高中数学考前知识回顾.docx

高中数学考前回归教材资料
1. 集合中的元素具有无序性和互异性.如集合{a, 2} 隐含条件 a ¹ 2 ，集合{x | (x -1)(x - a) = 0} 不能直接化成{1, a} .
2. 研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:{ x | y =lgx }与{ y | y =lgx }及{ (x, y)| y =lgx}三集合并不表示同一集合；再如：“设 A={直线}，B={圆}，问 A∩ B 中元素有几个？能回答是一个，两个或没有吗？”与“A={(x, y)| x + 2y = 3},
B={(x, y)|x 2 + y 2 = 2}, A∩B 中元素有几个？”有无区别？
过关题：设集合 M = {x | y = x + 3} ，集合 N＝ {y | y = x2 +1, x Î M } ，则 M I N = （答： [1, +¥) ）
若函数 y = x2 - 2ax + 2 的单调增区间为[2, +¥) ，则 a 的范围是什么？ 答： a = 2 若函数 y = x2 - 2ax + 2 在 x Î [2, +¥) 上单调递增，则 a 的范围是什么？ 答： a £ 2 两题结果为什么不一样呢？
11. 函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函数法等. 还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（⑴ 比较大小；⑵ 解不等式；⑶ 求参数的范围.）如已知 f (x) = 5sin x + x3 ， x Î(-1,1) ， f (1- a) + f (1- a2 ) < 0 ，求 a 的范围. 答： (1, 2 )
求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间是区间不能用集合或不等式表示.
12. 判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非充分条件）.
1
过关题：f (x) = a x 2 + b x + 3 a + b 是偶函数，其定义域为[a – 1, 2a]，则 a= , b= . 答 ： ;0

3 .进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行求解；若 A I B=f，则说明集合 A 和集合 B 没公共元素，你注 3

意到两种极端情况了吗？ A = f或 B = f；对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是 2n
你会用补集法求解吗？
A 是 B 的子集 Û A∪B=B Û A∩B=A Û A Í B ，你可要注意 A = f的情况.
1
、 2n
-1和 2n
- 2 ，你知道吗？
13. 常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换） 函数的图象不可能关于 x 轴对称，（为什么？）如：y 2 = 4x 是函数吗？
函数图象与 x 轴的垂线至多一个公共点，但与 y 轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个；
函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；
图象关于 y 轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线 y = x 对称，你知道吗？

过关题：已知集合 A={-1, 2}, B={x| m x + 1 = 0}，若 A∩B=B，则所有实数 m 组成的集合为 .答： m = {0,1, - }
2
过关题：函数 y = 2f (x – 1)的图象可以由函数 y = f (x)的图象经过怎样的变换得到？
过关题：已知函数 y = f (x) (a≤x≤b)，则集合{(x, y)| y = f (x) ,a≤x≤b} ∩{(x, y)| x = 0}中，含有元素的个数为（ ）
3 A. 0 或 1 B. 0 C. 1 D. 无数个

已知函数 f (x) = 4x 2 - 2( p - 2)x - 2 p 2 - p + 1 在区间[-1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) > 0 ，求实数 p 的取值范围.答： (-3, ) ）
2
答： A
14. 由函数 y =

f (x) 图象怎么得到函数 y = f (- x) 的图象？ 答：以 y 轴为对称轴翻折

4 .（1）求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？（2）你会求分式函数的对称中心吗？
a - x
过关题：已知函数 f (x) = 的对称中心是(3, -1)，则不等式 f (x) > 0 的解集是 .
x - a -1
由函数 y =
由函数 y =
f (x) 图象怎么得到函数 y = - f (x) 的图象？ 答：以 x 轴为对称轴翻折
f (x) 图象怎么得到函数 y = - f (- x) 的图象？ 答：以 (0, 0) 为对称中心翻折

答： {x | 2 < x < 3}
由函数 y =
f (x) 图象怎么得到函数 y = f (| x |) 的图象？ 答：去左翻右

5 .求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？
6 .四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪三种关系？只有互为逆否的命题同真假！复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样， 差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果.
⑴ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于 x 轴的对称的曲线 C1 是： . 答： f (x, - y) = 0
⑵ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于 y 轴的对称的曲线 C2 是： . 答： f (-x, y) = 0

原命题: p Þ q ;逆命题: q Þ p ;否命题: Øp Þ Øq ；逆否命题: Øq Þ Øp ；互为逆否的两个命题是等价的.
⑶ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 y = x 的对称的曲线 C3 是： . 答： f ( y, x) = 0

如：“ sina¹ sin b”是“a¹ b”的 条件.（答：充分非必要条件）
若 p Þ q 且 q ¹> p ;则 p 是 q 的充分非必要条件（或 q 是 p 的必要非充分条件）; 注意命题 p Þ q 的否定与它的否命题的区别:
命题 p Þ q 的否定是 p Þ Øq ；否命题是 Øp Þ Øq
命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q”
注意：如 “ a,b Î Z ，若 a 和 b 都是偶数，则 a + b 是偶数”的否命题是“若 a 和 b 不都是偶数，则 a + b 是奇数”；否定是“若 a 和 b 都是偶数，则 a + b
是奇数”
7. 绝对值的几何意义是什么？不等式| ax + b |< c ， | ax + b |> c (c > 0) 的解法掌握了吗？ 过关题：| x | + | x – 1|<a 的解集非空，则 a 的取值范围是 ，
| x | – | x – 1|<a 恒成立，则 a 的取值范围是 .有解，则 a 的取值范围是 .
答： a > 1 ； a > 1 ； a > -1
⑷ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 y = - x 对称的曲线 C4 是： .答： f (- y, -x) = 0
⑸ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 y = x + m 的对称的曲线 C5 是： .答： f ( y - m, x + m) = 0
⑹ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 y = -x + m 的对称的曲线 C6 是： .答： f (m - y, m - x) = 0
⑺ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 x = m 对称的曲线 C7 是： .答： f (2m - x, y) = 0
⑻ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于直线 y = m 对称的曲线 C8 是： .答： f (x, 2m - y) = 0
⑼ 曲线 C : f (x, y) = 0 关于原点的对称的曲线 C9 是： .答： f (-x, - y) = 0
x
过关题：f (x) = log 2 x 关于直线 y = x 的对称函数（反函数） .答： y = 2
k

8. 如何利用二次函数求最值？注意对 x2 项的系数进行讨论了吗？
若 (a - 2)x2 + 2(a - 2)x -1 < 0 恒成立，你对 a - 2 =0 的情况进行讨论了吗？
15. 函数 y = x + (k > 0) 的图象及单调区间掌握了吗？ 如何利用它求函数的最值？ 与利用基本不等式求最值的联系是什么？ 若 k ＜ 0 呢？ 你知道函数
x

若改为二次不等式 (a - 2)x2 + 2(a - 2)x -1 < 0 恒成立，情况又怎么样呢？
9. （1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？


的函数！
的单调区间吗？（该函数在 (-¥,-
b ] 或[
a
b ,+¥) 上单调递增；在 (0,
a
b ] 或[-
a
b ,0) 上单调递减）这可是一个应用广泛
a

（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（3）方程有解问题，你会求解吗？处理的方法有几种？
1 1
求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.
16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质.

过关题：不等式 a x 2 + b x + 2 > 0 的解集为{x | - < x < } ，则 a + b = .

2 3
答： -14
过关题： y = log (-x2 + 2x) 的单调递增区间是 (答：（1,2）).
1
2

9
过关题：方程 2sin 2 x – sinx + a – 1 = 0 有实数解，则 a 的取值范围是 .

答 ： [-2, ]
8
特别提醒：二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根即为不等式 ax 2 + bx + c > 0 (< 0) 解集的端点值，也是二次函数 y = ax 2
点的横坐标.


+ bx + c 的图象与 x 轴的交
已知函数 f (x) = log 3 x + 2, x∈[1, 9]，则函数 g (x) = [f (x)] 2 + f (x 2)的最大值为 . 答：13 求解中你注意到函数 g (x)的定义域吗？
T
(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？（即找函数原型）
过关题 12：已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则 f (- ) = （答：0）
2
几类常见的抽象函数 ：

对二次函数 y = ax 2 + bx + c ，你了解系数 a, b, c 对图象开口方向、在 y 轴上的截距、对称轴等的影响吗？
对函数 y = lg(x2 - 2ax +1) 若定义域为 R，则 x2 - 2ax +1 的判别式小于零；若值域为 R，则 x2 - 2ax +1 的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？
①正比例函数型： f (x) = kx(k ¹ 0) f (x ± y) =
2
f (x) ± f ( y) ；
x f (x)

例如：y = lg(x 2 + 1)的值域为 ，y = lg(x 2 – 1) 的值域为 ，你有点体会吗？ 答： [0, +¥);(-¥, +¥)
②幂函数型： f (x) = x f (xy) =
f (x) f ( y) ， f ( ) = ；
y f ( y)
f (x)

2
10 求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数 y =log (x2
2
会求 a 的范围吗？ 答： 0 < a < 3

-2x-3)的单调增区间？再如已知函数 y = loga (x
- 2ax -1) 在区间[2, 3] 上单调减，你
③指数函数型： f (x) = ax
---------- f (x + y) =
f (x) f ( y) ， f (x - y) = ；
f ( y)
x

4 ④对数函数型： f (x) = loga x
--- f (xy) =
f (x) + f ( y) ， f ( ) =
y
f (x) - f ( y) ；

⑤三角函数型： f (x) = tan x

-----
f (x + y) =
f (x) + f ( y)
.

（答： y = - 3
1- x2
+ 4 x(3

< x < 1) ）

1- f (x) f ( y)
17．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？对指数函数 y = ax ，底数 a 与 1 的接近程度确定了其图象与直线
5 5 5
p

loga N
（3）若 x =
是函数 y = a sinx – b cosx 的一条对称轴，则函数 y = b sinx – a cosx 的一条对称轴是
6

y = 1接近程度；对数函数 y = loga x 呢？ 你还记得对数恒等式（ a
= N ）和换底公式吗？
p p p

n am
n
n
知道： m loga N = logam N 吗？
A. B.
6 3
C. D. π （ ）答： B
2

|w|

指 数 式 、 对 数 式 ：
m
a n =
- m
， a n
= 1 ，
m
a n
a0 = 1 ，
loga 1 = 0
， loga a = 1
， lg 2 + lg 5 = 1
， loge x = ln x ，
21. 会用五点法画 y = A sin(wx +j) 的草图吗？哪五点？会根据图象求参数A、w、j的值吗？什么是振幅、初相、相位、频率？ 答： A,j, wx +j,
2p
22. 同角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：“奇变偶不变，符号看象限”

b loga N
æ 5p ö

a = N Û loga N = b(a > 0, a ¹ 1, N > 0) ， a
= N .
函数 y = sin ç 2 - 2x ÷ 的奇偶性是 （答：偶函数）

1
如 ( ) 2

log 2 8
1
的值为 (答： )
64
è ø
23. 正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无解）？

18.你还记得什么叫终边相同的角？若角a与b的终边相同，则a= b+ 2kp,(k Î Z )
24. 你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？
（1）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化； （2）名的变换：见切化弦； （3）次的变换：降幂公式；

若角a与b的终边共线，则：a= b+ kp,(k Î Z )
2 2 p p

若角a与b的终边关于 x 轴对称，则：a= -b+ 2kp,(k Î Z )
（4）形的变换：通分、去根式、1 的代换1 = sin a+ cos a= tan
=sin
4 2
=cos0）等，这些统称为 1 的代换.

若角a与b的终边关于 y 轴对称，则：a= p- b+ 2kp,(k Î Z )
25. 在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函数值）（2）注意考虑到函数的单调性吗？

若角a与b的终边关于原点对称，则：a= b+ (2k +1)p,(k Î Z ) 1 p p3

若角a与b的终边关于直线 y = x 对称，则：a= p- b+ 2kp,(k Î Z )
2
过关题： sin acosa = , 且
8 4
< a<
， 则cosa-sina的值为 .答： -
2 2
p

各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦；15°, 75° 角的正弦、余弦、正切值还记得吗？
过关题:
sina=
, sin b=
5
10
5 10
,且a,b为锐角, 则a+ b= .答：
4

ï
2 ìcosq< 3
26. 形如 y = Asin(wx +j) +b， y = A tan(wx +j) 的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？ 周期函数对定义域有什么要求吗？求三角函数周期的几 种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？

19. 什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如： sin x > ； í
2 由三角函数线，我们很容易得

2 ïî
tanq³ 1
27、 y = Asin(wx +j) +b 与 y=sinx 变换关系:φ正左移负右移；b 正上移负下移;
1

左或右平移|F|
横坐标伸缩到原来的 倍

到函数 y = sin x ， y = cos x 和 y = tan x 的单调区间； y = sin x ¾¾¾¾¾® y = sin(x + F) ¾¾¾¾¾¾¾w¾® y = sin(wx + F)

三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对
横坐标伸缩到原来的1 倍

左或右平移 |F|

称中心、对称轴及其取得最值时的 x 值的集合吗？（别忘了 k Î Z ）
y = sin x ¾¾¾¾¾¾¾w¾® y = sinwx ¾¾¾¾¾w® y = sin(wx + F)

p p p



纵坐标伸缩到原来的A倍

上或下平移|b|

函数 y =2sin( – 2x)的单调递增区间是[- + kp, + kp](k Î Z ) 吗？你知道错误的原因吗？
6 6 3
kp
¾¾¾¾¾¾¾® y = Asin(wx + F) ¾¾¾¾¾® y = Asin(wx + F) + b
1 1 1

y = tan x 图象的对称中心是点 ( , 0) ，而不是点 (kp, 0) (k Î Z ) 你可不能搞错了！
2
p
你会用单位圆比较 sinx 与 cosx 的大小吗？当 x Î(0, ) 时，x, sinx, tanx 的大小关系如何？
2
28. 在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？过关题：已知 sinacosb=
提示：整体换元，令 sin bcosa= t，然后与 sinacosb相加、相减，求交集.
，求 sin bcosa的变化范围.答： [- , ]
2 2 2

2
5

过关题:函数 y = tan x 与函数 y = sin x 图象在 x∈[-2π,2π]上的交点的个数有 个？ 答： 5
29. 请记住(sina± cosa)与 sinacosa之间的关系. 过关题：求函数 y = sin2x + sinx + cosx 的值域.答： [- ,
4
+1]

a2 + b2
20．三角函数中，两角a、b的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？ a sin x + b cos x =
sin(x +j) 中j角是如何
30 常见角的范围 ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是 (0,
p
] ， [0,
2
p
] ， [0,p] ；
2

a2 + b2
ìcosj= a
ï
确定的？（可由 í
a2 + b2
ï
ïsinj= b
(co
s ± n )
q q
si
2
2 2
î

确定，也可由tanj= 及a, b 的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？
b
a
p
②直线的倾斜角、 与 的夹角的取值范围依次是[0,p) ， [0, ]
2
31 以下几个结论你记住了吗？
⑴ 如果函数 f (x) 的图象关于直线 x = a 对称，那么函数 f (x) 满足关系式为 ，
且函数 f (x) 若为奇函数，则函数 f (x) 的周期为 .

重要公式： 2
1-cos2a

2 1+ cos2a

a 1-cosa

sina

1-cosa q q

sin a=
； cos a=
2
．； tan = ± = =
2 2 1+cosa 1+cos
;
sina
1±sinq=
= cos
±sin
等，你还记住哪些变形
答： f (a + x) = f (a - x), 4 | a |

a
公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？
2 5
2 2

p 5p


⑵ 如果函数 f (x) 满足关于点（a,b）中心对称，那么函数 f (x) 满足关系式为 ； 答： f (a + x) + f (a - x) = 2b

如：函数 f ( x ) = 5 sin xcos x - 5 3 cos x +
2
3( x Î R ) 的单调递增区间为 （答： [ kp-
,kp+
12 12
]( k Î Z ) ）
⑶ 如果函数 f (x) 的图象既关于直线 x = a 成轴对称，又关于点 (b, c) 成中心对称，

a+ b b a( )( )
巧变角：如a= (a+ b) - b= (a- b) + b， 2a= (a+ b) + (a- b) ， 2a= (b+a) -(b-a) ，
那么 f (x) 是周期函数，周期是T = 4 | a - b | .

a+ b= 2 ×a+ b

，

= a- - - b 等），
a + b

2 2 2 2
（4） f (x + a) =
f (b - x) ，则 f (x) 的图象关于 x = 对称.
2

2 p 1 p 3

过关题：已知函数 f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，且满足 g (x) = f (x – 1)，则 f (2006) + f (2007) + f (2008) = . 答： 0

如（1）已知 tan(a+ b) = ， tan(b-
5
) = ，那么 tan(a+
4 4
) 的值是_ （答： ）；
4 22
32. 你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？ l =|a| r, S = lr

若a是角度，公式又是什么形式呢？

1
（2）已知a,b为锐角， sina= x, cos b= y ， cos(a+ b) = - 3 ，则 y 与 x 的函数关系为
5
2
过关题: 已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积.（答：2 cm2 ），

ìx = 2 cosq q p 4p


如:解不等式 (x + 3)(x -1)3 (x + 2)2 ³ 0 .（答： {x | x ³ 1或x £ -3 或 x = -2} ）；

î
曲线 í y = 2 sinq（
为参数,且 -p£q£ - ）的长度为 . 答：
3 3

42.解分式不等式
f (x)

g(x)
> a(a ¹ 0) 应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，

33. 三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？
⑴ 内角和定理：三角形三内角和为p, sinA=sin(B+C), cos A=-cos(B+C) , sin
a b c
A B+C
=
cos( )
2 2
一般不能去分母而是移项通分）
43. 解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”
ax
2
解不等式 > x(a Î R) （综上，当 a = 0 时，原不等式的解集是{x | x < 0} ；
ax -1

⑵ 正弦定理：
= = = 2R（R 为三角形外接圆的半径）,

sin A sin B sinC 1 1

注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
当 a > 0 时，原不等式的解集是{x | x > 或 x < 0} ；当 a < 0 时，原不等式的解集是{x |
< x < 0 } ）

⑶ 余弦定理： a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ， cos A =
b2 + c2 - a2
(b + c)2 - a2 a a
ax +1
x +1
= -1等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

1 1 abc

2bc
2S
2bc
过关题：解关于 x 的不等式：
> 1，（| a |≠1）答： a > 1,{x | x > 0 x < -1}:
a=1,Æ:
0 < a < 1,{x | -1 < x < 0}

⑷ 面积公式： S =
aha = ab sin C = ，内切圆半径 r= DABC
44. 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）

2 2 4R
a + b + c
45. 解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）

（5） 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？ sinA>sinBÛA>BÛcosA<cosB，你会证明吗？
（6） 已知 a, b, A 时三角形解的个数的判定：
过关题：解关于 x 的不等式： log 1 (x
- x - 2) > log 1
- . 答 ： (2,3)
x -1
1
2
2

b
a
h
C 其中 h=bsinA,⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；
②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，
一钝角）；④a ³ b 时，一解（一锐角）.
4 2
46. 会用不等式|| a | - | b ||£| a ± b |£| a | + | b | 证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？
47. 不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）
2
过关题：对任意的 a∈[-1, 1]，函数 f (x) = x 2 + (a – 4) x + 4 – 2a 的值总大于 0，则 x 的取值范围是 .答： (-¥,1) U (3, +¥)

⑵A 为直角或钝角时：①a £
A

b 时，无解；②a>b 时，
过关题：当 P(m, n)为圆 x 2 + (y – 1) 2 = 1 上任意一点时，不等式 m + n + c≥0 恒成立，则 c 的取值范围是 .答： [
48. 等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？
-1, +¥)

（7） 三角形为锐角三角形满足什么条件？
34. 常见的三角换元法：
已知 x 2 + y 2 = a 2 ，可设 x = a cosq, y = a sinq；
一解（锐角）.
（等差数列中的重要性质：若 ，则 ； 等差数列的通项公式： an
等比数列中的重要性质：若 ，则
= kn + b 型 前 n 项和： Sn
= An2 + Bn 型

已知 x 2 + y 2 £ 1 ，可设 x = r cosq, y = r sinq( 0 £ r £ 1 )；
用等比数列求前 n 项和时一定要注意公比 q 是否为 1？（ 时， ； 时， ）

2
2
已 知 x + y
a 2 b 2
= 1，可设 x = a cosq, y = b sinq；
过关题：求和： Sn = x + 2x
2 + 3x3
+L+ nxn

要注意什么？

a2 + b2
2
35. 重要不等式的指哪几个不等式？ 若 a, b > 0 ，（1） ³

a + b
2

³ ³ 2 （当且仅当 a = b 时取等号） ；
ab
1 + 1
a b
49. 等差数列、等比数列的重要性质： an+1 - an-1 = d (a为常数) 的数列有什么性质？若{an }为等差数列，则{a2n-1}，{kan + b}也是等差数列，它们的公差是什么？
50. 数列通项公式的常见求法：
观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第 n 项 an 与项数 n 之间的关系）

2 2 2
b b + m

a = ì S1 n = 1

（2）a、b、c Î R， a
+ b + c
³ ab + bc + ca （当且仅当 a = b = c 时，取等号）；（3）若 a > b > 0, m > 0 ，则 < （糖水的浓度问题）.
a a + m
公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用 n
î n - Sn-1
直接写出所求数列的通项公式）
S
³
í
n 2

1 1 1 1 1 1
36.倒数法则还记得吗？（指 ab > 0, a > b Þ < ，常用如下形式： a >b > 0Þ0 < < ， a < b < 0Þ0 > > ）用此求值域的注意点是什么？

an+1

a b
1 1
a b a b
叠加法（适用于递推关系为 an+1 - an =
f (n) 型） 连乘法（适用于递推关系为
an
= f (n) 型）

如求函数 y =


2x -1
的值域，求函数 y = 2x-1 的值域呢？

(a + b) 2
构造新数列法（如递推关系 an+1 = pan + q; an+1 = pan + bn (bn为等差数列或等比数列) 型）
51.数列求和的常用方法：
公式法：⑴ 等差数列的求和公式（两种形式），⑵ 等比数列的求和公式

37. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （ 比较法、分析法、综合法及放缩法）（ a2 + b2 ³ ³ 2 | ab | ） 等号成立的条件是什么？ 基本变形： ①
2
⑶1+ 2+L+ n =
n(n +1)

2
， 1+ 3 + 5 +L+ (2n -1) = n2 ，

a + b ³
+
a b 2
； ( ) ³ ；
2
1+ 3+ 5 +L+(2n +1) = (n +1)2 ；12 + 22 + 32 +L+ n2 =
1 n(n +1)(2n +1)

38 利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？ 6
2
n

9 1 x y
分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含(-1) 因式，周期数列等等）

如：①函数 y = 4x - (x > ) 的最小值 .（答：8）②若若 x + 2 y = 1，则 2
2 - 4x 2
+ 4 的最小值是 _（答： 2 ）；
倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）错位相减法：（“差比数列”的求和）

1 + 1

3 + 2
2

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和，常用裂项形式有：

③正数 x, y 满足 x + 2 y = 1，则
x
的最小值为 _（答： ）；
y
1 1 1

1 1 1 1

⑴ = - ⑵ = ( - )

39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）
n(n +1) n n +1
n(n + k ) k n n + k

过关题：若正数 a, b 满足 a b = a + b + 3, 则 a + b 的取值范围是 .（答： [6, +¥) ）
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

⑶ < = ( - ) - = < < = -
 
2 k 2 k 2 -1 2 k -1 k +1 k k +1 (k +1)k k 2 (k -1)k k -1 k

40 不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？ 过关题：已知 a > b > 0，且 a b = 1，设 c = a + b , P = logc a, N = logc b, M = logc ab ，
1 1 1 1
n 1 1

则 A. P < M < N B. M < P < N C. N < P < M D. P < N < M ( )答： A
41 不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式），另外“序轴标根法”解不等式的注意事项是什么？
将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量 x 的最高次数项的系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，
在写解集时还得考虑解集中是否包含零点.
⑷ =
n(n +1)(n + 2) 2
[ - ]
n(n +1) (n +1)(n + 2)
⑸ (n +1)! = n! -
(n +1)!

n +1
n
1 a//a ü
a//b ü

⑹ 2(
- n ) < < 2(
- n -1)
⑺ an = Sn - Sn-1 (n ³ 2)
②线线平行: a Ì b
ï Þ a//b ; a ^aü Þ a // b ;aÇg= aï Þ a//b ; a // b ü Þ c // b

þ
þ
m-1
n

m m m m m-1
ý
þ
aÇb= bï
b ^aý
ý
þ
bÇg= bï
a // c ý

⑻ Cn + Cn = Cn+1 Þ Cn = Cn+1 - Cn （理科）
a Ì a,b Ì aü

分组法求数列的和：如 an=2n+3n 、错位相减法求和：如 an=(2n-1)2n、
ï a ^ aü
a//