第4章学案18.doc

学案18　三角函数的图象与性质
导学目标： 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

自主梳理
1．周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定域内的每一个x值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期．
2．三角函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

单调性
在______________上增，在______________上减
在_____________上增，
在_____________上减
在定义域的每一个区间____________________内是增函数
对称性
对称中心
(kπ，0)
(k∈Z)
(kπ＋，0)
(k∈Z)
(，0)
(k∈Z)
对称轴
x＝kπ＋，
(k∈Z)
x＝kπ，
(k∈Z)
无
自我检测
1．设点P是函数f(x)＝sin ωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．
2．函数y＝3－2cos(x－)的最大值为________，此时x＝________.
3．函数y＝tan(－x)的定义域是________．
4．比较大小：sin(－)________sin(－)．
5．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．

探究点一　求三角函数的定义域
例1　求函数y＝＋的定义域．

变式迁移1　函数y＝＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．
探究点二　三角函数的单调性
例2　求函数y＝2sin的单调区间．

变式迁移2　(1)求函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间；
(2)求函数y＝3tan的周期及单调区间．

探究点三　三角函数的值域与最值
例3　已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．

变式迁移3　设函数f(x)＝acos x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin(ax＋)的周期．

转化与化归思想
例　(14分)求下列函数的值域：
(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2；
(2)y＝3cos x－sin x，x∈[0，]；
(3)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x.
【答题模板】
解　(1)y＝－2sin2x＋2cos x＋2＝2cos2x＋2cos x
＝2(cos x＋)2－，cos x∈[－1,1]．
当cos x＝1时，ymax＝4，当cos x＝－时，ymin＝－，
故函数值域为[－，4]．[4分]
(2)y＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)．
∵x∈[0，]，∴≤x＋≤，∵y＝cos x在[，]上单调递减，
∴－≤cos(x＋)≤，∴－≤y≤3，故函数值域为[－，3]．[9分]
(3)令t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝，且|t|≤.
∴y＝t＋＝(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1；
当t＝时，ymax＝＋.
∴函数值域为[－1，＋]．[14分]
【突破思维障碍】　
1．对于形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈[a，b]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．
2．关于y＝acos2x＋bcos x＋c(或y＝asin2x＋bsin x＋c)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．
给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．

1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．
2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求．

(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y＝tan ωx (ω>0)与直线y＝a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f(x)＝sin ωx－cos ωx的单调增区间是________．
3．(2011·江苏四市联考)若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
4．把函数y＝cos(x＋)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．
5．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
(2)y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；
(3)y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
(4)y＝f(x)的图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
6．(2011·泰州调研)定义函数f(x)＝给出下列四个命题：
①该函数的值域为[－1,1]；
②当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，该函数取得最大值；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数；
④当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0.
上述命题中正确的个数为________．
7．函数f(x)＝2sin 对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为________．
8．(2010·江苏)定义在区间上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分)(2010·福建改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋)＋a(ω>0)与g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)当x∈[0，]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．

10．(14分)已知函数f(x)＝，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．

11．(14分)(2010·宿迁高三二模)已知向量a＝(sin x，2sin x)，b＝(2cos x，sin x)，定义f(x)＝a·b－.
(1)求函数y＝f(x)，x∈R的单调递减区间；
(2)若函数y＝f(x＋θ) (0<θ<)为偶函数，求θ的值．

答案 自主梳理
1．(1)f(x＋T)＝f(x)　T　(2)最小的正数　最小的正数
2．R　R　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　[－1,1]　[－1,1]　R　2π　2π　π　奇函数　偶函数　奇函数　[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)　[2kπ＋，2kπ＋π](k∈Z)　[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)　(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
自我检测
1．π　2.5　＋2kπ(k∈Z)　3.{x|x≠kπ＋，k∈Z}
4．>　5.
课堂活动区
例1　解题导引　求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．
解　要使函数有意义，
则得
所以函数的定义域为.
变式迁移1　，k∈Z
解析　由题意得⇒，
解得，
即x∈，k∈Z.
例2　解题导引　求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．
解　方法一　y＝2sin化成y＝－2sin.
∵y＝sin u(u∈R)的递增、递减区间分别为
(k∈Z)、(k∈Z)，
∴令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
令2kπ－≤x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋ (k∈Z)．
∴函数y＝2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为
(k∈Z)、 (k∈Z)．
方法二　y＝2sin可看作是由y＝2sin u与u＝－x复合而成的．又∵u＝－x为减函数，
∴由2kπ－≤u≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，
得－2kπ－≤x≤－2kπ＋ (k∈Z)，
即(k∈Z)为
y＝2sin的递减区间．
由2kπ＋≤u≤2kπ＋ (k∈Z)，
即2kπ＋≤－x≤2kπ＋ (k∈Z)，
得－2kπ－≤x≤－2kπ－ (k∈Z)，
即(k∈Z)为
y＝2sin的递增区间．
综上可知，y＝2sin的递增区间为
(k∈Z)；
递减区间为 (k∈Z)．
变式迁移2　解　(1)由y＝sin，
得y＝－sin，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又x∈[－π，π]，
∴－π≤x≤－π，－≤x≤π，π≤x≤π.
∴函数y＝sin，x∈[－π，π]的单调递减区间为，，.
(2)函数y＝3tan的周期T＝＝4π.
由y＝3tan
得y＝－3tan，
由－＋kπ<－<＋kπ得
－π＋4kπ<x<π＋4kπ，k∈Z，
∴函数y＝3tan的单调递减区间为 (k∈Z)．
例3　解题导引　解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．
解　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin(2x－)≤1，
若a>0，则，解得；
若a<0，则，解得.
综上可知，a＝12－6，b＝－23＋12
或a＝－12＋6，b＝19－12.
变式迁移3　解　∵x∈R，∴cos x∈[－1,1]．
若a>0，则，解得；
若a<0，则，解得.
所以g(x)＝－sin(2x＋)或g(x)＝sin(2x－)，周期为π.
课后练习区
1．3
解析　由图可知，T＝，∴ω＝＝3.
2. (k∈Z)　3.
4.
解析　向左平移φ个单位后的解析式为y＝cos(x＋＋φ)，
当＋φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝cos(x＋＋φ)为偶函数，
∴φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝2时，φmin＝.
5．(2)(3)
解析　(1)不正确．可举反例，如f(－)＝f()＝0但－－＝－.
(2)正确．∵y＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)]
＝4cos(－2x＋)＝4cos(2x－)．
(3)正确．∵f(－)＝0，
∴y＝f(x)的图象与x轴交于(－，0)点．
(4)不正确．∵f(－)既不是y的最大值也不是y的最小值．故答案为(2)(3)．
6．1
解析　当2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，sin x≥cos x，所以f(x)＝sin x，f(x)∈[－，1]；x＝2kπ＋(k∈Z)时，该函数取得最大值；
当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0.
当2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)时，sin x<cos x，
所以f(x)＝cos x，f(x)∈[－，1]；
x＝2kπ(k∈Z)时，该函数取得最大值；
当且仅当2kπ－<x<2kπ－(k∈Z)时，
f(x)<0.综合得：①②错误，④正确，周期还是2π，所以③错误．
7．4π
解析　由f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)、f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，而当＝2kπ－，即x＝8kπ－2π (k∈Z)时，f(x)取最小值；而＝2kπ＋，即x＝8kπ＋2π (k∈Z)时，f(x)取最大值，
∴|x1－x2|的最小值为4π.
8.
解析　线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x＝5tan x，x∈，解得sin x＝.所以线段P1P2的长为.
9．解　(1)∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，
∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋)＋a，…………………………………(3分)
∴f(x)的最小正周期T＝＝π. …………………………………………………………(5分)
(2)当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递减，
故函数f(x)的单调递减区间为
[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．………………………………………………………………(10分)
(3)当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，…………………………………………………(12分)
∴当x＝时，f(x)取得最小值，
∴2sin(2·＋)＋a＝－2，∴a＝－1.……………………………………………………(14分)
10．解　由题意知cos 2x≠0，得2x≠kπ＋，
解得x≠＋ (k∈Z)．
∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠＋，k∈Z}．……………………………………………(4分)
又f(x)＝＝
＝cos2x－1＝－sin2x，……………………………………………………………………(8分)
又∵定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数．…………………………………………(10分)
显然－sin2x∈[－1,0]，
又∵x≠＋，k∈Z，∴－sin2x≠－.
∴原函数的值域为
.……………………………………………………………(14分)
11．解　f(x)＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋2·－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.………………………………………………………(4分)
(1)令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z
解得单调递减区间是，k∈Z.………………………………………(8分)
(2)f(x＋θ)＝2sin.
根据三角函数图象性质可知，
y＝f(x＋θ) 在x＝0处取最值，
∴sin＝±1，
∴2θ－＝kπ＋，θ＝＋，k∈Z.……………………………………………………(12分)
又0<θ<，解得θ＝.…………………………………………………………………(14分)