二次函数图象平移.doc

（2008盐城）如图，直线经过点B(，2)，且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）求∠BAO的度数；
（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．
当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
（3）在抛物线平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

第27题图
O

B
x
y
O

B
x
y
备用图

如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.

24．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．

B
O
A
P
M

（第24题）
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△
的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若
不存在，请说明理由．
（08浙江丽水24题解析）24．（本题14分）
解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.…………………………………（3分）
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.
∴顶点的坐标为(,).
∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.…………………………………（3分）
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短. ……………………………………………（3分）

（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.……………（1分）
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，
∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与
△的面积相等.………………………（2分）
②当点落在直线的上方时，
作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得：，.
代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等. …………………………………（2分）
综上所述，抛物线上存在点，

D

O
A
B
P
M

C
E
使△与△的面积相等.

（2011•南平）定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2=ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．
（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
（2）若抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；
（3）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由[注：第小题可根据解题需要在备用图中画出新抛物线的示意图（画图不计分）]
【提示：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=- ，顶点坐标是（- ， ）】．

（2011•绵阳）已知抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

（2011•江西）已知：抛物线y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1）直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
79、（2011•江西）将抛物沿c1：y=- x2+ 沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

图-1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图-2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图-3
B
F
G
M
N
在图-1至图-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）

（2009浙江绍兴
若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形中，点在边上，连，，则点为直角点．
（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；
D
B
C
A
M
（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长．

（2010·浙江湖州）25．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
A
B
C
第25题
D
P
E
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．

（此题没有给答案）

（2010年天津） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.

2010年广西南宁）
如图12，把抛物线（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称.点、、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点.
（1）分别写出抛物线与的解析式；
（2）设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、、、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.

图12

（3）在抛物线上是否存在点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，请说明理由.

（2011四川凉山州，21，8分）在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为
⑴画出，并求出所在直线的解析式。
⑵画出绕点顺时针旋转后得到的，并求出在上述旋转过程中扫过的面积。
1
1
Ox
y
x
21题图

【答案】
⑴如图所示，即为所求
设所在直线的解析式为
A
B
C
O
B1
C1
A1
x
y
1
1
∵，
∴ 解得
∴
⑵如图所示，即为所求
由图可知，

=
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（－7，1），B（1，1），C（1，7）．线段DE的端点坐标是D（7，－1），E（－1，－7）．
（1）试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F的坐标；
（3）画出（2）中的△DEF，并和△ABC同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．

【答案】（1）将线段AC先向右平移6个单位，
再向下平移8个单位．（其它平移方式也可）
（2）F（－1,－1）
（3）画出如图所示的正确图形

\

5、（2007湖南岳阳）如图，在一个10×10的正方形DEFG网格中有一个△ABC.
①在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的△A1B1C1。
②在网格中画出△ABC绕C点逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C。
③若以EF所在的直线为x轴，ED所在的直线为y轴建立直角坐标系，写出A1、A2两点的坐标。
解答见图中
A1(8,2), A2(4,9)
6、（2007福建三明市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
（1）画出向平移4个单位后的；
（2）画出绕点顺时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长．
解：（1）画出．
（2）画出△．
连结，，．
点A旋转到所经过的路线长为．
7、（2007江西省）在同一平面直角坐标系中有6个点：，，．
（1）画出的外接圆，并指出点与的位置关系；
（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点时，设此时的直线为．
①判断直线与的位置关系，并说明理由；
②再将直线绕点按顺时针方向旋转，当它经过点时，设此时的直线为．求直线与的劣弧围成的图形的面积（结果保留）．

如图，已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P.
（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）
（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；
（3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

x
y
D
A
C
O
P

【答案】解：（1）令-2x2+4x=0得x1=0，x2=2
∴点A的坐标是（2，0），
△PCA是等腰三角形，
（2）存在。
OC=AD=m,OA=CD=2，
（3）当0<m<2时，如图1，作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=2-m, ∴CH= ，
∴=OH= = .
把=代入y=-2x2+4x，得
=，∵CD=OA=2,
∴.
当m>2时，如图2
作PH⊥x轴于H，设,
∵A（2，0），C（m,0）,
∴AC=m-2，∴AH=
∴=OH= = ,
把把=代入y=-2x2+4x，得
得, =
∵CD=OA=2，
∴．

将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.
（1）请直接写出抛物线c2的表达式.
（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.
y
x
O
c1
c2
y
x
O
备用图

解：（1）. ………………2分
（2）①令，得：，
则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.
∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.
同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.
当时，如图①，
，
∴. ………………4分
当时，如图②，，
∴. ………………6分
y
x
O
A
D
B
E
M
N
图②
y
x
O
A
D
B
E
M
N
图①
∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点.

②存在. ………………7分
方法一
理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.
即M，N关于原点O对称， ∴.
∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，
∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分
要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,
即， ∴.
∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分
方法二
理由：连接AN、NE、EM、MA. 依题意可得：.
即M，N关于原点O对称， ∴.
∵， ∴A，E关于原点O对称， ∴，
∴四边形ANEM为平行四边形. ………………8分
∵，
，
，
若，则，∴.
此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°.
∴当时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. …………10分

如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10，宽为4，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由．
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2 ？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

解：①结论：能．……………………………………………………………… (1分) 　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　
设AP = x cm， 则PD=（10－x）cm．因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°,
所以∠DPC=∠ABP．
所以△ABP∽△DPC．………………(2分)
则=，即．
所以 4×4=x(10－x) ，
即 x 2 －10x＋16=0 ．………………(3分)
解得 x1=2， x2=8 ．
所以 AP=2cm 或8cm．………………(5分)

②结论：能．……………………………… ( 6分)
设AP = x cm, CQ = y cm ．
由于ABCD是矩形，∠HPF=90°，
所以 △BAP∽△ECQ ，…………………… (7分)
△BAP∽△PDQ．…………………………(8分)
所以 ,．
所以 2x = 4y, 即 y = ， ①
x(10－x)=4(4+y) ． ② ………………………………(9分 )
消去y，得x2 —8x+16 = 0 ，
解得 x1 =x2 = 4 ， 即 AP= 4 cm．…………………………………………(10分)