专题求轨迹方程常用方法（含答案）.doc

专题 求轨迹方程常用方法
一、考纲要求
了解什么叫轨迹，并能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程，画出方程所表示的曲线
二、知识梳理
1．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
2 求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;
（4）化方程为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 即“去伪补漏”
上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．
3.求轨迹方程常用方法：直接法、定义法、代入法（相关点法）、参数法
4.“轨迹”与“轨迹方程”的区别与联系
若是“求轨迹方程”，求的方程就可以了，若是“求轨迹”，求的方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型。
三、典例精析
1．直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。
解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率
由已知有
化简，整理得点的轨迹方程为
2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。
解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得
，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。
所以由可得
故的重心轨迹方程是
变式：.已知B为线段MN上一点,|MN|=6,|BN|=2,过B作与MN相切,分别过M、N作的切线交于P点,则P点的轨迹是 .

【解析】 以MN所在的直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴,O为坐标原点,建立坐标系,如图

设MP、NP分别与相切于D、E两点.
则有|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=2,且|MN|>2.
所以P点的轨迹是以M、N为焦点,2a=2,2c=6的双曲线的右支(顶点除外).
由a=1,c=3知.
所以双曲线的方程为.
3．代入法（相关点法）
代入法（相关点法）求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
如果轨迹动点P（x,y）依赖于另一个动点，而又在某已知曲线，则可先列出的方程组，利用表示出，再把代入已知的曲线方程便得动点P的轨迹方程。
例3． 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。
解：设 重心，点 ，因为
则有， 故代入
得所求轨迹方程　
变式：.一动点M在圆上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点Q的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
C 设Q(x,y)是轨迹上任意一点,相应地设.
依题意,得 即
代入得 即.

4．参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
例4．抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。

解法一：（参数法）设，∵，∴平行四边形的中心为，
将，代入抛物线方程,得，
设，则
①
∴，
∵为的中点.∴，消去得
，由①得，，故动点的轨迹方程为。
解法二：（点差法）设，∵，∴平行四边形的中心为，
设，则有
① ②
由①②得 ③
而为的中点且直线过点，所以代入③可得，化简可得④
由点在抛物线口内，可得⑤
将④式代入⑤可得
故动点的轨迹方程为。
5．交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
例5．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。
解1:(利用点的坐标作参数)令，则
而.设与的交点为
因为共线，所以 因为共线，所以
两式相乘得①， 而即代入①
得，　即交点的轨迹方程为　
解2: (利用角作参数)
设，则
所以 , 两式相乘消去
即可得所求的点的轨迹方程为 。
四、实战演练
1．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。
1．（直接法）解：设点的坐标为，则由方程，得
由于直线与椭圆交于两点、，故
即、两点的坐标分别为
∴
由题知即
∴即所以点的轨迹方程为
2、 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （　　）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
D（ 定义法）【解析】在长方体中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面，设在平面内动点满足到直线与的距离相等，作于，于，于，连结，易知平面，则有，(其中是异面直线与间的距离)，即有，因此动点的轨迹是双曲线，选D.
3、方程表示的曲线是 （　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线
D（ 定义法）
4、已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。
（相关点法）解：设，则
由
即
所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。
∵点是点关于直线的对称点。
∴动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与
垂直，于是有即
故动点的轨迹方程为。
5、设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值。
（参数法）解：(1)解法一:直线过点，设其斜率为,则的方程为
记、由题设可得点、的坐标、是方程组
①
②
的解
将①代入②并化简得,,所以于是

设点的坐标为则消去参数得 ③
当不存在时, 、中点为坐标原点,也满足方程③,所以点的轨迹方程为
解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上,所以
④ ⑤
④—⑤得,所以

当时,有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时,点、的坐标为，这时点的坐标为
也满足⑧,所以点的轨迹方程为
(2)解:由点的轨迹方程知，即所以

故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值, 最大值为
五、能力提升
（2010湖南理19）（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．
（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
冰
O
化 区 域
融
已
川
B(4,0)
P3(8,6)

图6

A(-4,0)
x
y
x=2

【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为.当≥2时，由题意知
当
，因而其方程为
故考察区域边界曲线（如图）的方程为

（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为

本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和