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平面向量小题专题讲练
1、化简 ＋－—得 （ ）
A． B．
C． D．0
2.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a=e1+λe2(λ∈R)与向量b=－(e1－2e2)共线的充要条件是 （ ）
A.λ=0 B.λ=－1
C.λ=2 D.λ=－2
3、已知a ⊥b，|a| =2，| b|=3，且3a十2b与λa－b垂直，则λ等于 （ ）
A． B． C． D．1

4、若|a| ＝3，| b|=4，（a十b）·（a十3 b）=81，则a与b的夹角是 （ ）
A．30° B．60°
C。90° D．120°

5、已知O为原点，A，B点的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数a＞0，点P在线段AB上．且＝t（0≤t≤1），则·的最大值为 （ ）
A．a B．2a C．3a D．a2

6．在边长为1的正三角形ABC中，，，则的最大值为 （ ）
A． B．
C． D．
7．在中，为的中点，若， ，则的最小值是 （ ）
A. B． C. D．
8．设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．在中，,则 ( )
A．-9 B．0 C．9 D．15

O
B
A
M
N
C
10．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用、、表示，则等于 ( )
A． B．
C． D．
11．在△ABC中，，，则AB边的长度为 （ ）
（A）1. （B）3 （C）5 （D）9

12．已知向量且与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
13．已知点是的重心，若，，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
14．的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量 方向上的投影为 （ ）
A. B. C. D.
15.在中，，是内一点，且满足，则= ．
16.在△ABC中，点M满足，若 ，则实数m的值为 ．

17.已知，其中，若，则的值等于 ．

18设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 .

19.已知以下五个命题：
①若a≠0,则a·b=0，则b=0 ②若a=0,则a·b=0
③若a·b=a·c，(其中a、b、c均为非零向量)，则b=c
④若a、b、c均为非零向量，(a·b)·c=a·(b·c)一定成立
⑤已知a、b、c均为非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|成立的充要条件是a、b与c同向.
A
B
D
C
其中正确命题的序号是________

20．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，=+， 其中，R ，则+= _________

A
B
C
21．如图，在中，，，是边的中点，则

22．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且,。若（），则的值为

23．如图，在ΔABC中，=

A
B
D C
24．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是

25．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　

26．已知向量, ,
（1）若为中点，，求．的值；
（2）若是直角三角形，求的值。
解：

27．设的三个内角所对的边分别为，且满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值.

平面向量小题训练
1、化简 ＋－—得 （ D ）
A． B． C． D．0
2.设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a=e1+λe2(λ∈R)与向量b=－(e1－2e2)共线的充要条件是 （ D ）
A.λ=0 B.λ=－1 C.λ=2 D.λ=－2
3、已知a ⊥b，|a| =2，| b|=3，且3a十2b与λa－b垂直，则λ等于 （ A ）
A． B． C． D．1
4、若|a| ＝3，| b|=4，（a十b）·（a十3 b）=81，则a与b的夹角是 （ B ）
A．30° B．60° C。90° D．120°
5、已知O为原点，A，B点的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数a＞0，点P在线段AB上．且＝t（0≤t≤1），则·的最大值为 （ D ）
A．a B．2a C．3a D．a2

\
B
O
A
C
E
D
6．在边长为1的正三角形ABC中，，，则的最大值为（D ）
A． B．
C． D．
【解析】如图所示，建立直角坐标系，则

，因
函数取得最大值故答案为C.
7．在中，为的中点，若， ，则的最小值是 （ D ）
A. B． C. D．
8．设的夹角为锐角，则实数的取值范围是（A ）
A． B． C． D．
9．在中，,则 ( B )
A．-9 B．0 C．9 D．15
10．已知三棱锥，点分别为的中点，且，用、、表示，则等于(C )
A． B． C． D．
O
B
A
M
N
C

11．在△ABC中，，，则AB边的长度为（ B ）
（A）1. （B）3 （C）5 （D）9
12．已知向量且与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
13．已知点是的重心，若，，则的最小值是（ C ）
A． B． C． D．
14．的外接圆圆心为,半径为2，,且,向量 方向上的投影为 （ C ）
A. B. C. D.
15.在中，，是内一点，且满足，则= ．（-3）
16.在△ABC中，点M满足，若 ，则实数m的值为 ▲ ．
17.已知，其中，若，则的值等于 ．1
18.设分别是的斜边上的两个三等分点，已知,则 ▲ .
【解析】

19.已知以下五个命题：
①若a≠0,则a·b=0，则b=0 ②若a=0,则a·b=0
③若a·b=a·c，(其中a、b、c均为非零向量)，则b=c
④若a、b、c均为非零向量，(a·b)·c=a·(b·c)一定成立
⑤已知a、b、c均为非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|成立的充要条件是a、b与c同向.
其中正确命题的序号是________.②、⑤
分析：(1)a·b=|a||b|cosθ=0,∵a≠0,∴|b|cosθ=0∴|b|=0或cosθ=0
②正确
③a·b=|a||b|cosθ,a·c=|a||c|cosβ,由a·b=a·c，可得|b|cosθ=|c|cosβ,并不能推出b=c.
④(a·b)与(b·c)都是实数，a与c不一定共线.
⑤正确
20．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，=+， 其中，R ，则+= _________.14．
解：如图

21．如图，在中，，，是边的中点，则A
B
D
C

【解析】∵是边的中点，∴，又,∴
A
B
C
22．如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为，与的夹角为，且,。若（），则的值为 6
A
B
D C
23．如图，在ΔABC中，=

24．在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是-2
25．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　
26．已知向量, ,
（1）若为中点，，求．的值；
（2）若是直角三角形，求的值。
解：(1) ∵  （1分）
而 ∴，    （7分）
（2）①当时，  ∴   （9分）
②当时，∵    （10分）
∴   ∴    （12分）
③当时，，∴
综上 或                 （14分）
27．设的三个内角所对的边分别为，且满足.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值.
解：（Ⅰ）因为，所以，
即，则 …………4分
所以，即，所以………………8分
（Ⅱ）因为，所以，即…12分
所以=，即的最小值为………………14分

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