电磁感应中的双杆问题分类例析.doc

4.4电磁感应中的双杆问题分类例析

电磁感应中的双杆问题分类例析
“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类问题进行分类例析
1、“双杆” 在等宽导轨上向相反方向做匀速运动
当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。
2.“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速
当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。
3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。
“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。
4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。
“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。
【例5】如图所示，间距为l、电阻不计的两根平行金属导轨MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为m、电阻均为R的两根相同导体棒a、b垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与a棒连接，其下端悬挂一个质量为M的物体C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。开始时使a、b、C都处于静止状态，现释放C，经过时间t，C的速度为、b的速度为。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为g，求：
（1）t时刻C的加速度值；
（2）t时刻a、b与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。
解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t时刻回路的感应电动势 ①
回路中感应电流 ②
以a为研究对象，根据牛顿第二定律 ③
以C为研究对象，根据牛顿第二定律 ④
联立以上各式解得
（2）解法一：单位时间内，通过a棒克服安培力做功，把C物体的一部分重力势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为b棒的动能，所以，t时刻闭合回路的电功率等于a棒克服安培力做功的功率，即

解法二：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机
a棒的感应电动势为 ⑤
闭合回路消耗的总电功率为 ⑥
联立①②⑤⑥解得
解法三：闭合回路消耗的热功率为
b棒的机械功率为
故闭合回路消耗的总电功率为
说明：在单位时间t内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：

C物体重力做功
C物体重力势能的减少量
C物体克服细绳拉力做功
C物体动能的增加量
细绳拉力对a棒做功
a棒克服安培力做功
a棒动能的增加量
闭合回路消耗的总电能
安培力对b棒做正功
闭合回路产生的焦耳热
b棒动能的增加量
模型：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机

【例1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝0.05T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20 m．两根质量均为m＝0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.50Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37 m／s，问此时两金属杆的速度各为多少?
本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．
解析：设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为vl和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变
△S＝[(x一ν2△t)+ν1△t]l—lχ＝(ν1-ν2) △t
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E＝B△S/△t＝Bι(νl一ν2)
回路中的电流 i＝E／2 R
杆甲的运动方程 F—Bli＝ma
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量(t＝0时为0)等于外力F的冲量． Ft＝mνl＋mν2
联立以上各式解得
ν1＝[Ft/m＋2R(F一ma)／B2l2]／2 ν2＝[Ft／m一2R(F一ma)／B2l2]／2
代入数据得移νl＝8.15 m／s，v2＝1.85 m／s
B
v0
L
a
c
d
b
【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．
（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量
（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：，
此时棒所受的安培力： ，所以棒的加速度为 由以上各式，可得 。
v
v
【例3】两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦.
（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.
（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量.
解析：（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E1=E2=Bdv
由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：
因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。
由以上各式并代入数据得N
（2）设两金属杆之间增加的距离为△L，则两金属杆共产生的热量为，
代入数据得 Q=1.28×10-2J.
【例4】如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ，导轨间距离为，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为和R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。
解法1：设杆2的运动速度为v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势 ①
感应电流 ②
杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， ③
导体杆2克服摩擦力做功的功率 ④
解得 ⑤
解法2：以F表示拖动杆1的外力，以I表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 ①
对杆2有 ②
外力F的功率 ③
以P表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有 ④
300
300
B
c
d
b
a
v
由以上各式得 ⑤
【例5】如图所示，在倾角为300的斜面上，固定两条无限长的平行光滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B＝0.4T，导轨间距L＝0.5m。两根金属棒ab、cd平行地放在导轨上，金属棒质量mab＝0.1kg，mcd＝0.2kg，两金属棒总电阻r＝0.2Ω，导轨电阻不计。现使金属棒ab以v＝1.5m/s的速度沿斜面向上匀速运动，求（1）金属棒cd的最大速度；（2）在cd有最大速度时，作用在金属棒ab上的外力做功的功率。
说明：（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。在第（1）问的分析中，也可以对cd棒的运动方向进行判断，因为不管cd的运动方向如何，它速度最大时mcdgsin300=I’lB式一定成立　。直接解mcdgsin300=I’lB、ε＝Blv＋Blvm、I’＝ε/r式，若vm为正值则表示方向沿轨道向下，若为负值则表示方向向上。（2）对第（2）问的求解方法比较多。选研究对象时，可以用“整体法”，也可以用隔离法。求功率时，可以根据定义P＝Fv计算，也可以根据能的转化和守恒定律求解。
【例6】如图4所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处以速度v0沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B.在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静
(1）a棒进入磁场后做什么运动？b棒做什么运动？
（2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.？
(3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大？
(4）在整个全过程中，回路中消耗的电能是多大？
[解析] 1．a棒在下滑过程中只有重力做正功，动能增加，做加速运动.进入轨道的水平部分后在磁场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而在a、b棒与两滑轨组成的闭合回路中产生感应电流，a棒由此而受到向左的安培力Fa作用，运动受阻而开始减速．由于速度变小，感应电动势、感应电流及安培力都在减小，所以a棒的运动性质是加速度逐渐减小的减速运动．
　与此同时，b棒则受到向右的安培力FB作用自静止起做加速运动．随上述感应电流的减小，受到的FB也会相应减小，所以b棒的运动性质是加速度逐渐减小的加速运动．
　当a、b两棒速度相等时，回路中磁通量不再变化，因而不再有感应电流产生，a、b棒所受安培力都变为零，自此以后，两棒将以相等的速度——即b棒所能达到的最大速度向右做匀速运动．
2．从a棒进入磁场后直到做匀速运动以前，a、b棒都做加速度不断在变化的变速运动.由于是在同一匀强磁场中，回路中的感应电流各处相等，a、b两棒跨接在滑轨之间部分的长度也相等，所以各时刻a、b两棒分别所受的安培力总是等值反向的（Fa=|FB|=ilB）．因此，根据牛顿第二定律,尽管加速度随时间都在逐渐减小,但对于同一时刻来说,
这一比值则总是确定的．
　　3．a棒进入磁场之初的速度最大，设为va．根据动能定理，
　　 在水平轨道上运动过程，由于在两棒与轨道组成的系统中，Fa与FB总是等值反向的，即合外力始终为零，所以这个系统动量守恒．设两棒最后共同运动速度为v '，则有

v ' 也就是b棒的最大速度vB．
4．在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能E电必须根据能量守恒计算，
【例7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒a和b，与导轨紧密接触且可自由滑动。先固定a，释放b，当b的速度达到10m/s时，再释放a，经过1s后，a的速度达到12m/s，则
A、当
B、当
C、若导轨足够长，它们最终的速度必相同
D、它们最终的速度不相同，但速度差恒定
解析:当b棒先向下运动时，在a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是a棒受到向下的安培力，b棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放a棒后，经过时间t，分别以a和b为研究对象，根据动量定理，则有：

代入数据可解得：当。
在a、b棒向下运动的过程中，a棒产生的加速度，b棒产生的加速度。当a棒的速度与b棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做自由落体运动。正确答案选A和C。
【例8】如图，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，部分的宽度为，部分的宽度为，金属棒和的质量，其电阻大小，和分别在和上，垂直导轨相距足够远，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度为，开始棒向右速度为，棒静止，两棒运动时始终保持平行且总在上运动，总在上运动，求、最终的速度。
解析：本题由于两导轨的宽度不等，、系统动量不守恒，可对、分别用动量定理。运动产生感应电流，、在安培力的作用下，分别作减速和加速运动.的运动产生了反电动势。回路的，
随着减小，增加，减小，安培力也随之减小，故棒的加速度减小，棒的加速度也减小。
当，即时，两者加速度为零，两棒均匀速运动，且有…①
对、分别用动量定理 ……②
……③
而……④
联立以上各式可得：
【例9】如图所示，和为两平行的光滑轨道，其中和部分为处于水平面内的导轨，与a/b的间距为与间距的2倍，、部分为与水平导轨部分处于竖直向上的匀强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外。在靠近aa＇和cc＇处分别放着两根金属棒MN、PQ，质量分别为和m。为使棒PQ沿导轨运动，且通过半圆轨道的最高点ee＇，在初始位置必须至少给棒MN以多大的冲量？设两段水平面导轨均足够长，PQ出磁场时MN仍在宽导轨道上运动。
解析：若棒PQ刚能通过半圆形轨道的最高点ee＇，则由，
可得其在最高点时的速度.
棒PQ在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在dd＇的速度为，
由 可得：
两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感应电流，受安培力作用，棒MN速度减小，棒PQ速度增大。当棒MN的速度和棒PQ的速度达到时，回路中磁通量不再变化而无感应电流，两者便做匀速运动，因而。
在有感应电流存在时的每一瞬时，由及MN为PQ长度的2倍可知，棒MN和PQ所受安培力F1和有关系。
从而，在回路中存在感应电流的时间t内，有 。
设棒MN的初速度为，在时间t内分别对两棒应用动量定理，有：
，
将以上两式相除，考虑到，
并将、的表达式代入，可得
从而至少应给棒MN的冲量：
练习:
h
a
b
B
1．如图所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为ma，且与b杆的质量比为ma∶mb=3∶４，水平导轨足够长，不计摩擦，求：
（1）a和b的最终速度分别是多大？
（2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a、b杆的电阻之比Ra∶Rb=3∶4，其余电阻不计，整个过程中a、b上产生的热量分别是多少？
答案:（1）va=vb=（2）ΔE= magh（3）Qa=ΔE=magh ， Q b=E=magh
a
a/
b
b/
d
d/
c
c/
e
f
g
h
2．如图所示，abcd和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1， 导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。
对导体棒ef由动量定理得：
v0
对导体棒gh由动量定理得：
由以上各式可得：

3．如图所示，在匀强磁场区域内与B垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L，质量为m，电阻为R，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v0，试求两棒之间距离增长量x的最大值。
解析：当ab棒运动时，产生感应电动势，ab、cd棒中有感应电流通过，ab棒受到安培力作用而减速，cd棒受到安培力作用而加速。当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。设它们的共同速度为v，则据动量守恒定律可得：mv0＝2mv，即。
对于cd棒应用动量定理可得： BLq=mv-0=
所以，通过导体棒的电量q= 而
所以q= 由上述各式可得： x=。
4．如图，两根金属导轨与水平面成30°平行放置，导轨间距0．5m，导轨足够长且电阻不计，两根金属棒MN、PQ垂直导轨放置，由于摩擦，MN、PQ均刚好保持静止，两棒质量均为0．1kg，电阻均为0．1Ω，它们与导轨间动摩擦因素均为μ = ，空间有垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B = 0.4T，现用沿导轨平面向上的力F = 1．2N垂直作用力于金属棒MN，取g = 10m/s2，试求：
（1）金属棒MN的最大速度；
（2）金属棒MN运动达到稳定状态后，1s内外力F做的功，并计算说明能量的转化是否守恒．
解析：(1)最初MN、PQ均刚好保持静止，根据其受力情况可知MN、PQ与导轨间的最大静摩擦力F'm=mgsin30o=0.5N
　　当用外力F作用于MN棒时，F＞F'm=mgsin30o，故MN开始沿导轨加速上滑，棒中产生感应电动势，回路中形成感应电流。因此，棒MN又将受到安培力的作用，当MN棒所受的合外力为零时，金属棒MN达最大速度，设为υm，则：F=F'+mgsin30o+F1，其中F'=μmgcos30o，F1=BIl，故F1=0.4N。
考虑到此时PQ的受力情况，应有mgsin30o－F1＜F'm，故棒PQ保持静止。所以有：
mgsin30o+F1+μmgcos30o－F=0 解得：vm=2m/s。
　　(2)金属棒达到稳定状态后，1s内的位移为s=vm·t=2m，故WF=Fs=1.2×2J=2.4J。
　　对应时间内：WF′=－F's=－0.6J；WG=－mgs·sin30o=－1J；Q=F1·s=0.8J。
　　所以有：WF+WF′+WG=Q，说明能量的转化是守恒的。