不等式易错点.doc

易错07 不等式
易错导图

易错详讲

易错点1 分式不等式
【例1】（1）（2020·江苏）不等式的解集为 。
（2）（2020·福建省永泰县城关中学）不等式的解集为 。
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）分式不等式等价于或，即或或，
故解集为或.
（2）可得，从而，解得，
【易错总结】
解分式不等式的步骤：
（1）移项，把分式不等式一边化为0；
（2）通分，化不等式为或形式，转化时应使得中最高次项系数为正，
（3）转化，化为或，
（4）得解．

【举一反三】
1．（2020·利辛县阚疃金石中学）不等式的解集为______________.
【答案】或
【解析】不等式移项通分可得：，即，所以，解得或，故答案为：或.
2．不等式的解集为________．
【答案】或
【解析】原不等式移项得，通分整理得，
等价于，解得或.
故答案为：或
3．（2020·北京市昌平区前锋学校）不等式的解集为________
【答案】
【解析】原不等式等价于，即，即
因此，原不等式的解集为．故答案为：
易错点2 穿根引线
【例2】（2020·吴起高级中学）不等式的解集为______________.
【答案】
【解析】不等式等价于，
解得.故答案为：.
【易错总结】
利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.

【举一反三】
1．（2020·上海普陀·曹杨二中）不等式的解集为________
【答案】
【解析】如下图所示：

根据图象可知：当或或时，，
所以不等式的解集为：，故答案为：.
2.（2020·云南省保山第九中学）不等式的解集为（ ）
A．，或 B．，或
C．，或 D．，或
【答案】A原不等式可转化为，
结合数轴标根法可得，或．
即不等式的解集为，或．故选：A．

3．（2020·江苏省响水中学）不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】等价于，根据穿根法可得或.故选：B.
易错点3 基本不等式取“=”
【例3】已知a，b>0且a+b=1，给出下列不等式：
①ab≤；②；③；④.
其中正确的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【解析】∵a，b∈R＋，a＋b＝1，
∴ab ≤2＝，当且仅当时，等号成立，故①正确；
令y=ab＋，设由①可知 ，则在上单调递减，故当时，y有最小值，故②正确；(＋)2＝a＋b＋2≤a＋b＋a＋b＝2，∴＋≤，故③正确；
，
当且仅当 时，等号成立，故④不正确.故选：C
【易错总结】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【举一反三】
1．（2020·平遥县综合职业技术学校）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得最小值
B．当时，取得最大值
C．当，时，取得最小值
D．当，时，取得最大值
【答案】C
【解析】，，且，
，，，
，
当且仅当即，时，等号成立，
所以当，时，取得最小值，最小值为.
故选：C.
2．已知()，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，
当即时，，
当且仅当即时，等号成立；
当即时，，
当且仅当即时，等号成立；
∴的取值范围为.
故选：D.
易错点4 分类讨论
【例4】（2020·北京八中月考）解关于的不等式(为任意实数)：
【答案】答案见解析
【解析】当时，原不等式化为，解得；
当时，原不等式可化为，即，.
当时，，则原不等式的解集为
当时，，
当，即时，有，则原不等式的解集为；
当，即时，则原不等式的解集为或
当，即时，则原不等式的解集为.或
【易错总结】
解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论．分类讨论有三个层次：
第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，第三层次就是比较两根的大小

【举一反三】
1．（2020·云南昆明二十三中）解关于x不等式.
【答案】答案见解析
【解析】不等式化为，即
当时，不等式为，解得，
当时，，解得不等式为或，
当时，若，即时，解得不等式为，
若，即时，不等式无解，
若，即时，解得不等式为，
综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.
2．解不等式：.
【答案】答案见解析.
【解析】①当时，不等式为，解集为，
②当时，，
恒有两个实根，，
当时，，
解集为或；
当时，，
解集为，
综上所述：时，解集为；
时，解集为或；
时，解集为.
3．（2020·安徽省亳州市第一中学）解关于的不等式：.
【答案】当时，解集为，当时，解集为：，当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为：,
当时，不等式的解集为:.
【解析】①当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为，
②当时，原不等式可化为：，
不等式的解集为：；
③当时，原不等式可化为：,
当时，不等式的解集为：,
当时，不等式的解集为：,
当时，不等式的解集为:.
易错点5 恒成立和存在问题
【例5】（1）设函数，对任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2020·吉林汽车区第三中学）若“，”，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．

【答案】（1）D（2）C
【解析】（1）∵对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立，
∵，∴，∴实数的取值范围是.故选：D.
（2）因为，，所以，
解得或.故选：C.

【易错总结】
一．不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
二．恒成立问题的一般解答方法如下：
（1）参数分离法：将原不等式化为或恒成立的问题，然后分析函数在所给区间的单调性及最值，只需满足最值成立即可；
（2）分类讨论：讨论函数在所给区间的单调性及最值，只需满足或即可.

【举一反三】
1．（2020·辽源市第五中学校）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式对于一切恒成立，
所以对一切恒成立，
所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，所以的最小值为，
故选：C.
2．（2020·浙江）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
时，不等式可化为；
当时，不等式为，满足题意；
当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，
所以，即；
当时，恒成立；
综上所述，实数的取值范围是
答案选A
3．（2020·江苏省邗江中学）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】“”为假命题，等价于“”为真命题,
所以
所以，则实数的取值范围为.
故选：B.
4．（2020·江苏周市高级中学）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立，
所以，，
又因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，
故选：B.
避错强化

1．（2020·湖南）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，一元二次不等式在上恒成立，
所以，解得.故选：D.
2．（2020·云南昆明一中）不等式的解集为（ ）
A．(-∞，1)∪[2，+∞) B．(-∞，0]∪(1，+∞) C．(1，2] D．[2，+∞)
【答案】C
【解析】不等式等价于且，解得，
不等式的解集为，．故选：．
3．（2020·江苏省响水中学）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，
所以对任意恒成立，
若，即时，则不等式可化为，解得，不满足题意；
若，即时，只需，解得.
故选：B.
4．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；
当时，因为的解集为，
所以只需且，解得.
综上，实数a的取值范围为.故选：D.
5．（2020·浙江温州）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于的不等式在区间上有解，
所以在上有解，
易知在上是减函数，所以时，，
所以．
故选：C
6．（2020·山西）若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可得，
设，
若，则，
不等式在内有解，
则只需，即，解得.故选：C
7．（2020·北京人大附中高三月考）已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程在区间上有解，
当时，方程无解；
当时，则有，令，
，即在时为减函数，
由于，所以，当时，，所以，只要，方程在区间上有解故选：A
8．（2020·湖北高三月考）若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，
因为对称轴为，所以，所以，故选：C
9．（2020·福建厦门一中）（多选）使得成 立的充分非必要条件有（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】ABC
【解析】由可得，如下图所示：

所以，不等式的解集为或，
A、B、C选项中的集合均为集合或的真子集，
因此，使得成 立的充分非必要条件有A、B、C选项.
故选：ABC.
10．（2020·江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【解析】因为命题，且函数开口向上，
所以当命题为真命题时，，
故命题的等价条件为，
故命题p成立的一个充分不必要条件可以是的真子集，
故ABCD均满足，
故选：ABCD.
11．（2020·湖南）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．当x>0时，+≥2
B．当x>3时，x+的最小值是2
C．当x<时，2x1+的最小值是4
D．设x>0，y>0，且2x+y=1，则的最小值是9
【答案】AD
【解析】对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；
对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；
对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于选项D，因为，，则，当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：AD.
12（2020·福建福州）（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．都有 D．，使得
【答案】BC
【解析】因为，所以，解得：，故A不正确；
又，故B正确；
，所以，故C正确；
联立，得，所以是方程的两根，又此方程无解，故不存在使得，故D不正确.故选：BC
13．（2020·江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】时，，A错；
，，当且仅当，即时等号成立，B正确；
同理，但时，等号才能成立，而无解．故2取不到，C错；
，则，，当且仅当，即时等号成立，D正确．
故选：BD．
14．（2020·江苏常熟中学）不等式的解集为______.
【答案】
【解析】不等式化为，，，
解得或．
故答案为：．
15．（2020·江苏省响水中学高一期中）设集合 ，若 ，则实数 的取值围为_________.
【答案】
【解析】因为，且，
所以 ，即
当时，恒成立，，所以.
故答案为:
16．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵在上为减函数，且不等式对任意恒成立，则只需，即.
故答案为：.
17．（2020·江苏镇江）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】∵命题“， ”是假命题，
∴，是真命题，
即使不等式有解；
所以，解得：或.
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
18．（2020·浙江杭州·高三期中）已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为，，，则，所以，
所以

当且仅当，即（不在范围内，舍去）时，等号成立.
故答案为：.
19．（2020·江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式.
（1）；（2）.
【答案】（1）{或}；（2）.
【解析】（1）不等式可化为，
解得或，
所以该不等式的解集为或；
（2）∵，∴，
即，所以且
解得：或，
故不等式的解集是.
20．（2020·上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得： ，
解得：或，
故解集为：
（2）由化简为：，
即，等价于，
解得，故解集为.
218．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理））解下列不等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）方程的根为：，利用数轴穿根法可得：

所以不等式的解集为；
（2）且，
解得.
22．（2020·湖北武汉）解关于x的不等式(ax－1)(x＋1)>0.
【答案】答案不唯一，具体见解析.
【解析】若a＝0，则原不等式为一元一次不等式，解得，故解集为(－∞，－1).
当a≠0时，方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1.
当a>0时，，所以解集为(－∞，－1)∪；
当－1<a<0，即<－1时，所以解集为；
当a<－1，即0>>－1时，所以解集为；
当a＝－1时，不等式化为，所以解集为.
23（2020·辽宁沈阳二中）解关于的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知，可化为
（1）当时，不等式化为，解得，
（2）当时，不等式化为，解得，
（3）当时，不等式化为，解得或，
（4）当时，不等式化为，解得，
（5）当时，不等式化为，解得或，
综上所述，时，不等式的解集为
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为.