=2，tanC=12,,
∴在Rt △DEC和Rt △CDB中，EC=4，
CD=2DB
根据勾股定理得：
DC=DE2+EC2=22+42=20=25
∴DB=5
又∵AB是⨀𝑂直径，
∴ ∠ADB=90°，而∠CDB与∠ADB互为邻补角，
∴ ∠CDB=90°
又∵ ∠DBE是Rt △DBE和Rt △CDB的公共角
∴ Rt △DBE和Rt △CDB相似，
∴﷐DECD =DBCB﷐
∴CB=DB×CDDE=5×252=5
由（1）得OD=12CB， ∴AB=2OD=2×12CB=5
∴ ⨀𝑂的直径为5

四、提升能力
如图，在∆ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB， ∠BAC=2 ∠CBE，以AB为直径作⨀𝑂交AC于点D，交BE于点F。
C
A
O
B
D
E
F
（1）求证：BC是⨀𝑂的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长。

五、小结
本节你收获了什么？可否分享一下？

中考链接
如图，在△ABC中，以AC为直径作⨀O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F。
（1）求证：直线EF是⨀O的切线；
（2）若CF=3，cosA=25，求出⨀O的半径和BE的长
E
B
D
C
A
O
F