第四章3牛顿第二定律.docx

3　牛顿第二定律
[学习目标]　1.知道牛顿第二定律的内容、表达式的确切含义.2.知道国际单位制中力的单位.3.会应用牛顿第二定律解决简单的动力学问题．

一、牛顿第二定律的表达式
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同．
2．表达式F＝kma，其中力F指的是物体所受的合力．
二、力的单位
1．力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N.
2．“牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N，即1 N＝1_kg·m/s2.
3．在质量的单位取kg，加速度的单位取m/s2，力的单位取N时，F＝kma中的k＝1，此时牛顿第二定律可表示为F＝ma.

1．判断下列说法的正误．
(1)公式F＝kma中，各量的单位都为国际单位时，k＝1.(　√　)
(2)任何情况下，物体的加速度的方向始终与它所受的合力方向一致．(　√　)
(3)物体的运动方向一定与它所受合力的方向一致．(　×　)
(4)使质量是1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫作1 N．(　√　)
2．光滑水平桌面上有A、B两个相距较远的物体，已知mA＝2mB.当用F＝10 N的水平力作用在A上时，能使A产生5 m/s2的加速度，当用2F的水平力作用在B上时，能使B产生的加速度为________m/s2.
答案　20

一、对牛顿第二定律的理解
导学探究　甲同学说：“由a＝可知，物体的加速度a与速度的变化量Δv成正比，与时间Δt成反比．”乙同学说：“由a＝可知，物体的加速度a与合力F成正比，与质量m成反比．”哪一种说法是正确的？为什么？
答案　乙同学的说法正确，物体的加速度大小是由物体所受的合力的大小和物体的质量共同决定的，与速度变化量及所用的时间无关．
知识深化
1．对牛顿第二定律的理解
(1)a＝是加速度的决定式，该式揭示了加速度的大小取决于物体所受的合力大小及物体的质量，加速度的方向取决于物体所受的合力的方向．
(2)a＝是加速度的定义式，但加速度的大小与速度变化量及所用的时间无关．
(3)公式F＝ma，单位要统一：表达式中F、m、a三个物理量的单位都必须是国际单位．
(4)公式F＝ma中，若F是合力，加速度a为物体的实际加速度；若F是某一个分力，加速度a为该力产生的分加速度．
2．牛顿第二定律的四个性质
(1)因果性：力是产生加速度的原因，只要物体所受的合力不为0，物体就具有加速度．
(2)矢量性：F＝ma是一个矢量式．物体的加速度方向由它受的合力方向决定，且总与合力的方向相同．
(3)瞬时性：加速度与合力是瞬时对应关系，同时产生，同时变化，同时消失．
(4)独立性：作用在物体上的每一个力都产生加速度，物体的实际加速度是这些加速度的矢量和．
(多选)下列说法正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合力的方向一致
D．当合力停止作用时，加速度随之消失
答案　CD
解析　虽然F＝ma，但m与a无关，因a是由m和F共同决定的，即a∝，且a与F同时产生、同时消失、同时存在、同时改变；a与F的方向相同．综上所述，A、B错误，C、D正确．

合力、加速度、速度的关系
1．力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果．只要物体所受的合力不为零，就会产生加速度．加速度与合力方向是相同的，大小与合力成正比(物体质量一定时)．
2．力与速度无因果关系：合力方向与速度方向可以相同，可以相反，还可以有夹角．合力方向与速度方向相同时，物体做加速运动，相反时物体做减速运动．
二、牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力分析图，明确运动性质和运动过程．
(3)求出合力或加速度．
(4)根据牛顿第二定律列方程求解．
2．应用牛顿第二定律解题的方法
(1)矢量合成法：若物体只受两个力作用，应用平行四边形定则求这两个力的合力，物体所受合力的方向即加速度的方向．
(2)正交分解法：当物体受多个力作用时，常用正交分解法求物体所受的合力．
①建立直角坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0(或Fx＝0，Fy＝ma)．
②特殊情况下，若物体的受力都在两个互相垂直的方向上，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律列方程求解．
如图1所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，小球和车厢相对静止，小球的质量为1 kg，不计空气阻力．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图1
(1)求车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)求悬线对小球的拉力大小．
答案　(1)7.5 m/s2，方向水平向右　车厢可能水平向右做匀加速直线运动或水平向左做匀减速直线运动
(2)12.5 N
解析　解法一(矢量合成法)
(1)小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图甲所示，

小球所受合力为F合＝mgtan 37°.
由牛顿第二定律得小球的加速度大小为
a＝＝gtan 37°＝7.5 m/s2，方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由图甲可知，悬线对小球的拉力大小为FT＝＝12.5 N.
解法二(正交分解法)
(1)小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．对小球受力分析，建立直角坐标系如图乙所示，正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程得

x方向：FTx＝ma
y方向：FTy－mg＝0
即FTsin 37°＝ma
FTcos 37°－mg＝0
解得a＝g＝7.5 m/s2
加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球的加速度相同，车厢做水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由(1)中所列方程解得悬线对小球的拉力大小为
FT＝＝12.5 N.
如图2所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上．现用大小为40 N、与水平方向夹角为37°斜向上的力F拉物体，使物体沿水平面做匀加速直线运动(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：

图2
(1)若水平面光滑，物体加速度的大小．
(2)若物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，物体加速度的大小．
答案　(1)8 m/s2　(2)6 m/s2
解析　(1)水平面光滑时，物体的受力情况如图甲所示
由牛顿第二定律：Fcos 37°＝ma1
解得a1＝8 m/s2

(2)水平面不光滑时，物体的受力情况如图乙所示
Fcos 37°－Ff＝ma2
FN′＋Fsin 37°＝mg
Ff＝μFN′
联立解得a2＝6 m/s2.
一个质量为20 kg的物体，从固定斜面的顶端由静止匀加速滑下，物体与斜面间的动摩擦因数为0.2，斜面与水平面间的夹角为37°(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．
(1)求物体沿斜面下滑过程中的加速度；
(2)若给物体一个初速度，使之沿斜面上滑，求上滑的加速度．
答案　(1)4.4 m/s2，方向沿斜面向下
(2)7.6 m/s2，方向沿斜面向下
解析　(1)沿斜面下滑时，摩擦力沿斜面向上，对物体受力分析如图甲：

由牛顿第二定律得：
mgsin 37°－Ff＝ma1①
FN＝mgcos 37°②
Ff＝μFN③
联立①②③得
a1＝gsin 37°－μgcos 37°＝4.4 m/s2，方向沿斜面向下．
(2)物体沿斜面上滑时，摩擦力沿斜面向下，对物体受力分析如图乙：

由牛顿第二定律得：
mgsin 37°＋Ff′＝ma2④
Ff′＝μFN′⑤
FN′＝mgcos 37°⑥
联立④⑤⑥得
a2＝gsin 37°＋μgcos 37°＝7.6 m/s2，方向沿斜面向下．

1．(对牛顿第二定律的理解)(2019·长春外国语学校高一上期末)对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用的瞬间(　　)
A．物体立即获得速度
B．物体立即获得加速度
C．物体同时获得速度和加速度
D．由于物体未来得及运动，所以速度和加速度都为零
答案　B
解析　根据牛顿第二定律F＝ma可知，加速度与合力是瞬时对应的关系，合力变化，加速度同时随之变化，当力刚开始作用的瞬间，物体所受的合力立即增大，则立即获得了加速度，而物体由于具有惯性，速度还没有改变，B正确．
2．(对力的单位的理解)(多选)关于牛顿第二定律的表达式F＝kma，下列说法正确的是(　　)
A．在任何情况下表达式中k都等于1
B．表达式中k的数值由质量、加速度和力的大小决定
C．表达式中k的数值由质量、加速度和力的单位决定
D．物理中定义使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力为1 N
答案　CD
解析　在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，k的数值由质量、加速度和力的单位决定，只有质量m、加速度a和力F的单位都是国际单位时，即当质量用kg、加速度用m/s2、力用N作单位时，比例系数k才等于1，故A、B错误，C正确；由牛顿第二定律F＝ma，知m＝1 kg、a＝1 m/s2时，1 N＝1 kg·m/s2，即使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力的大小是1 N，故D正确．
3.(牛顿第二定律的应用)(2019·郑州市高一期末)如图3所示，一个质量为50 kg的沙发静止在水平地面上，甲、乙两人同时从背面和侧面分别用F1＝120 N、F2＝160 N的力推沙发，F1与F2相互垂直，且平行于地面．沙发与地面间的动摩擦因数μ＝0.3.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)

图3
A．沙发不会被推动
B．沙发将沿着F1的方向移动，加速度为0.6 m/s2
C．由于F1小于滑动摩擦力，沙发将沿着F2的方向移动，加速度为0.2 m/s2
D．沙发的加速度大小为1 m/s2
答案　D
解析　F1、F2两力的合力大小为F＝＝200 N，方向在水平面内与F1夹角的正弦值为sin θ＝＝0.8，即θ＝53°，而Ffmax＝μFN＝μmg＝0.3×50×10 N＝150 N，有F>Ffmax，则沙发要做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有F－Ffmax＝ma，可得a＝1 m/s2，方向沿水平面与F1成53°，故选D.
4．(牛顿第二定律的应用)如图4所示，一个物体从固定斜面的顶端由静止开始下滑，斜面倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2.求：

图4
(1)若斜面光滑，则物体下滑过程中加速度的大小；
(2)若斜面不光滑，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝，物体下滑过程中加速度的大小．
答案　(1)5 m/s2　(2)2.5 m/s2
解析　(1)若斜面光滑，物体只受重力和斜面的支持力，重力沿斜面向下的分力为物体受到的合力．
根据牛顿第二定律得：mgsin θ＝ma1
所以a1＝gsin θ＝10× m/s2＝5 m/s2；
(2)若斜面不光滑，物体受重力、支持力和摩擦力，重力沿斜面向下的分力和摩擦力的合力为物体受到的合力，根据牛顿第二定律得mgsin θ－Ff＝ma2
FN＝mgcos θ
Ff＝μFN
联立解得：a2＝gsin θ－μgcos θ＝2.5 m/s2.

考点一　对牛顿第二定律的理解
1．(多选)下列对牛顿第二定律的表达式F＝ma及其变形公式的理解，正确的是(　　)
A．由F＝ma可知，物体所受的合力与物体的质量成正比，与物体的加速度成正比
B．由m＝可知，物体的质量与其所受合力成正比，与其运动的加速度成反比
C．由a＝可知，物体的加速度与其所受合力成正比，与其质量成反比
D．由m＝可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合力求出
答案　CD
解析　a＝是加速度的决定式，a与F成正比，与m成反比，C正确；F＝ma说明力是产生加速度的原因，但不能说F与m成正比，与a成正比，A错误；m＝中m与F、a皆无关，但可以通过测量物体的加速度和它所受到的合力求出，B错误，D正确．
2．关于牛顿第二定律，以下说法正确的是(　　)
A．由牛顿第二定律可知，加速度大的物体所受的合力一定大
B．牛顿第二定律说明了质量大的物体的加速度一定小
C．由F＝ma可知，物体所受到的合力与物体的质量成正比
D．对同一物体而言，物体的加速度与物体所受到的合力成正比，而且在任何情况下，加速度的方向始终与物体所受的合力方向一致
答案　D
解析　加速度是由合力和质量共同决定的，故加速度大的物体所受的合力不一定大，质量大的物体的加速度不一定小，选项A、B错误；物体所受到的合力与物体的质量无关，选项C错误；由牛顿第二定律可知，同一物体的加速度与物体所受到的合力成正比，并且加速度的方向与合力方向一致，选项D正确．
3．一物块静止在粗糙的水平桌面上，从某时刻开始，物块受到一方向不变的水平拉力作用，假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以a表示物块的加速度大小，F表示水平拉力的大小，能正确描述F与a之间关系的图像是(　　)

答案　C
解析　当拉力大于最大静摩擦力时，物块才产生加速度，由牛顿第二定律有F－μmg＝ma，可知a与F成线性关系，C正确．
4.(2019·濮阳市高一上学期期末)为了节能，商场安装了智能电动扶梯，如图1所示．无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯水平踏板时，扶梯会先加速、再匀速运转．一顾客乘扶梯上楼，恰好经历了这两个过程．则下列说法正确的是(　　)

图1
A．在扶梯加速时，扶梯对顾客的摩擦力方向为水平向右
B．扶梯加速、匀速运转时，对顾客摩擦力方向都为水平向右
C．扶梯对顾客的弹力大小始终等于重力
D．顾客始终受到三个力的作用
答案　A
解析　在扶梯加速运转时，顾客受重力、支持力、向右的摩擦力以产生向右上方的加速度，当扶梯匀速运转时，顾客受到的合力为零，摩擦力为零，所以选项A正确．

考点二　牛顿第二定律的简单应用
5．(多选)力F1单独作用在物体A上时产生的加速度a1大小为5 m/s2，力F2单独作用在物体A上时产生的加速度a2大小为2 m/s2，那么，力F1和F2同时作用在物体A上时产生的加速度a的大小可能是(　　)
A．5 m/s2 B．2 m/s2 C．8 m/s2 D．6 m/s2
答案　AD
解析　设物体A的质量为m，则F1＝ma1，F2＝ma2，当F1和F2同时作用在物体A上时，合力的大小范围是|F1－F2|≤F≤F1＋F2，即|ma1－ma2|≤ma≤ma1＋ma2，加速度的大小范围为3 m/s2≤a≤7 m/s2，故选A、D.
6．如图2所示，有一辆载满西瓜的汽车在水平路面上匀速前进．突然发现意外情况，紧急刹车做匀减速直线运动，加速度大小为a，则中间一质量为m的西瓜A受到其他西瓜对它的作用力的大小是(重力加速度为g)(　　)

图2
A．m B．ma
C．m D．m(g＋a)
答案　C
解析　西瓜与汽车具有相同的加速度a，对西瓜A受力分析如图所示，F表示周围其他西瓜对A的作用力，则由牛顿第二定律得：＝ma，解得：F＝m，故C对，A、B、D错．

7．三个完全相同的物块1、2、3放在水平桌面上，它们与桌面间的动摩擦因数均相同．现用大小相同的外力F沿图3所示方向分别作用在1和2上，用F的外力沿水平方向作用在3上，使三者都做加速运动，分别用a1、a2、a3表示物块1、2、3的加速度，则(　　)

图3
A．a1＝a2＝a3 B．a1＝a2，a2>a3
C．a1>a2，a2<a3 D．a1>a2，a2>a3
答案　C
解析　对物块1，由牛顿第二定律得
Fcos 60°－Ff＝ma1，即－μ(mg－Fsin 60°)＝ma1
对物块2，由牛顿第二定律得
Fcos 60°－Ff′＝ma2，即－μ(mg＋Fsin 60°)＝ma2
对物块3，由牛顿第二定律得
F－Ff″＝ma3，即－μmg＝ma3
比较得a1>a3>a2，所以C正确．
8．水平面上有一质量为1 kg的木块，在水平向右、大小为5 N的力作用下，木块由静止开始运动．已知木块与水平面间的动摩擦因数为0.2，g取10 m/s2.求：
(1)木块运动的加速度大小；
(2)木块在前4 s内的位移大小．
答案　(1)3 m/s2　(2)24 m
解析　(1)根据牛顿第二定律得F－Ff＝ma
其中FN＝mg，Ff＝μFN
解得a＝3 m/s2；
(2)根据匀变速直线运动的位移公式得
x＝at2＝×3×42 m＝24 m.

9.如图4所示，小鸟沿虚线斜向上加速飞行，空气对其作用力可能是(　　)

图4
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
答案　B
解析　小鸟沿虚线斜向上加速飞行，说明合外力沿虚线斜向上，小鸟受两个力的作用，即空气的作用力和重力，如图所示，选项B正确．

10．在静止的车厢内，用细绳a和b系住一个小球，绳a斜向上拉，绳b水平向左拉，如图5所示，现让小车由静止开始向右做匀加速运动，小球相对于车厢的位置不变，与小车静止时相比，绳a、b的拉力Fa、Fb的变化情况是(　　)

图5
A．Fa变大，Fb不变
B．Fa变大，Fb变小
C．Fa不变，Fb变小
D．Fa不变，Fb变大
答案　C
解析　对小球受力分析，如图所示，根据牛顿第二定律得，

水平方向：Fasin α－Fb＝ma①
竖直方向：Facos α－mg＝0②
由题知α不变，由②分析知Fa不变，由①知Fb＝Fasin α－ma<Fasin α，即Fb变小．
11.如图6所示，当小车向右加速运动时，物块M相对车厢静止于竖直车厢壁上，物块N相对车厢静止在地板上，当车的加速度增大时，M、N仍相对车厢静止，则(　　)

图6
A．M受到的静摩擦力增大
B．M对车厢壁的压力不变
C．N受到的静摩擦力增大
D．当加速度继续增大，物块M、物块N将要相对车厢滑动
答案　C
解析　对M受力分析如图甲所示，由于M相对车厢静止，则Ff＝Mg，FN＝Ma，当a增大时，FN增大，Ff不变，故A、B错误；对N受力分析如图乙，Ff′＝ma，当a增大，Ff′增大，达到最大静摩擦力时物块N将要滑动，故C正确；对物块M受力分析，当加速度继续增大时，FN增大，Mg＝Ff，M仍相对车厢静止，故D错误．

12.如图7所示，质量为m的木块以一定的初速度沿倾角为θ的斜面向上滑动，斜面静止不动且足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.

图7
(1)求向上滑动时木块的加速度的大小和方向；
(2)若此木块滑到最大高度后，能沿斜面下滑，求下滑时木块的加速度的大小和方向．
答案　(1)g(sin θ＋μcos θ)　方向沿斜面向下
(2)g(sin θ－μcos θ)　方向沿斜面向下
解析　(1)以木块为研究对像，木块上滑时对其受力分析，如图甲所示，
根据牛顿第二定律有
mgsin θ＋Ff＝ma，FN＝mgcos θ
又Ff＝μFN
联立解得a＝g(sin θ＋μcos θ)，方向沿斜面向下．

(2)木块下滑时对其受力分析如图乙所示，
根据牛顿第二定律有
mgsin θ－Ff′＝ma′，FN′＝mgcos θ
又Ff′＝μFN′
联立解得a′＝g(sin θ－μcos θ)，方向沿斜面向下．
13.(2019·天津滨海新区高一上学期期末改编)如图8所示，质量为m＝20 kg的物体与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，现用大小为500 N、与水平方向成α＝37°角的恒力F推物体，使物体在水平方向上由静止开始做匀加速直线运动．g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.

图8
(1)求物体运动的加速度的大小；
(2)若物体运动2.4 m后撤去力F，则物体还能运动多长时间？
答案　(1)7.5 m/s2　(2)1.2 s
解析　(1)物体受重力、支持力、摩擦力和恒力F，受力分析如图所示：

水平方向由牛顿第二定律得：Fcos 37°－Ff＝ma
竖直方向由平衡条件得：FN＝mg＋Fsin 37°
又Ff＝μFN
联立解得a＝7.5 m/s2.
(2)设撤去F时物体的速度为v，
由v2＝2ax可知v＝6 m/s
撤去F后，根据牛顿第二定律有：μmg＝ma′
a′＝5 m/s2
还能运动的时间：t＝＝1.2 s.

14．在风洞实验室里，一根足够长的均匀细直杆与水平面成θ＝37°角固定，质量为m＝1 kg的小球穿在细杆上静止于细杆底端O，如图7甲所示．开启送风装置，有水平向右的恒定风力F作用于小球上，在t1＝2 s时刻风停止．小球沿细杆运动的部分v－t图像如图乙所示，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略浮力．求：

图7
(1)小球在0～2 s时间内的加速度a1和2～5 s时间内的加速度a2；
(2)小球与细杆间的动摩擦因数μ和水平风力F的大小．
答案　(1)15 m/s2，方向沿杆向上　10 m/s2，方向沿杆向下　(2)0.5　50 N
解析　(1)取沿杆向上为正方向，由题图乙可知：
在0～2 s时间内，加速度a1＝＝15 m/s2，方向沿杆向上；
在2～5 s时间内，加速度a2＝＝－10 m/s2，负号表示方向沿杆向下．

(2)在有风力时小球的上升过程中，对小球受力分析如图所示．
由牛顿第二定律有
Fcos θ－μ(mgcos θ＋Fsin θ)－mgsin θ＝ma1①
在风停后，小球的上升阶段，对小球受力分析有
－μmgcos θ－mgsin θ＝ma2②
由②解得μ＝0.5
代入①得F＝50 N.