二轮复习函数与导数不等式.doc

第1讲　函数、函数与方程及函数的应用
高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.

真 题 感 悟
1.(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________.
解析　要使函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1.故函数定义域为[－3，1].
答案　[－3，1]
2.(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________.
解析　由已知f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
又∵f＝f，
则－＋a＝，a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案　－
3.(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
解析　作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0＜a＜.

答案　
4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
解析　令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.

由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
答案　4
考 点 整 合
1.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；
(3)周期性：常见结论有①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝
－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
3.求函数值域有以下几种常用方法：
(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.
4.函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
5.应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

热点一　函数性质的应用
【例1】 (1)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________(从小到大排序).
(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.
解析　(1)由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c<a<b.
(2)由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.
又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.
则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.
则＝+=0＋×2＝m.
答案　(1)c＜a＜b　(2)m
探究提高　(1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
(2)(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
解析　(1)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，
即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.
(2)因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，
即f(1)＝0，
又f＝f＝－f＝－4＝2，
从而f＋f(1)＝－2.
答案　(1)1　(2)－2
热点二　函数图象的应用
【例2】 (1)(2016·苏北四市调研)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情况，
即y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
(2)设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)＜ax0－a，
因为g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故
即所以≤a<1.
答案　(1)[－2，0]　(2)
探究提高　(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.
(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为________.
解析　由奇函数的定义和f(2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f(x)>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f(x)<0.当x>0时，由<0，可得f(x)－f(－x)＝2f(x)<0，结合图象可知(0，2)符合；当x<0时，由<0，可得f(x)－f(－x)＝2f(x)>0，结合图象可知(－2，0)符合.
答案　(－2，0)∪(0，2)
热点三　函数与方程问题
[微题型1]　函数零点个数的求解
【例3－1】 (2016·南京、盐城模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案　2
探究提高　解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型2]　由函数的零点(或方程的根)求参数
【例3－2】 (1)(2016·南京三模)设函数f(x)＝
g(x)＝f(x)－b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.
(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________.
解析　(1)当f(x)＝时，f′(x)＝，由f′(x)＝0得x＝2，且当x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则当x＝2时，f(x)有极大值f(2)＝.当－x－1＝时，x＝－1－.
结合图象可得当存在实数b使得g(x)＝f(x)－b恰有3个零点时，－1－＜a＜2.
(2)函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，又y＝f(x)＋f(2－x)＝
作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案　(1)　(2)
探究提高　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】 (2016·泰州调研)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析　令f(x)＝0，可得＝a，
令g(x)＝，则g′(x)＝
＝－，令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(3，＋∞).
答案　(0，e)∪(3，＋∞)
热点四　函数的实际应用问题
【例4】 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解　(1)V＝×62×2＋62×2×4＝312(m3).
(2)设PO1＝x，则O1B1＝，B1C1＝·，
∴S正方形A1B1C1D1＝2(62－x2).
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x，
则仓库容积V＝x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝
x(36－x2).由V′＝0得x＝2或x＝－2(舍去).
由实际意义知V在x＝2(m)时取到最大值，
故当PO1＝2(m)时，仓库容积最大.
探究提高　(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.
(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.
【训练4】 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由.
解　(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)法一　依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝
≤＝≤＝＜.
P不可能大于.
法二　依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝.
假设P＞，则ka2－20a＋25k＜0.
因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解，假设不成立.
P不可能大于.

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

一、填空题
1.(2016·南通调研)函数f(x)＝ln x＋的定义域为________.
解析　要使函数f(x)＝ln x＋有意义，则解得0＜x≤1，即函数定义域是(0，1].
答案　(0，1]
2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
解析　函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t＞0).因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
答案　
3.(2016·苏州调研)函数f(x)＝的值域为________.
解析　当x≤0时，y＝2x∈(0，1]；
当x＞0时，y＝－x2＋1∈(－∞，1).
综上， 该函数的值域为(－∞，1].
答案　(－∞，1]
4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.
解析　在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：

由图象可得两图象有7个交点.
答案　7
5.(2012·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________.
解析　因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案　－10
6.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________.
解析　f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数.
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)<f(－x).∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2，2]知g(m)<0恒成立，可得∴－2<x<.
答案　
7.已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k＞0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是________.
解析　根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.

答案　
8.(2016·北京海淀区二模)设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝
当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1，1)，
当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4≥－1，∴f(x)min＝－1.
(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：
当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.
当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；
当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f(x)＝2x－a，x<1有一个零点时， 0<a<2.
f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1有一个零点，此时a<1, 2a≥1，因此≤a<1.
综上知实数a的取值范围是.
答案　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)
二、解答题
9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，得x＞2，
所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以当x＝2时，
函数k(x)取得最小值，k(2)＝2－2ln 2－a，
因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，
所以即有
解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3.
所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].
10.(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标.
11.(2016·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋(1≤x≤9)，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.

(1)求f(x)的解析式；
(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价.
解　(1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，所以点P坐标为，直线OB的方程为x－y＝0，则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5(1≤x≤9).
(2)因为f(x)＝5，
所以f′(x)＝5＝，
令f′(x)＝0，解得x＝4，列表如下：
x
(1，4)
4
(4，9)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)＝5＝30，
即当x＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.
(注：利用三次均值不等式得f(x)＝5＝
5≥5×3＝30，当且仅当x＝4时，等号成立，同样正确.)
第2讲　不等式问题
高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.

真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析　∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.
答案　{x|－1＜x＜2}
2.(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________.
解析　二次函数f(x)对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，
则有
解得－<m<0.
答案　
3.(2016·江苏卷)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.
解析　已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影部分内的动点：

x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.
解方程组得A(2，3).
由图可知(x2＋y2)min＝＝，
(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.
答案　
4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________.
解析　由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同时除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C＞2，则tan Btan C＞1，m＞2.
又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C
＝－·m＝＝m－2＋＋4
≥2＋4＝8，当且仅当m－2 ＝， 即m＝4时取等号，故tan Atan Btan C的最小值为8.
答案　8
考 点 整 合
1.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系.
(2)四个常用结论
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
③a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max.
④a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
2.利用基本不等式求最值
已知x，y＞0，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2(x＋y≥2＝2).
3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.

热点一　一元二次不等式的解法及应用
【例1】 (1)(2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
(2)(2012·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________.
解析　(1)由已知得f(0)＝0，当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝
不等式f(x)>x等价于或
解得：x>5或－5<x<0.
(2)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝＋b－.
∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.
∴f(x)＝.由f(x)<c，
得－－<x<－＋，
又f(x)<c的解集为(m，m＋6)，
∴
②－①，得2＝6，∴c＝9.
答案　(1)(－5，0)∪(5，＋∞)　(2)9
探究提高　解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.
【训练1】 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为______.
解析　依题意知f(x)>0的解为－1<x<，故0<10x<，解得x<lg＝－lg 2.
答案　{x|x＜－lg 2}
热点二　利用基本不等式求最值
[微题型1]　基本不等式的简单应用
【例2－1】 (1)(2016·南师附中模拟)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________.
(2)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为________.
解析　(1)由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.
所以当y＝1时，＋－的最大值为1.
(2)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，
∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去).
∴＝＝4a1，
平方得2m＋n－2＝16＝24，
∴m＋n＝6，
∴＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，
当且仅当＝，即n＝2m，亦即m＝2，n＝4时取等号.
答案　(1)1　(2)
探究提高　在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
[微题型2]　基本不等式在实际问题中的应用
【例2－2】 (2016·南通调研)如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇.已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城.设OA＝x km，OB＝y km.
(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小.
解　(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，
即x(＋)＋y(＋)＝xy，
所以y＝(x＞2).
(2)△AOB的面积S＝xysin 75°＝xy＝×＝(x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1).
当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.
故OA＝4 km，OB＝4 km时，△OAB面积的最小值为4(＋1) km2.
探究提高　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
【训练2】 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是________.
(2)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________.
解析　(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，
即2x＋3y＝3.∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·(2x＋3y)
＝≥(12＋2×6)＝8.
当且仅当3y＝2x时取等号.
(2)易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1，2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)过圆心，把圆心坐标代入得a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立.
答案　(1)8　(2)4
热点三　含参不等式恒成立问题
[微题型1]　分离参数法解决恒成立问题
【例3－1】 (1)关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________.
(2)已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)设f(x)＝x＋，因为x＞0，所以f(x)＝x＋≥2＝4.又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围为(－1，3).
(2)要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立.
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去).设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.
答案　(1)(－1，3)　(2)
探究提高　对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
[微题型2]　函数法解决恒成立问题
【例3－2】 (1)已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为________.
(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋x＋1对x∈[0，2]恒有f(x)＞0.则实数a的取值范围为________.
解析　(1)法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，
①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.∴－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3，1].
法二　设g(x)＝f(x)－a，则g(x)＝x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得[－3，1].
(2)法一　函数法.
若a＞0，则对称轴x＝－＜0，
故f(x)在[0，2]上为增函数，且f(0)＝1，
因此在x∈[0，2]上恒有f(x)＞0成立.
若a＜0，则应有f(2)＞0，即4a＋3＞0，∴a＞－.
∴－＜a＜0.
综上所述，a的取值范围是∪(0，＋∞).
法二　分离参数法.
当x＝0时，f(x)＝1＞0成立.
当x≠0时，ax2＋x＋1＞0变为a＞－－，
令g(x)＝－－.
∴当≥时，g(x)∈.
∵a＞－－，∴a＞－.
又∵a≠0，∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
答案　(1)[－3，1]　(2)∪(0，＋∞)
探究提高　参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.
【训练3】 (1)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________.
(2)已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________.
解析　(1)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知解之得x∈R.
(2)设y＝，y′＝－＜0，
故y＝在x∈[2，6]上单调递减，即ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立等价于
|a2－a|≤恒成立，化简得
解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2].
答案　(1)R　(2)[－1，2]
热点四　简单的线性规划问题
【例4】 (1)(2016·北京卷改编)若x，y满足则2x＋y的最大值为________.
(2)(2016·苏北四市调研)设实数n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0对任意x∈[－4，2]都成立，则的最小值为________.
解析　(1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.
(2)因为不等式2xm＋(2－x)n－8≥0即为(2m－n)x≥8－2n，对任意x∈[－4，2]都成立，所以
所以m，n满足的不等式组为

所以点(m