一道高考选择题的解法探讨及背景分析.doc

一道高考选择题的解法探讨及背景分析
王宝清 彭全芳
(湖北省房县一中 442100)

一、考题及其参考解答
高考题（2011年江西理）如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动，和是小圆的一条固定直径的两个端点。那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点，在大圆内所绘出的图形大致是（ ）

图1

高考资源网给出的参考解答如下：
解析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，
根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，
因此点的轨迹是个大圆，而点的轨迹是四条线，刚好是产生的大圆的半径，
故选。
二、解法探讨
考题背景深刻，在考查知识的同时，既注重了数学思维，又着眼于能力考查，要求学生利用数学直觉，观察、分析，发现特点和规律。得出正确选项的关键是正确揭示规律，发现特征。
M
N
图2
图3
M
N
N
M
图4
N
M
图5
依据题设即小圆与大圆半径1：2的关系易知，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，则小圆按规则滚动半圈、一圈、一圈半、两圈时，小圆的固定直径的端点、所在位置分别为图2、图3、图4、图5所示，由此可知点、在大圆内所绘出的图形不是圆且类型相同，故可排除选项、，并且说明参考解答的“解析”是错误的。

由图2知，小圆按规则滚动半圈，固定直径相对于起始位置刚好第一次相互垂直，而选项中的图形为小圆按规则滚动半圈，固定直径相对于起始位置刚好第二次相互垂直，排除选项，故选。
三、背景分析
显然，直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动一周后，其圆心形成的图形为直径为1，与大圆同心的一个小圆，即固定直径在大圆内按某种规律运动时，其中点的轨迹为直径为1，与大圆同心的一个圆，由此联想到如下一道课本上的典型习题：
图6

习题：一条线段（）的两个端点、分别在轴和轴上滑动，求线段的中点的轨迹方程。（人教版）
易得所求方程为（解略），
它表示圆心在原点，半径为的圆，如图6。
显然，若视线段为一圆的固定直径，则习题可解读为：
“以为直径的圆的一条固定直径的两个端点、分别在轴和轴上滑动，求该圆圆心的轨迹方程。”
易知圆所在的每一个位置都与以为直径，圆心在原点的定圆相切！进而习题又可解读为：
“一个直径为的小圆沿着直径为的大圆（为坐标原点）内壁逆时针方向滚动一周，求小圆固定直径的中点轨迹方程。”
至此可知，文中高考题就是文中习题的变式抑或引申，是高考命题专家用数学智慧对课本习题潜心研究，并将其生活化重新立意的结果，深刻体现了命题专家的某种数学思想方法，说明课本中的典型习题的变式、引申或拓展，不仅能够呈现出丰富多彩的数学内容，更是命制高考试题的源泉，应引起我们的重视。同时，也要求我们在数学学习或复习中，应力争通过对课本中典型题进行深入地挖掘，探究与揭示本质规律，真正做到举一反三，以提高学习效益及应试能力。