二轮复习函数与导数不等式.doc

第1讲　函数、函数与方程及函数的应用
高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B级；(3)函数与方程是B级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.

真 题 感 悟
1.(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________.
解析　要使函数有意义，需且仅需3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1.故函数定义域为[－3，1].
答案　[－3，1]
2.(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________.
解析　由已知f＝f＝f＝－＋a，
f＝f＝f＝＝.
又∵f＝f，
则－＋a＝，a＝，
∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案　－
3.(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
解析　作出函数y＝f(x)在[－3，4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0＜a＜.

答案　
4.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________.
解析　令h(x)＝f(x)＋g(x)，则h(x)＝
当1＜x＜2时，h′(x)＝－2x＋＝＜0，故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示.

由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.
答案　4
考 点 整 合
1.函数的性质
(1)单调性
(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.
(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.
(2)奇偶性：①若f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)；②若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；
(3)周期性：常见结论有①若y＝f(x)对x∈R，f(x＋a)＝f(x－a)或f(x－2a)＝f(x)(a＞0)恒成立，则y＝f(x)是周期为2a的周期函数；②若y＝f(x)是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；③若y＝f(x)是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；④若f(x＋a)＝
－f(x)，则y＝f(x)是周期为2|a|的周期函数.
2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.
3.求函数值域有以下几种常用方法：
(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.
4.函数的零点问题
(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.
5.应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

热点一　函数性质的应用
【例1】 (1)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为________(从小到大排序).
(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝________.
解析　(1)由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2|x|－1.
所以a＝flog0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f(0)＝2|0|－1＝0，所以c和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).
【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
(2)(2016·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0
即f(1)＝0，
又f＝f＝－f＝－4＝2，
从而f＋f(1)＝－2.
答案　(1)1　(2)－2
热点二　函数图象的应用
【例2】 (1)(2016·苏北四市调研)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围是________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，
当a＞0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a＜0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情况，
即y′＝2x－2，切线方程为y＝(2x0－2)(x－x0)，由分析可知x0＝0，所以a＝－2，综上，a∈[－2，0].
(2)设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)＜ax0－a，
因为g′(x)＝ex(2x＋1)，可知g(x)在上单调递减，在上单调递增，作出g(x)与h(x)的大致图象如图所示，故
即所以≤a<1.
答案　(1)[－2，0]　(2)
探究提高　(1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.
(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
【训练2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，则不等式<0的解集为________.
解析　由奇函数的定义和f(2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f(x)>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f(x)<0.当x>0时，由<0，可得f(x)－f(－x)＝2f(x)<0，结合图象可知(0，2)符合；当x<0时，由<0，可得f(x)－f(－x)＝2f(x)>0，结合图象可知(－2，0)符合.
答案　(－2，0)∪(0，2)
热点三　函数与方程问题
[微题型1]　函数零点个数的求解
【例3－1】 (2016·南京、盐城模拟)函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________.
解析　f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝
sin 2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.
答案　2
探究提高　解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
[微题型2]　由函数的零点(或方程的根)求参数
【例3－2】 (1)(2016·南京三模)设函数f(x)＝
g(x)＝f(x)－b.若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.
(2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是________.
解析　(1)当f(x)＝时，f′(x)＝，由f′x)＝0得x＝2，且当x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则当x＝2时，f(x)有极大值f(2)＝.当－x－1＝时，x＝－1－.
结合图象可得当存在实数b使得g(x)＝f(x)－b恰有3个零点时，－1－＜a＜2.
(2)函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，又y＝f(x)＋f(2－x)＝
作出该函数的图象如图所示，
由图可知，当＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点，故函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点时，b的取值范围是.
答案　(1)　(2)
探究提高　利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【训练3】 (2016·泰州调研)设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·ex(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.
解析　令f(x)＝0，可得＝a，
令g(x)＝，则g′(x)＝
＝－，令g′(x)＞0，可得x∈(－1，0)，令g′(x)＜0，可得x∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g(x)在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y＝g(x)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，结合y＝g(x)及y＝a的图象可得a∈(0，e)∪(3，＋∞).
答案　(0，e)∪(3，＋∞)
热点四　函数的实际应用问题
【例4】 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解　(1)V＝×62×2＋62×2×4＝312(m3).
(2)设PO1＝x，则O1B1＝，B1C1＝·，
∴S正方形A1B1C1D1＝2(62－x2).
又由题意可得下面正四棱柱的高为4x，
则仓库容积V＝x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝
x(36－x2).由V′＝0得x＝2或x＝－2(舍去).
由实际意义知V在x＝2(m)时取到最大值，
故当PO1＝2(m)时，仓库容积最大.
探究提高　(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.
(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.
【训练4】 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于，说明理由.
解　(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.
(2)法一　依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝
≤＝≤＝＜.
P不可能大于.
法二　依题意x＝0.2a，
所以P＝＝＝＝.
假设P＞，则ka2－20a＋25k＜0.
因为k≥3，所以Δ＝100(4－k2)＜0，不等式ka2－20a＋25k＜0无解，假设不成立.
P不可能大于.

1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；
(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；
(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.
4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

一、填空题
1.(2016·南通调研)函数f(x)＝ln x＋的定义域为________.
解析　要使函数f(x)＝ln x＋有意义，则解得0＜x≤1，即函数定义域是(0，1].
答案　(0，1]
2.(2011·江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.
解析　函数f(x)的定义域为，令t＝2x＋1(t＞0).因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为.
答案　
3.(2016·苏州调研)函数f(x)＝的值域为________.
解析　当x≤0时，y＝2x∈(0，1]；
当x＞0时，y＝－x2＋1∈(－∞，1).
综上， 该函数的值域为(－∞，1].
答案　(－∞，1]
4.2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________.
解析　在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：

由图象可得两图象有7个交点.
答案　7
5.(2012·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________.
解析　因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.
答案　－10
6.已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围是________.
解析　f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数.
又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)
解析　根据[x]表示的意义可知，当0≤x＜1时，f(x)＝x，当1≤x＜2时，f(x)＝x－1，当2≤x＜3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x＜k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.

答案　
8.(2016·北京海淀区二模)设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________
解析　(1)当a＝1时，f(x)＝
当x<1时，f(x)＝2x－1∈(－1，1)，
当x≥1时，f(x)＝4(x2－3x＋2)＝4≥－1，∴f(x)min＝－1.
(2)由于f(x)恰有2个零点，分两种情况讨论：
当f(x)＝2x－a，x<1没有零点时，a≥2或a≤0.
当a≥2时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时，有2个零点；
当a≤0时，f(x)＝4(x－a)(x－2a)，x≥1时无零点.
因此a≥2满足题意.
当f(x)＝2x－a，x<1有一个零点时， 0<1.
综上知实数a的取值范围是.
答案　(1)－1　(2)∪[2，＋∞)
二、解答题
9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)＞0，得x＞2，
所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以当x＝2时，
函数k(x)取得最小值，k(2)＝2－2ln 2－a，
因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，
所以即有
解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3.
所以实数a的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].
10.(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
解　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号.
所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标.
11.(2016·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋(1≤x≤9)，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元.题中所涉及长度单位均为百米.

(1)求f(x)的解析式；
(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价.
解　(1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，所以点P坐标为，直线OB的方程为x－y＝0，则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，
又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米.
则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5(1≤x≤9).
(2)因为f(x)＝5，
所以f′(x)＝5＝，
令f′(x)＝0，解得x＝4，列表如下：
x
(1，4)
4
(4，9)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)＝5＝30，
即当x＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.
(注：利用三次均值不等式得f(x)＝5＝
5≥5×3＝30，当且仅当x＝4时，等号成立，同样正确.)
第2讲　不等式问题
高考定位　高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.

真 题 感 悟
1.(2015·江苏卷)不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析　∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影部分内的动点：

x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.
解方程组得A(2，3).
由图可知(x2＋y2)min＝＝，
(x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13.
答案　
4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________.
解析　由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同时除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C.
令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C＞2，则tan Btan C＞1，m＞2.
又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C
＝－·m＝＝m－2＋＋4
≥2＋4＝8，当且仅当m－2 ＝， 即m＝4时取等号，故tan Atan Btan C的最小值为8.
答案　8
考 点 整 合
1.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系.
(2)四个常用结论
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是
②ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是
③a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max.
④a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
2.利用基本不等式求最值
已知x，y＞0，则(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2(x＋y≥2＝2).
3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域最优解等.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.

热点一　一元二次不等式的解法及应用
【例1】 (1)(2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
(2)(2012·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)
f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝
不等式f(x)>x等价于或
解得：x>5或－5结合对应的函数图象求解.
【训练1】 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为______.
解析　依题意知f(x)>0的解为－11)由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.
所以当y＝1时，＋－的最大值为1.
(2)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
∵a7＝a6＋2a5，∴a5q2＝a5q＋2a5，
∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去).
∴＝＝4a1，
平方得2m＋n－2＝16＝24，
∴m＋n＝6，
∴＝(m＋n)＝≥(5＋4)＝，
当且仅当＝，即n＝2m，亦即m＝2，n＝4时取等号.
答案　(1)1　(2)
探究提高　在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.
[微题型2]　基本不等式在实际问题中的应用
【例2－2】 (2016·南通调研)如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇.已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在公路l1，l2上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城.设OA＝x km，OB＝y km.
(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小.
解　(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，
即x(＋)＋y(＋)＝xy，
所以y＝(x＞2).
(2)△AOB的面积S＝xysin 75°＝xy＝×＝(x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1).
当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.
故OA＝4 km，OB＝4 km时，△OAB面积的最小值为4(＋1) km2.
探究提高　在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
【训练2】 (1)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是________.
(2)若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是________.
解析　(1)∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，
即2x＋3y＝3.∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·(2x＋3y)
＝≥(12＋2×6)＝8.
当且仅当3y＝2x时取等号.
(2)易知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径为2，圆心为(－1，2)，因为直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)过圆心，把圆心坐标代入得a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立.
答案　(1)8　(2)4
热点三　含参不等式恒成立问题
[微题型1]　分离参数法解决恒成立问题
【例3－1】 (1)关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________.
(2)已知x＞0，y＞0，x＋y＋3＝xy，且不等式(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析　(1)设f(x)＝x＋，因为x＞0，所以f(x)＝x＋≥2＝4.又关于x的不等式x＋－1－a2＋2a＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1＜4，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围为(－1，3).
(2)要使(x＋y)2－a(x＋y)＋1≥0恒成立，则有(x＋y)2＋1≥a(x＋y)，即a≤(x＋y)＋恒成立.
由x＋y＋3＝xy，得x＋y＋3＝xy≤，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，解得x＋y≥6或x＋y≤－2(舍去).设t＝x＋y，则t≥6，(x＋y)＋＝t＋.设f(t)＝t＋，则在t≥6时，f(t)单调递增，所以f(t)＝t＋的最小值为6＋＝，所以a≤，即实数a的取值范围是.
答案　(1)(－1，3)　(2)
探究提高　对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.
[微题型2]　函数法解决恒成立问题
【例3－2】 (1)已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为________.
(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋x＋1对x∈[0，2]恒有f(x)＞0.则实数a的取值范围为________.
解析　(1)法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，
①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.∴－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为[－3，1].
法二　设g(x)＝f(x)－a，则g(x)＝x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得[－3，1].
(2)法一　函数法.
若a＞0，则对称轴x＝－＜0，
故f(x)在[0，2]上为增函数，且f(0)＝1，
因此在x∈[0，2]上恒有f(x)＞0成立.
若a＜0则应有f(2)＞0，即4a＋3＞0，∴a＞－.
∴－＜a＜0.
综上所述，a的取值范围是∪(0，＋∞).
法二　分离参数法.
当x＝0时，f(x)＝1＞0成立.
当x≠0时，ax2＋x＋1＞0变为a＞－－，
令g(x)＝－－.
∴当≥时，g(x)∈.
∵a＞－－，∴a＞－.
又∵a≠0，∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
答案　(1)[－3，1]　(2)∪(0，＋∞)
探究提高　参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.
【训练3】 (1)若不等式x2－ax＋1≥0对于一切a∈[－2，2]恒成立，则x的取值范围是________.
(2)已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________.
解析　(1)因为a∈[－2，2]，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，
由题意可知解之得x∈R.
(2)设y＝，y′＝－＜0，
故y＝在x∈[2，6]上单调递减，即ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立等价于
|a2－a|≤恒成立，化简得
解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2].
答案　(1)R　(2)[－1，2]
热点四　简单的线性规划问题
【例4】 (1)(2016·北京卷改编)若x，y满足则2x＋y的最大值为________.
(2)(2016·苏北四市调研)设实数n≤6，若不等式2xm＋(2－x)n－8≥0对任意x∈[－4，2]都成立，则的最小值为________.
解析　(1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1，2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.
(2)因为不等式2xm＋(2－x)n－8≥0即为(2m－n)x≥8－2n，对任意x∈[－4，2]都成立，所以
所以m，n满足的不等式组为

所以点(m