资源描述
第十二讲 幂函数
教材要点
学科素养
学考
高考
考法指津
高考考向
1.幂函数的概念
数学抽象
水平1
水平1
1.了解幂函数的定义，能区别幂函数与指数函数。
2.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小比较。
3.通过作出一些简单幂函数的图像，能根据图像描述出这些简单幂函数的基本性质。
【考查内容】幂函数的图像与性质、指数幂的大小比较。
【考查题型】选择题、填空题、解答题
【分值情况】选择、填空题5分，解答题4分
2.幂函数的图像与性质
直观想象
水平1
水平2
3.幂指数对图像的影响
数学运算
水平1
水平1
4.幂函数的凸凹性
数学运算
水平1
水平1
知识通关
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点2 幂函数的图象和性质
(1)五个幂函数的图象：
(2)幂函数的性质：
幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞)，增
x∈(－∞，0]，减
增
增
x∈(0，＋∞)，减
x∈(－∞，0)，减
公共点
都经过点(1,1)
题型一 幂函数的概念
规律方法 判断函数为幂函数的方法
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为
幂函数，则该函数也必具有这一形式．
例1、(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，
y＝3x中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，
则m＝________.
解析：
(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B．
(2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案 (1)B (2)5或－1
【变式训练1】
（1）幂函数的图像过点，则
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
（2）设，则使函数的定义域为R且函数为奇函数的所有的值为（ ）
A . B. C. 1,3 D.
解析：
（1）设幂函数，
由函数的图像过点，可得，
∴，
则幂函数，
∴，故选C
（2） 是常见的5个幂函数，显然当为奇函数时，
的值为，又函数的定义域为R，
∴，
故的值为1,3。故选C。
答案 （1）C （2）C
题型二 幂函数的图象及应用
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：
①幂函数图像在定义域(0,1)上的部分，指数越大，幂函数图象越靠近x轴 (简记为指大图低)；
②幂函数图像在定义域(1，＋∞)上的部分，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，
即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断．（当时，在第一象限内为双曲线型；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向右；当时，在第一象限内为抛物线型，且开口向上）
规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
例2、(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
(2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
解析：
（1）根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．
（2）设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵()α＝2，
(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：
①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
②当x＝1时，f(x)＝g(x)；
③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
答案 B
【变式训练2】
如图是函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
解析：
由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x∈(1，＋∞)时，的图象在y＝x的图象下方，故<1.
答案 C
题型三 利用幂函数的性质比较大小
规律方法 比较幂值大小的三种基本方法
例3、比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与
解析：
(1)因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又，所以.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又，所以.
【探究1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？
解析：
因为，
而y＝x0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，
又，所以.即.
【探究2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为，则二者的大小关系如何？
解析：
因为在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<，所以，又因为函数在(0，＋∞)上为增函数，且，所以， 所以.
【变式训练3】 比较下列各组数的大小：
(1)；(2)；
(3).
解析：
(1)∵幂函数在上为减函数，
又
∴
(2)∵在上为增函数， ，
∴，
∴
(3)∵，，
，
∴
思维拓展
考向一 幂函数的凸凹性
（1）上凸函数、下凸函数的定义
设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是上凸的函数，即上凸函数。
设函数在上有定义，若对于中任意不同两点，都成立，则称在上是下凸的函数，即下凸函数。
（2）幂函数的凸性
①幂函数，在时，函数是下凸函数；
②幂函数，在时，函数是上凸函数；
③幂函数，在时，函数在第一象限是下凸函数。
例4、如果一个函数在其定义域内对任意都满足，那么则称这个函数为下凸函数。下列函数：
①；②；③；④
其中是下凸函数的有（ ）。
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
解析：
本题既可用定义来判断，也可用函数图像直接求解，得①④满足题意。
答案 D
【变式训练4】
在这三个函数中，当时，使恒成立的函数有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
解析：
当时，恒成立，
∴在区间上的函数图像是“上凸”的，
∵在区间上的函数图像是“下凸”的，
而在区间上的函数图像是“上凸”的。
因此，只有函数符合题意。
答案 C
考向二 常见函数图像与性质
方向一 对勾函数与双刀函数图像与性质
规律方法
(1)、①对勾函数的图像与性质：
1.定义域：；
2.值域：；
3.奇偶性：奇函数；
4.单调性：增区间为；
减区间为；
5.渐近线方程：
②对勾函数的图像与性质：（与①图像关于轴对称）
1.定义域：；
2.值域：；
3.奇偶性：奇函数；
4.单调性：增区间为；
5.渐近线方程：
（2）①双刀函数的图像与性质：
1.定义域：；
2.值域：R；
3.奇偶性：奇函数；
4.单调性：增区间为，
无减区间；
5.渐近线方程：
②双刀函数的图像与性质：（与①关于轴对称）
1.定义域：；
2.值域：R；
3.奇偶性：奇函数；
4.单调性：减区间为，
无增区间；
5.渐近线方程：
方向二 符号函数图像与性质
规律方法
1.定义域：R；
2.值域：；
3.奇偶性：奇函数；
4.对称性：中心对称点
方向三 反比例型函数图像与性质
规律方法
①若，则函数图像由一、三象限的双曲线平移过去：
1.定义域：；
2.值域：；
3.单调性：减区间为，
无增区间；
4.对称性：中心对称点;
5.渐近线方程：
②若，则函数图像由二、四象限的双曲线平移过去：
1.定义域：；
2.值域：；
3.单调性：增区间为，
无减区间；
4.对称性：中心对称点；
5.渐近线方程：
方向四 向下取整函数（表示不大于的最大整数）图像与性质：
规律方法
其图像如图所示：
1.定义域：R；
2.值域：Z；
3.奇偶性：奇函数；
4.对称性：中心对称点；
5.周期性：类周期长度为1
点评：以上几种函数是高一新同学在在学必修一的函数章节时较常遇到的一些函数，由于在课本中不经常出现，很多同学感觉比较陌生，学起来比较吃力，所以同学们必须要经常结合一些经典例题勤加练习。
综合训练
A组 基础演练
1．下列函数是幂函数的是( )．
①y＝x3 ②y＝x0 ③y＝－2x2 ④y＝3x ⑤y＝x－2＋1
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
解析：根据幂函数的形式特征可知，只有①②是幂函数，
③中幂的系数不为1，
④中幂的底数不是自变量x，指数不是常数，
⑤中含有常数项，故都不是幂函数．
答案 A
2．若幂函数f(x)＝xm－1在(0，＋∞)上是减函数，则( )．
A．m＞1 B．不能确定
C．m＝1 D．m＜1
解析：m－1＜0m＜1，故选D.
答案 D
3．函数f(x)＝的奇偶性为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)＝的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且f(－x)＝，
所以此函数为奇函数．
答案 A
4．如图，表示具有奇偶性的函数图像可能是( )．
解析：根据奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称可知，选项B中的函数为偶函数．
选项C中的点(0,1)关于原点的对称点(0，－1)不在图像上，
所以选项C中的函数不是奇函数．
答案 B
5．f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)是增函数，则f(－π)，f(3)，f(－5)的大小关系是( )．
A．f(3)＜f(－π)＜f(－5) B．f(－π)＜f(－5)＜f(3)
C．f(3)＜f(－5)＜f(－π) D．f(－5)＜f(－π)＜f(3)
解析：∵f(－π)＝f(π)，f(－5)＝f(5)，且当x≥0时，f(x)是增函数，
∴f(3)＜f(－π)＜f(－5)．
答案 A
6.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．n<m<0 B．m<n<0
C．n>m>0 D．m>n>0
解析： 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
答案 A
7．下列幂函数中，定义域为R且为偶函数的个数为( )
①y＝x－2；②y＝x；③y＝x；④y＝x.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析： 易知②③中的函数是奇函数，①中函数是偶函数，
但其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
④中函数符合条件．故选A.
答案 A
8．下列说法中，不正确的是( )．
A．图像关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图像一定经过原点
C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点个数一定是偶数
D．图像关于y轴对称的函数一定是偶函数
解析：由奇函数和偶函数的定义可知，选项A，D正确；
奇函数的图像不一定经过原点，如y＝x－1；
由偶函数的对称性可知，选项C正确．
答案 B
二、填空题
9．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)．
①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数．
解析：由y＝(m－1)xm2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，
则该函数为y＝x2，
故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
答案 ②
10．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x
1
f(x)
1
则不等式f(|x|)≤2的解集是________．
解析：由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，
∴|x|≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.
答案 {x|－4≤x≤4}
11．已知偶函数f(x)满足f(x＋2)＝xf(x)(x∈R)，则f(1)＝________.
解析：∵函数f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．
令x＝－1，由f(x＋2)＝xf(x)得
f[(－1)＋2]＝(－1)×f(－1)，
即f(1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
答案 0
三、解答题
12．点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．
解析：设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，
∴α＝2，β＝－1.
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；
当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
答案 见解析
13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的单调递增区间．
解析：(1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，
∴当x＞0时，－x＜0，
即f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，
∴f(x)＝
(2)图像如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
答案 见解析
14．已知函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)．
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)是奇函数；
(3)若F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，已知F(－5)＝7，求F(5)．
解析：(1)∵函数f(x)对一切a，b都有f(ab)＝bf(a)＋af(b)，
∴令a＝b＝0得f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)，
即f(0)＝0.
(2)证明：令a＝b＝1得，f(1×1)＝1×f(1)＋1×f(1)，即f(1)＝0.
令a＝b＝－1得，f[(－1)×(－1)]＝(－1)×f(－1)＋(－1)×f(－1)，即f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x得，f[(－1)×x]＝xf(－1)＋(－1)f(x)，
即f(－x)＝xf(－1)－f(x)，
∵f(－1)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x)是奇函数，
∴f(－5)＝－f(5)．
∵F(x)＝af(x)＋bx5＋cx3＋2x2＋dx＋3，且F(－5)＝7，
∴af(－5)＋b×(－5)5＋c×(－5)3＋2×(－5)2＋d×(－5)＋3＝7，
即af(5)＋b×55＋c×53＋d×5＝46.
∴F(5)＝af(5)＋b×55＋c×53＋2×52＋d×5＋3＝46＋50＋3＝99.
答案 见解析
B组 提升突破
一、选择题
1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为( )．
A． B． C． D．
解析：∵函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a＋1,2a]上的偶函数，
∴a＋1＋2a＝0，解得.
此时f(x)＝＋bx＋1的对称轴，即b＝0，
∴a＋b＝.
答案 A
2．设a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．b<c<a D．b<a<c
解析： 构造幂函数y＝x (x∈R)，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；
构造指数函数，由该函数在定义域内单调递减，
所以a<c，故c>a>b.
答案 D
3．定义在R的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0，
则n∈N＋时，有( )．
A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)
B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)
C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)
D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)
解析：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－n)＝f(n)．
∵f(x)对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，
有(x2－x1)·[f(x2)－f(x1)]＞0，即或，
∴函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．
∵0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n－1)＞f(n)＞f(n＋1)，
即f(n－1)＞f(－n)＞f(n＋1)．
答案 C
4．已知f(x)＝则f(x)为( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
当x＞0时，有f(x)＝x2－x＋1，－x＜0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)－1＝－x2＋x－1＝－(x2－x＋1)＝－f(x)；
当x＜0时，有f(x)＝－x2－x－1，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－(－x)＋1
＝x2＋x＋1＝－(－x2－x－1)
＝－f(x)．
综上可得，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，总有f(－x)＝－f(x)成立，
∴函数f(x)是奇函数
答案 A
5．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
解析：设幂函数，图象过点，
故，
故，，令，
则，，
∴时，.
答案 C
6．已知，且，若，则函数的图像为（ ）.
A． B．
C． D．
解析：由题意得：，
令，则，解得或（舍去），
所以，即，
所以的图像即为的图像．
答案 A
7．对于幂函数，若，则，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
解析：幂函数在上是增函数，大致图象如图所示.
设，，其中，
则AC的中点E的坐标为，且，，.，
.
答案 A
8．已知点在幂函数的图象上，设，
则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解析：由已知得，解得：，所以，
因为，，，
又，
所以，
由在上递增，可得：，
所以.
答案 D
9．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，
则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
解析：当时， ， 单调递减，
且，单调递增，
且 ，此时有且仅有一个交点；
当时， ，在 上单调递增，
所以要有且仅有一个交点，需.
答案 B
二、填空题
10．定义在R上的奇函数f(x)在区间[1,4]上是增函数，在区间[2,3]上的最小值为－1，最大值为8，
则2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝__________.
解析：∵奇函数f(x)的定义域为R，∴f(0)＝0，
又∵f(x)在区间[1,4]上是增函数，
∴f(2)＝－1，f(3)＝8，f(－3)＝－f(3)＝－8.
∴2f(2)＋f(－3)＋f(0)＝－10.
答案 －10
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，又知当0＜x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)的值为________．
解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)
＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)
＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)
＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)．
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0.5)＝－f(0.5)．
而当0＜x≤1时，f(x)＝x，
∴f(7.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
答案 －0.5
12．定义函数，，则的最小值为________.
解析：在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如下图所示
由，解得或，则函数的图象，如下图所示
∴在与处均取得最小值1，即.
答案 1.
13．已知幂函数（其中，）满足：①在区间上为减函数；②对任意的，都有.则在的值域为__________.
解析：，，，0，1
.对任意，都有，即，
∴是偶函数.当时，，满足条件①②；
当时，，不满足条件①；
当时，，条件①②都不满足，
故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，
当时，函数的值域为。
答案 ，值域为
三、解答题
14．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数；
(3)解不等式f(m－1)＋f(m)＜0.
解析：(1)∵f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(x)在x＝0处有意义，且f(0)＝0.
∴，即b＝0.
又∵，∴，
∴a＝1.故f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2＜1.
∴f(x1)－f(x2)＝＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
由单调函数的定义可知，函数f(x)在(－1,1)上是单调增函数．
(3)由f(m－1)＋f(m)＜0得，f(m－1)＜－f(m)．
∵函数f(x)是奇函数，∴f(－m)＝－f(m)，
∴f(m－1)＜f(－m)．
∵f(x)是(－1,1)上的单调增函数，
∴
解得0＜m＜.
答案 见解析
15．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，
求满足的实数的取值范围．
解析：因为函数在上单调递减，
所以，解得．又，所以，2．
又函数的图象关于轴对称，所以为偶数，所以．
因为函数在和上单调递减，
由，得或或，
解得：或，
所以实数的取值范围是．
答案
16．已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
解析：（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
，且为偶数.
又，解得，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
当时，由得.
易知函数在上单调递减，
.∴实数的取值范围是.
答案 （Ⅰ）（Ⅱ）
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