高二数学周测2解析.docx

高二数学周测
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A. B. C. D.－2，－3
答案：B
2、点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　)
A．1　　　B．2 C. D.
解析：由点到直线的距离公式d＝＝.答案：C

3、过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解析：∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，
∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.答案：A
4、过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：过原点的直线y＝－x，截距不为零时＋＝1，代入，＋＝1，∴a＝1，x＋y－1＝0.答案：B
5、过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为 (　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0 C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
解法一：由得则所求直线方程为：y＝x＝－x，
即3x＋19y＝0．
解法二：设直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，
即(1＋2λ)x－(3－λ)y＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)，
所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0，
解得λ＝－，故所求直线方程为3x＋19y＝0．故选D．

6、若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 (　　)
A． B．5 C． D．15
解：由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离d＝ ＝5，即为点P到原点的距离的最小值．故选B．
7、直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A. B.∪ C.(－∞，－1)∪ D.(－∞，－1)∪
解析　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，由图形可得满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.答案　D
8、已知点A(－1,2)，B(－4,6)，C(4,0)，D(－2,8)，则CDAB等于(　　)
A． 2 B．12 C． 4 D．14
【解析】由已知得m2－4≠0，且2m2-5m+2m2-4＝1，
解得m＝3或m＝2(舍去)．
【答案】A
【解析】∵点A(－1,2)，B(－4,6)，C(4,0)，D(－2,8)，
∴|AB|＝-1+42+2-62＝5，
|CD|＝4+22+0-82＝10，
CDAB＝105＝2.
故选A.
9、设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别是x＝0，y＝x，则直线BC的方程是(　　)
A．y＝2x＋5 B．y＝2x＋3 C．y＝3x＋5 D．y＝－x2＋52
【答案】A
【解析】∵∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，
∴AB与BC对于x＝0对称，AC与BC对于y＝x对称．
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A′′(－1,3)也在直线BC上．
由两点式，所求直线BC的方程为y＝2x＋5.
故选A.

10、若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是(　　)
A．[0，) B．[0，＋∞) C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解：把直线l的方程化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
由方程组解得得直线l 恒过定点A(1，1)，其中直线l不包括直线3x＋2y－5＝0．
又|PA|＝＝，且PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，即点P到直线3x＋2y－5＝0的距离为，所以点P到直线l的距离d满足0≤d＜．故选A．
11、已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
解析　直线AB的方程为＋＝1，设P(x，y)，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取最大值3.
答案　B

12、在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)
A.2 B.1 C. D.
解析　建立如图所示的坐标系：
可得B(4，0)，C(0，4)，故直线BC的方程为x＋y＝4，△ABC的重心为，即.
设P(a，0)，其中0<a<4，
则点P关于直线BC的对称点
P1(x，y)，满足
解得即P1(4，4－a)，易得P关于y轴的对称点P2(－a，0).
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k＝＝，故直线QR的方程为y＝(x＋a)，由于直线QR过△ABC的重心，代入化简可得3a2－4a＝0，解得a＝或a＝0(舍去)，故P，所以AP＝.
答案　D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、设向量，且，则m＝　　－3

14、直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.
解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝.答案　
15、直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________.
(2)法一　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由题意知＝，
即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4).∴直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
16、已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________
【答案】
解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．
解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．
【详解】
解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），
由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故﹣≤0，故点M在射线OA上．
设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．
①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），
把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．
②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于，
即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，
故有＜b＜．
③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．
设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=，
即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．
由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．
两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，
故有1﹣＜b＜．
再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，

解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，
由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．
由于a＞0，∴b＞1﹣．
当a逐渐变大时，b也逐渐变大，
当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．
综上可得，1﹣＜b＜，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．
解：当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．
当l1，l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得＝5，解得k＝.
此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18、(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，BC边上的高所在直线l的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解：由方程组解得顶点A(－1,0)．
又AB的斜率为kAB＝1.且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．
已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，故BC的斜率为－2，BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．
解方程组
得顶点C的坐标为(5，－6)．
所以点A的坐标为(－1,0)，点C的坐标为(5，－6).
19、(本大题满分12分)已知两直线l1：(a2－1)x + 3ay + 9a = 0，l2：x + ay + 6 = 0．
(1)若l1∥l2，求两直线l1与l2之间的距离d；
(2)若l1⊥l2，求两直线l1与l2的垂足M的坐标．
(1)解：l1∥l2，∴ ，解得a = 0或a =－2
当a = 0时，l1：x = 0， l2：x + 6 = 0，这时，d = 6
当a=－2时，l1：x－2y－6 = 0，l2：x－2y + 6 = 0，这时
∴d = 6或
(2)解：∵l1⊥l2，∴1×(a2－1) + a×3a = 0，解得：
当时，l1：x－2y－6 = 0，l2：2x + y +12 = 0
由得：
当时，l1：x + 2y－6 = 0，l2：2x－y +12 = 0
由得：
故垂足M的坐标为或
20、(本大题满分12分)已知方程．
(Ⅰ)求方程表示一条直线的条件；
(Ⅱ)当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；
(Ⅲ)若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．

(Ⅰ) 解：由 得：
方程表示直线
∴不同时为0，∴．
(Ⅱ)解：方程表示的直线与x轴垂直，∴，∴．
(Ⅲ)解：当，即时，直线过原点，在两坐标轴上的截距均为0
当时，由得：．

21、(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解析　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
22、(本大题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝2BC＝4，PB＝4，M是线段AP的中点．

(1)证明：BM∥平面PCD；
(2)当PA为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此最大值．
(1)证明　取PD中点N，连接MN，CN，

又∵M是AP的中点，
∴MN∥AD且MN＝AD，
∵AD∥BC，AD＝2BC，
∴MN∥BC，MN＝BC，
∴四边形MNCB是平行四边形，
∴BM∥CN.
又BM⊄平面PCD，CN⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD.
(2)解　设PA＝x(0<x<4)，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
∵PB＝4，
∴AB＝＝，
又∵AB⊥AD，AD＝2BC＝4，
∴VP－ABCD＝S梯形ABCD×PA
＝×(AD＋BC)×AB×PA
＝x≤＝16，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．
故当PA＝4时，四棱锥P－ABCD的体积最大，最大值为16.