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函数求值域方法之值域换元法

求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。

五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法（难度较大）；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法

类型一：一般换元法
形如：y=ax+b
方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=，用t表示x，带入原函数得到一个关于t的二次函数，求解值域即可。

例1：求函数的值域
分析：本题，在取值区间内，x单调增，单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。

解：另（），则，
代入得（）
本题实求二次函数在指定区间内的范围
当，
所以

变式：求函数的值域
分析：本题，在取值区间内，x单调增，单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以即可
答案：

由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习

练习：求的值域

类型二：三角换元
记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式
A、 一个大原则：有界，换成
无界，换成
B、三个常用公式：①遇到，且前面系数为，常用
②遇到，且前面系数为1，常用
③巧用万能公式：

三角换元时，尤其注意确定好的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。

例2：求的值域
分析：本题若使用一般换元法，则只能得到与之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为前面的系数是-1，所以使用公式①换元
解：令，，，
另（原因：方便后面化出来的，不用讨论正负性了）
代入，得=
，
辅助角公式，合一变形得：（）
，

变式：求的值域
分析：另即可
答案：

例3 ：求 的值域
分析：本题前面的系数是1，所以考虑使用公式②
解：
另U

U，U
U

变式： 求的值域
分析：
，使用三角公式
具体过程问群主哟
答案：

例4：求的值域
分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。
解：
到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式—万能公式

对f（x）再进行转化

令

类型三：三角换常值换元法
本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用。
由于，可令，则就转化成了关于t的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解（在另外专题中讲解）

例5：求的值域
分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法。利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于t的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解。
解：方法一：万能公式法

令，但是，
，当，分母是对勾函数，应用对勾函数的相关性质，可得值域
方法二：斜率法（联系 群主 要哦）

类型四：双换元法
例6：求的值域
分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分子分母有理化。本题介绍两种解法。
解：方法一：平方法

本题实求在时，的取值范围，二次函数求范围
，，

方法二：双换元法
令

本题等价于：已知，求
接下来有两种思路：
思路一：