全国理数第1课集合的概念和运算.docx

第1课 集合的概念和运算

1．集合的含义与表示
a．求集合中元素的个数或已知元素个数求参数
(1)(2019 汇编，10分)①设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
②已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
(2018全国Ⅱ)
A．9 B．8 C．5 D．4
答案：①B　②A
解析：①∵a∈A，b∈B，∴当a＝1，b＝4或5时，x＝5或6；当a＝2，b＝4或5时，x＝6或7；当a＝3，b＝4或5时，x＝7或8，结合集合中元素的互异性，可知M＝{5，6，7，8}．故选B.
②x2＋y2≤3所表示的平面区域如下：

因为x∈Z，y∈Z，结合图形可知，满足条件的点对(x，y)有：(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，(1，1)，(－1，1)，(1，－1)，(－1，－1)，共9个．故选A.

(2)(经典题，5分)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
答案：0或
解析：若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，解得a＝，∴a的值为0或.

b．对用描述法表示集合的理解不透彻导致出错
(3)(经典题，5分)下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中正确说法的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
答案：D
解析：①错误：由x3＝x，得x(x2－1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.∵－1∉N，∴集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1}，故①不正确．
②错误：集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R或{实数}，故②不正确．
③错误：方程组的解是有序数对，其解集正确的表示应为{(1，2)}或，而集合{x＝1，y＝2}表示由这两个等式组成的集合，故③不正确．故选D.

变式思考： (经典题，6分)已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？并说明理由．
答案：不是同一个集合．理由见解答过程
解：它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，它满足条件y＝x2＋1，∴{x|y＝x2＋1}＝R；(2分)
集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1， ∴{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；(4分)
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的有序数对(x，y)，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{(x，y)|(x，y)是抛物线y＝x2＋1上的点}．(6分)

2．集合间的基本关系
a.判断集合间的关系
(4)(2019改编，10分)①已知E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，则下列关于集合E和F之间的关系，描述正确的是(　　)
A．E＝F或F⫋E B．E⫋F C．F⫋E D．E＝F或E⫋F
②已知集合M＝，N＝，P＝，试分析集合M，N，P之间的关系．
答案：①D　②M⫋N＝P
解：①易得E＝{x|＝0}＝{0}．下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论：方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根， x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.当a≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，x1＝0， x2＝a－1≠0，此时F＝{0，a－1}，E⫋F.综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E⫋F. 故选D.
②集合M＝.
关于集合N：当n是偶数时，令n＝2m(m∈Z)，则N＝；
当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)，则N＝＝{x|x＝m＋，m∈Z}，从而得M⫋N.(2分)
关于集合P：当p＝2m(m∈Z)时，P＝；
当p＝2m－1(m∈Z)时，P＝＝{x|x＝m－，m∈Z}，从而得N＝P.综上可知M⫋N＝P.(5分)

b．根据集合间的关系求参数或其范围
(5)(2019汇编，10分)①已知集合A＝{0，a}，B＝{x|－1<x<2}，且A⊆B，则a可以是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
②已知集合A＝{1<ax<2}，B＝{<1}，是否存在实数a，使得A⊆B.若存在，求出实数a的取值范围．
答案：①C　②{a|a＝0，a≥2或a≤－2}
解：①因为集合A＝{0，a}，B＝{x|－1<x<2}，且A⊆B，所以－1<a<2且a≠0，结合选项知C正确，故选C.
②∵B＝{x|－1<x<1}，而集合A与a的取值范围有关，∴当a＝0时，A＝∅，显然A⊆B；(1分)
当a＞0时，A＝，而A⊆B，如图1，∴解得a≥2；(3分)
当a＜0时，A＝，而A⊆B，如图2，∴解得a≤－2.
综上可知，所求实数a的取值范围为{a|a＝0，a≥2或a≤－2}．(5分)

(6)(2019汇编，10分)①已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2018＋b2018＝________．
②若集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：ⅰ.a≠2；ⅱ.b＝2；ⅲ.c≠0有且只有一个是正确的，则100a＋10b＋c等于________．
答案：①1　②201
解析：①由已知得a≠0，则＝0，∴b＝0，于是a2＝1，解得a＝1或a＝－1.根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2018＋b2018＝(－1)2018＋02018＝1.
②可分下列三种情形：若只有i正确，则a≠2，b≠2，c＝0，∴a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，∴只有i正确是不可能的；若只有ii正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，∴只有ii正确是不可能的；若只有iii正确，则c≠0，a＝2，b≠2，∴b＝0，c＝1，∴100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

c．确定有限集的子集或真子集的个数问题
(7)(2019改编，5分)已知集合A＝，B＝{≤2，x∈Z}，则满足条件A⫋C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：C
解析：易得A＝＝{1，2}，B＝{x|≤2，x∈Z}＝{0，1，2，3，4}．∵A⫋C⊆B，∴集合C的个数为集合{0，3，4}的非空子集的个数，即23－1＝7(个)．

3．集合的基本运算
a.交、并、补的综合运算
(8)(2019汇编，15分)①已知集合A＝{x<2}，B＝{－2，0，1，2}，则A∩B＝(　　)
(2018北京)
A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{－2，0，1，2} D．{－1，0，1，2}
②已知集合P＝{x∈R}，Q＝{x∈R}, 则P∪(∁RQ)＝(　　)(2016 浙江)
A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
③集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3}，B＝{x∈Z|x2－6x＋5<0}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(　　)
A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1, 6}
答案：① A　②B　③A
解析：①因为A＝{x<2}＝{x|－2<x<2}，B＝{－2，0，1，2}，所以A∩B＝{0，1}．答案选A.
②∵∁RQ＝{x|x2<4}＝(－2，2)，∴P∪(∁RQ)＝(－2，2)∪[1，3]＝(－2，3]．故选B.
③B＝{x∈Z|x2－6x＋5<0}＝{x∈Z|(x－5)(x－1)<0}＝{2，3，4}．又∵A＝{2，3}， ∴A∪B＝{2，3，4}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{1，5，6}．故选A.

(9)(2018兰州高三月考，5分)设全集U＝R，A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图1－7中阴影部分所表示的集合为(　　)

图1－7
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}
答案：B
解析：由韦恩图知阴影部分表示的是A∩(∁UB)．
∵A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝ln(1－x)}＝{x|x＜1}，
∴∁UB＝{x|x≥1}，
∴A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2}．
∴阴影部分对应的集合是{x|1≤x＜2}．
故选B.

b．根据集合的运算求参数的值或范围
(10)(2019汇编，10分)①已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2] C．[－2，1] D．[2，＋∞)
②设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则a的值为(　　)
A．2 B．4 C．2或－2 D．－2
答案：①C　②D
解析：①根据题意知4－x2≥0，解得－2≤x≤2，所以A＝{x}＝{x}．又因为A∪B＝A，即B⊆A，所以解得－2≤a≤1，故选C.
②由题可知，集合A，B的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点．因为A∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以解得a＝－2.故选D.

(11)(经典题，8分)已知集合T是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p2－4q＞0)的实数根组成的集合，集合A＝{1，3，5，7，9}，集合B＝{1，4，7，10}，且A∩T＝∅，T∩B＝T，试求实数p和q的值．
答案：p＝－14，q＝40
解：∵Δ＝p2－4q＞0，∴方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根，即集合T中含有两个元素．
∵A∩T＝∅，∴1，3，5，7，9∉T.(3分)
又∵T∩B＝T，∴T⊆B，∴T＝{4，10}，即4和10是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根．(6分)
由根与系数的关系，得
解得∴p的值是－14，q的值是40.(8分)

c．补集思想在解题中的应用
(12)(2019改编，5分) 已知集合A＝{x2＋ax＋1＝0}，B＝{x2＋2x－a＝0}，C＝{
x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是________．
答案：{a|a≤－或a≥－1}
解析：假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有解得解得－＜a＜－1，∴a≤－或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即三个集合至少有一个集合不是空集．故实数a的取值范围为{a|a≤－或a≥－1}．

d．集合的新定义问题
(13)(2019汇编，10分)①当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
②已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足：
ⅰ.每个集合都恰有5个元素；
ⅱ.A1∪A2∪A3＝M.
集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i＝1，2，3)，则 X1＋X2＋X3的值不可能为(　　)
A．37 B．39 C．48 D．57
答案：①{0，1，4}　②A
解析：①∵B＝{x|ax2＝1，a≥0}，∴当a＝0时，B为空集，此时满足B⊆A，∴集合A与B构成“全食”；当a＞0时，B＝，由题意知＝1或＝，解得a＝1或 a＝4.综上，a的取值集合为{0，1，4}．
②已知集合M＝{1，2，3，…，15}，且集合A1，A2，A3中，每个集合有5个元素，且A1∪A2∪A3有15个元素，可知集合A1，A2，A3中没有重复元素，已知1是集合M中数值最小的元素，15是集合M中数值最大的元素，可知在Ai的特征数组成中，必有1和15.不妨令1∈A1，15∈A1，可知若X1＋X2＋X3最大，则在集合A1中首先放置数值较小的元素，所以当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1＋X2＋X3有最大值为57，即X1＋X2＋X3≤57；
若X1＋X2＋X3最小，则在集合A1中首先放置数值较大的元素，所以当A1＝{1，12，13，14，15}，A2＝{2，8，9，10，11}，A3＝{3，4，5，6，7}时，X1＋X2＋X3有最小值为1＋15＋2＋11＋3＋7＝39，所以39≤X1＋X2＋X3≤57，故选A.

随堂普查练1
1．(2018东北育才学校二模，5分)已知集合M＝{x|x2－5x＋4≤0}，N＝{0，1，2，3}，则集合M∩N中元素个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：因为M＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，N＝{0，1，2，3}，所以M∩N＝{1，2，3}，所以M∩N中元素个数为3.故选C.

2．(2017江苏，5分)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
答案：1
解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈B.显然a2＋3≥3，∴a＝1，此时a2＋3＝4，满足题意．故答案为1.

3．(2018 安徽淮南二中、宿城一中联考，5分)已知集合A＝{x|x2－7x<0，x∈N*}，则B＝ 的子集有(　　)
A．4个 B．8个 C．16个 D．32个
答案：C
解析：因为集合A＝{x|x2－7x＜0，x∈N*}＝{1，2，3，4，5，6}，所以B＝＝{1，2，3，6}，所以集合B的子集有24＝16个，故选C.

4．(经典题，5分)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{3，4，5}，N＝{1，3，6}，则集合{2，7}＝(　　)
A．M∩N B．(∁U M)∩(∁U N) C．(∁U M)∪(∁U N) D．M∪N
答案：B
解析：根据集合U，M，N的关系画出Venn图，如图所示，∴{2，7}＝(∁UM)∩(∁UN)．故选B.

5．(2018天津，5分)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}
答案：B
解析：已知全集为R，B＝{x|x≥1}，根据集合补集的含义，可得∁RB＝{x|x<1}．又A＝{x|0<x<2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}．答案选B.

6．(经典题，12分)已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数 g(x)＝x (－1≤x≤0)的值域为集合B.
(Ⅰ)求A∩B；
答案：(Ⅰ)A∩B＝{2}　
解：(Ⅰ)要使函数f(x)＝有意义，需log2(x－1)≥0，解得x≥2，∴A＝[2，＋∞)．(2分)
对于函数g(x)＝x，∵－1≤x≤0, ∴1≤g(x)≤2，∴B＝[1，2]，(4分)∴A∩B＝{2}．(6分)

(Ⅱ)若集合C＝[a，2a－1]，且C∪B＝B，求实数a的取值范围．
答案： a∈
(Ⅱ)∵C∪B＝B，∴C⊆B.由题意得解得1<a≤.故a∈.(12分)

7．(经典题，5分)已知A＝{x2－2x－8＝0}，B＝{x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A≠A，则实数a的取值范围是________．
答案：{a|－4≤a＜4，且a≠－2}
解析：易得A＝{－2，4}．①当B＝∅时，Δ＝a2－4(a2－12)＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4.②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，解得a＝－4或a＝4.若a＝－4，则 B＝{2}A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A；③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a|－4≤a＜4，且a≠－2}．

8．(经典题，5分)对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，M⊕N＝(M－N)∪
(N－M)，设A＝，B＝{x}，则A⊕B＝________．
答案：∪[0，＋∞)
解析：依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，
B－A＝，
故A⊕B＝∪[0，＋∞)．