图形证明与计算.doc

图形证明与计算(1)
1. (2010 北京)已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA^AD，FD^AD，AE=DF，
AB=DC。求证：ÐACE=ÐDBF。

A
D
B
E
F
C
O

2．（2010德州）点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC； (2)试判断△OEF的形状，并说明理由．

3. 如图，已知点在线段上，，请在下列四个等式中，
①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，
推出．并予以证明．（写出一种即可）
C
E
B
F
D
A
已知：　 　　 　，　 　　 　．
求证：．
证明：

4.( 2010苏州) 如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D=50°，求∠B的度数．

5.(2010苏州) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
(1)在△ABC中，AB= ；
(2)当x= 时，矩形PMCN的周长是14；
(3)是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断，并加以说明．

6.（2010年湖南郴州）已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.

求证：四边形ABDC是平行四边形.

7、 (2010年晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①∥，②，③，④．
A
B
C
D
已知：在四边形中，　　　 　　，　　 　　　；
求证：四边形是平行四边形．

8. （2010哈尔滨）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：△ADF∽△DEC
(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.

9.（2010江苏泰州）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．
(1)求证：AC∥DE；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．

10.（2010潼南）如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

11. (2010兰州) 已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=
AC=，BD=，试求四边形ABCD的面积（用含，，的代数式表示）．

12．（2010长沙）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．

A

F

D

E

B

C

13.（2010益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．
(1) 求∠ABD 的度数；
(2)求线段的长．

14．（2010龙岩）如图，将边长为的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标
系中.已知∠B=45°.
（1）画出边AB沿y轴对折后的对应线段，
与边CD交于点E；
（2）求出线段 的长；
（3）求点E的坐标.

15.（2010眉山）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．

16.（2010安徽）如图，AD∥FE，点B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC
⑴求证：四边形BCEF是菱形;
⑵若AB＝BC＝CD，求证：△ACF≌△BDE。

B
C
A
E
D
F
17.（2010丹东）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

18.(2010聊城)如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形

A
C
B
D
E
F

19.（2010日照）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：（1）D是BC的中点；
（2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE．

20. (2010东阳）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4. （1）求证: ～；
(2) 求的值；
（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，
求的度数.

21.（2010安徽）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。
⑴若，求证：；
⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；
⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。
【解析】
不存在这样的△ABC和△，
若k=2，则
又∵，， ∴
∴b=2c ∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a
故不存在这样的△ABC和△使得。
22.（2010门头沟区）已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，
C
O
B
A
D
M
E
N
AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cm，cm，求⊙O的半径.

23.(2010聊城)如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．

A
C
B
D
E
O
·
（1）若AD＝3，BD＝4，求边BC的长；
（2）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．

•
P
B
A
E
O
C
D
24.（2010宿迁）如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中
点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．
求证：（1）PD=PE；（2）．

25.（2010镇江）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD. （1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个
锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小.

26.（2010陕西）如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C
（2）当AB=1,BC=2是求△DEC外接圆的半径

27.（2010烟台）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。

F
A
D
E
B
C
O
·
28.（2010湖州）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F
（1）求证：EF⊙是O的切线；
（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．

29．（2010无锡）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正
好行至码头MN靠岸？请说明理由．

30．(2010连云港）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，
∠BFQ＝60°，EF＝1km．
（1）判断AB和AE的数量关系，并说明理由；
（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，
AD
BAD
EBAD
FEBAD
QFEBAD
PQFEBAD
sin74°≈0.96 ，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

31．（2010长沙）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．

32.（2010宁德）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直.已知装饰画的高度AD为0.66米，求：⑴ 装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数（精确到1°）；
A
C
D
E
B
⑵ 装饰画顶部到墙壁的距离DC（精确到0.01米）.

33. （2010昆明）热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）

34． （2010黄冈）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.

35.(2010宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。
D
A
B
C
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边形的周长。
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，
请在图4中用实线画出拼成的平行四边形。
（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C

（图2）
（图3）
（图4）

周长为__________ 周长为__________ 周长为__________
36.（玉溪2010） 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
（1）AB平行于CD．如图a，点P在AB、CD外部时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因
∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．如图b，将点P移
到AB、CD内部，以上结论是否成立？，若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量
关系？请证明你的结论；
图a

O
图b

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，
如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
图c

图d

G

O

37. (2010年无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
图1
（下面请你完成余下的证明过程）

图2
（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：
当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

A
C
B
D
F
E

38．（2010金华）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．
（1）你添加的条件是： ；
（2）证明：

39.（2010天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.
（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.
解：解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
E
y
x
F
B
D
A
O
C

如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由EF∥CB，得．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线的解析式为，则
解得
∴ 直线的解析式为.
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为，（，）
则抛物线的解析式为，
此时，抛物线与轴的交点为，
与轴的交点为，.（）
过点作EF∥CB与轴交于点，连接，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得.
设该抛物线的对称轴与轴交于点.
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．
∴ ，即．
结合题意，解得 ． ①
∵ 点在直线上，有． ②
∴ 由①②，结合题意，解得．
有，．∴ 抛物线的解析式为．

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