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集合、常用逻辑用语

[考情分析]
1．本部分作为高考必考内容，仍会以选择题的形式在前几题的位置考查，难度较低；2.命题的热点依然会考查集合的运算，集合的基本关系的相关命题要注意；3.常用逻辑用语考查的频率不多，且命题点分散，其中充要条件的判断及含有量词的命题的否定交汇综合命题.
年份
卷别
考查角度及命题位置
2017
Ⅰ卷
集合的交集运算·T1
Ⅱ卷
集合的并集运算·T1
Ⅲ卷
求集合交集中元素个数·T1
2016
Ⅰ卷
集合的交集运算·T1
Ⅱ卷
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
Ⅲ卷
集合的补集运算·T1
2015
Ⅰ卷
集合的概念、表示方法及交集运算·T1
Ⅱ卷
集合的概念及并集运算·T1

[真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析：因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝{x|x<}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故选A.
答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：A，B两集合中有两个公共元素2,4，故选B.
答案：B
3．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝(　　)
A．{1,3} B．{3,5}
C．{5,7} D．{1,7}
解析：因为集合A与集合B的公共元素有3,5，由题意A∩B＝{3,5}，故选B.
答案：B
4．(2016·高考全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝(　　)
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
解析：∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁AB＝{0,2,6,10}．
答案：C
5．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝(　　)
A．(－1,3) B．(－1,0)
C．(0,2) D．(2,3)
解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)．

答案：A

[方法结论]
1．子集个数：含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为(2n－1)(除集合本身)．
2．给出集合之间的关系，求解参数，要善于运用集合的性质进行灵活转化：如A∪B＝A⇔B⊆A和A∩B＝A⇔A⊆B.
3．高考中通常结合简单的绝对值不等式、一元一次不等式和分式不等式等考查，常用数形结合——数轴法．其步骤是：(1)化简集合；(2)将集合在数轴上表示出 ；(3)进行集合运算求范围．
[题组突破]
1．(2017·洛阳模拟)设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则(　　)
A．P⊆Q　　　　　　 B．Q⊆P
C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP
解析：依题意得Q＝{x|－1<x<1}，因此Q⊆P，选B.
答案：B
2．(2017·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}．若A∩B≠∅，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B.
答案：B
3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝(　　)
A．{1,2,3,4}　　　　 B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
解析：依题意得A∪B＝{1,2,3,4}，选A.
答案：A
4．(2017·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝(　　)
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
解析：A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2<x<5}，∴A－B＝{0,1,2,5}．选D.
答案：D
[误区警示]
求解集合问题时易忽视的三个问题
1．集合中元素的形式，元素是数还是有序数对，是函数的定义域还是函数的值域等；
2．进行集合的基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要搞清端点值的取舍，不能遗漏；
3．求解集合的补集运算时，要先求出条件中的集合，然后求其补集，不要直接转化条件而导致出错．
命题及复合命题真假的判断
[方法结论]
判断含有逻辑联结词命题的真假的方法
方法一(直接法)：①确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；②判断每个简单命题的真假；③根据真值表判断原命题的真假．
方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．
[题组突破]
1．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是(　　)
A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数 B．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数
C．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数 D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数
解析：因为“都是”的否定是“不都是”，所以“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”．故选B.
答案：B
2．(2017·湖北百所重点学校联考)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4x<log8x，命题q：∃x∈R，使得tan x＝1－3x，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
解析：对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，故选D.
答案：D
[误区警示]
已知p∨q为真，p∧q为假．判断p，q真假时要注意分类思想应用，它有两种可能：p真q假，p假q真．

全称命题与特称命题
[方法结论]
1．全称命题和特称命题的否定归纳
∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．
2．“或”“且”联结词的否定形式
“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．
[题组突破]
1．(2017·沈阳模拟)命题p：“∀x∈N ，()x≤”的否定为(　　)
A．∀x∈N ，()x> B．∀x∉N ，()x>
C．∃x∉N ，()x> D．∃x∈N ，()x>
解析：命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“()x≤”改为“()x>”即可，故选D.
答案：D
2．若命题“∃x∈R，使得sin xcos x>m”是真命题，则m的值可以是(　　)
A．－ B．1
C. D.
解析：∵sin xcos x＝sin 2x∈，∴m<.故选A.
答案：A
[误区警示]
全称命题与特称命题的否定时易犯的错误是一些词语否定不当，注意以下常见的一些词语及否定形式：
词语
是
都是
都不是
等于
大于
小于等于
否定
不是
不都是
至少一个是
不等于
小于等于
大于

充要条件的判断
充分必要条件的判断：考生多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．
[典例]　(1)(2017·惠州模拟)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.
答案：C
(2)(2017·贵阳模拟)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1,3)，则“x＝2”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，
“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
答案：A
(3)(2017·洛阳模拟)已知x1，x2∈R，则“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由x1>1且x2>1可得x1＋x2>2且x1x2>1，即“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分条件；反过 ，由x1＋x2>2且x1x2>1不能推出x1>1且x2>1，如取x1＝4，x2＝，此时x1＋x2>2且x1x2>1，
但x2＝<1，因此“x1>1且x2>1”不是“x1＋x2>2且x1x2>1”的必要条件．故“x1>1且x2>1”是“x1＋x2>2且x1x2>1”的充分不必要条件，选A.
答案：A
[类题通法]
1．充分必要条件的判断常用到等价转化思想，常见的有：(1)綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；(2)綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；(3)綈q是綈p的充分必要条件⇔p是q的充分必要条件；(4)綈q是綈p的既不充分条件也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件．
2．对于与函数性质、平面向量的加减法运算等交汇考查充分必要条件的判断问题，多用到数形结合思想．
3．在判断充分必要条件时，由p⇒q或q⇒p也可取特殊值(特殊点，特殊函数)等，快速作出判断．
4．判断充分必要条件题常利用“以小推大”，即小范围推得大范围，便可轻松获解．
[演练冲关]
1．若p是綈q的充分不必要条件，则綈p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵p是綈q的充分不必要条件，∴綈q是p的必要不充分条件．而“若綈p，则q”是“若綈q，则p”的逆否命题，∴綈p是q的必要不充分条件，故选B.
答案：B
2．(2016·高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．
答案：D
3．(2016·高考浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵f(x)＝x2＋bx＝2－，当x＝－时，f(x)min＝－，又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝2－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．选A.
答案：A
4．(2017·永州模拟)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的 (　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若m＝0，则圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心(1,1)到直线x＋y＝0的距离为，等于半径，此时直线与圆相切，即“m＝0”⇒“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”；若直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，则圆心到直线的距离为＝，解得m＝0或m＝4，即“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”⇒/ “m＝0”．所以“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．故选B.
答案：B
5．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sin C＝(cos A＋sin A)cos B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)．
解析：由角A，B，C成等差数列，得B＝.由sin C＝(cos A＋sin A)cos B，得sin(A＋B)＝(cos A＋sin A)cos B，化简得cos Asin(B－)＝0，所以A＝或B＝，所以在△ABC中，“角A，B，C成等差数列”⇒“sin C＝(cos A＋sin A)cos B”，但“sin C＝(cos A＋sin A)cos B”⇒/ “角A，B，C成等差数列”，
所以“角A，B，C成等差数列”是“sin C＝(cos A＋sin A)cos B”的充分不必要条件．
答案：充分不必要