带有治疗函数与双线性接触率的SIRS传染病模型的全局分析.pdf

第43卷第5期 辽宁工业大学学报(自然科学版)Vol.43,No.5 2023 年 10 月 Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)Oct.2023 收稿日期：2022-09-28 作者简介：周美涛(1987-)，男，辽宁朝阳人，讲师，硕士。DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2023.05.012 带有治疗函数与双线性接触率的 SIRS 传染病模型的全局分析 周美涛（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）摘 要：对带有治疗函数与双线性接触率的 SIRS 传染病模型的全局动力学进行了分析，通过数学分析得到系统不存在极限环的充分性判据。当系统不存在极限环时，通过治疗和控制就能够消除传染病，此时传染病不会成为地方性流行病；当系统存在极限环时，则这是一个不稳定的极限环，即亚临界 Hopf 分支，此时通过治疗仍能消除传染病。关键词：传染病；极限环；全局分析 中图分类号：O175.1 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2023)05-0342-06 Global Analysis of an SIRS Epidemic Model with Treatment Function and Bilinear Incidence Rate ZHOU Mei-tao（College of Science,Liaoning University of Technology,Jinzhou 121001,China）Abstract:The global dynamics of SIRS infectious disease model with treatment function and bilinear contact rate are analyzed,and the adequacy criterion of the system without limit cycle is obtained through mathematical analysis.When there is no limit cycle in the system,the infectious disease can be eliminated through treatment and control,and the infectious disease will not become endemic;When there is a limit cycle in the system,it is an unstable limit cycle,that is,a subcritical Hopf branch,and the infectious disease can still be eliminated by treatment.Key words:epidemic;limit cycle;global analysis 传染病长期威胁着人们的生命和财产安全，传染病的传播备受大家的关注。国内外多名学者应用动力学理论通过建立数学模型研究传染病的传播动力学和渐进行为1-11。动力学方法2是通过讨论传染病的传播机理来探索传染病的传播规律，从而能够更好的了解传染病扩散。在研究传染病所使用的模型中，选择一个合适的治疗函数是非常关键的，文献5建立的 SIR 传染病模型中使用了治疗函数，使用这个治疗函数表明随着感染者数量的增加，逐渐增大治疗能力，当感染者数量饱和时，对疾病采取最大限度的治疗，从而能够使传染病尽快得到控制，该治疗函数如式(1)所示。000()mIIIT IkII=(1)式中：m 表示疾病的治疗率；I 表示感染者数量；I0表示感染者数量达到饱和时的临界值；k=mI0表示疾病的最大治疗能力。第 5 期 周美涛：带有治疗函数与双线性接触率的 SIRS 传染病模型的全局分析 343 对于传染病来说，由于其非常危险并且蔓延非常迅速，蔓延一段时间后会造成医疗机构的治疗能力不足，为了能够在短时间内控制传染病的传播，此时可以采用最大的治疗能力来治疗传染病，以便能在最短的时间内控制疾病的传播。通过对传染病的研究发现，在日常生活中很多传染病的患者不具有终身免疫力，只具有临时免疫力6-9，在感染者康复一段时间后可能会再次感染。基于这个原因，本文采用双线性发生率和最大治疗能力 T(I)=k 作为治疗函数来建立 SIRS 传染病模型，如式(2)所示。ddd()()dd()()dSBvRSIdStISIT Id ItRIT Ivd Rt=+=+=+(2)式中：S 表示 t 时刻的易感者数量；I 表示 t 时刻的感染者数量；R 表示 t 时刻获得临时免疫的康复者数量；B 表示总人口对时间的输入率；d 表示人口的自然死亡率；SI 表示双线性发生率；表示感染者的自然恢复率；v 表示患者的临时免疫力；假设所有符号均为正数。在文献6中讨论了 SIRS 传染病模型平衡点的存在性和稳定性，并对所得结论进行了数值模拟。本文中将式(2)所示的模型及其简化形式称之为系统，并对系统(2)的全局动力学结构进行讨论，如果系统(2)不存在极限环，那么系统(2)具有简单的动力学行为。下面结合文献6对系统(2)的全局结构进行分析，解决系统(2)是否存在极限环的问题。1 极限环分析 首先将系统(2)进行简化处理，将系统(2)的 3 个方程相加，记 t 时刻的人口数为 N，这里 N=S+I+R，经计算可得式(3)。ddNBdNt=(3)由(3)式可知，当 t时 N 趋向于常数9，所以在平面 S+I+R=N0上，可简化系统(2)如式(4)所示。0d()dd()()dSBdSSIv NIStISIT IdIt=+=+(4)下面对系统(4)平衡点的全局结构进行讨论，为了方便叙述定义式(5)与式(6)2 个等式。00()()()HBvNdv d=+(5)()*012()()()()Hkk dvdvdv d=+(6)在本文中假设*00HH成立，这时系统(4)有两组地方病平衡点 E1和 E2，如式(7)所示。()()1112221011210020222200,()()(+)(+)(+)(+)(+)(+)4(+)+)2(+)()()(+)(+)(+)+(+)(+)(+)4(+)ES IES ISBvNvIdvIIB vNkd v dd v dB vNkd vk(d vd vSBvNvIdvIIB vNkd v dd v dB vNkd vk(=+=+=+)2(+)d vd v(7)由文献6的定理 2 可知：如果系统(4)存在地方病平衡点 E1，则 E1一定是个鞍点，所以在地方病平衡点 E1附近不会产生极限环；如果地方病平衡点 E2存在，则平衡点 E2可能是焦点，可能是结点，也可能是中心，并且随着参数值的改变平衡点 E2的稳定性也会发生变化，所以在平衡点 E2附近可能会存在极限环。如果系统(4)的平衡点 E2附近没有极限环，则系统(4)的动力学行为比较简单，有利于分析传染病的发展。下面讨论系统(4)不存在极限环的条件，为此需做如下一系列变换替换。344 辽宁工业大学学报(自然科学版)第 43 卷 首先令 x=S-S2，y=I-I2，则系统(4)变为(8)。2222d()()dd()()dxIvdy xSv ytyx IySd yt=+=+(8)然后令 X=-(v+d)x-(v+d+)y，Y=x+y，则系统(8)变为(9)。()()()()222222d()()()()()d(222)()()ddXSdIdv XXSdvddvI YtdvXYvddYYXt =+=(9)经计算可得式(10)。2220()()()()()()4()()0Sd vddvIvddBvNkk dv vd+=+(10)最后令 2222()()()()()()tvdSddvIXxYSdvddvIy=+=+则系统(9)变为(11)。()()()()()()2222222222322dddd()()()()()()()()2()()()()()()()()()xxyxxyyyxSdIvdvdSddvIvdSddvIvdvdSddvIvddvdSddvI=+=+=+=+=+(11)经过上面的讨论可以得到定理 1。定理 1 当*00HH时，如果下述条件成立：()()2222)()2()2()()()()()SdIvdvdavd dadvISd vd+=+（则系统(2)不存在极限环。证明 当定理 1 的条件成立时，为了证明系统(2)不存在极限环，对系统(11)做变量替换。令 X=x，Y=y，计算可得：22ddddXXYXXYYYX=+=由文献6中定理 3 的证明可知：22()()()0advISd vd=+因此，22()()0SdIvd+所以 0。因为/0，/0，由参考文献9中引理 12.1 可知+/20 成立时，系统(2)不存在极限环。第 5 期 周美涛：带有治疗函数与双线性接触率的 SIRS 传染病模型的全局分析 345 由、的定义可知+/20 等价于：()()2222)()2()2()()()()()SdIvdvdavd dadvISd vd+=+（所以如果定理 1 的条件成立，则系统(2)不存在极限环，即定理 1 的结论得证。定理 2 当*00HH时，并且下述条件成立：20222322233320(+)-()()-()()()2()24()2()222()()()()()()BNvdddvvdkvdvdvdvdkdvdvddvdBvN +=+=+则系统(2)不存在极限环。证明 当定理 2 条件成立时，根据文献6中的定理 3 可知22()()0SdIvd+，因此 0。由参数、的定义计算可得(+)0，此时依照参考文献9中定理 12.5 的结论可知系统(2)不存在极限环,即定理 2 的结论得证。定理 3 当*00HH，并且 k 满足如下条件时：20(+)-()()-()()BNvd ddvvdk+系统(2)在(,0)U内产生一族不稳定的闭轨，即亚临界的 Hopf 分支。其中，02242342233()()(),()(2)242 222bdv dBvNdvbbbb=+=+=证明 当系统(2)的简化系统(4)存在平衡点 E2时，记 M2为系统(4)在平衡点 E2处的 Jacobian 矩阵：22222()()dISMISd+=+由文献6定理 3 的证明可知，必有 det(M2)0，并且当 k=时 tr(M2)=0，所以 M2的特征值为纯虚根，解得M2的特征值为 1=i 和 2=-i，1 20(4)/()4dkBvNkk=+。此时 tr(M2)对 k 求导可得 2020d(tr()2()4()()4()(2)0d4()()()()()4()()()()()kMcdvkdvcdv dBvNrk dvdvdv dBvNk=+=+=+=+根据文献10中定理 3.4.2 可知 k=为系统(4)的 Hopf 分支点。对系统(4)进行变量替换，令 x=S-S2，y=I-I2，可得系统(5)。继续对系统(5)进行变换，令 u=-x，z=(a11x+a12y)/，其中 a11=-(d+v+I2)，a12=-(S2+v)，经过计算可得：21112211121112d(,)dd(,)d(,)()()(,)()uzf u ztzug u ztf u zuza uaaag u zuza ua=+=+=+=+取第一李雅普诺夫系数为：346 辽宁工业大学学报(自然科学版)第 43 卷 11()()161616zzzzuuuuzzuuzzzzuzuuzzuzuuzzuuuuf gffggfffgggf g=+。式中：uzf表示2()(0,0)fu z；uzg表示2()(0,0)gu z。则有：22112212()8avSIa=+。根据已知条件 tr(M2)，可得2220SIdv=+，即0，由文献10中公式(3.4.11)与定理 3.4.2可知定理 1.3 的结果得证。2 数值模拟 例 1 参数 B=4，k=0.9，v=0.01，d=0.3，=0.8，=0.3，N0=40/3 时*00HH成立，并且此时定理 2 的条件成立，所以系统(2)不存在极限环，如图 1 所示。图 1 系统(2)不存在极限环 例 2 参数 B=4，k=0.872，v=0.01，d=0.3，=0.8，=0.3，N0=40/3 时*00HH成立，并且此时定理 3的条件成立，所以系统(2)存在不稳定的极限环，如图 2 所示，此时分支点如图 3 所示。图 2 系统(2)存在不稳定的极限环 图 3 系统(2)的分支点图 3 结束语 本文在文献6结论的基础上讨论了系统(2)的全局结构，对系统极限环的存在情况进行了分析。通过计算给出了系统(2)不存在极限环的判别条件定理 1 与定理 2。通过分析可知，当系统(2)不存在极限环时，传染病的传播是可以在一段时间内得到有效控制的，可以使用治疗等手段消除传染病。在现实中为了能够更好的控制传染病的传播，应该提高医疗机构对感染者的治疗能力，同时增大医疗机构患者的容纳量，使系统(2)不产生极限环，从而能够尽快控制传染病的扩散。当系统(2)的参数满足定理 3 时，则系统在(,0)U内产生一族不稳定的极限环，说明当治疗能力 k 小于临界值 时，系统有不稳定的极限环产生，此时通过增大治疗能力可以使极限环消失。综上可知治疗对于传染病的发展起着至关重要的作用，在传染第 5 期 周美涛：带有治疗函数与双线性接触率的 SIRS 传染病模型的全局分析 347 病的传播初期，就应该足够重视，加大治疗能力尽量将传染病控制在一个较低的水平，并最终能够彻底消除传染病。参考文献：1 马之恩,周义仓.常微分方程定性与稳定性方法M.北京:科学出版社,2001.2 马之恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究M.北京:科学出版社,2004.3 ZHOU L.H.,FAN M.,Dynamics of an SIR epidemic model with limited medical resources revisitedJ.Nonlinear Anal:Real World Appl,2012,13:312-324.4 Andersson P,Lindenstrand D.A stochastic SIS epidemic with demography:initial stages and time to extinctionJ.J Math Biol,2011,62(3):333-348.5 WANG W.D.,Backward bifurcation of an epidemic model with treatmentJ.Math Biosci,2006,201:58-71.6 周美涛.一类具有双线性发生率与常数治疗函数的 SIRS 传染病模型的动力学行为J.辽宁工业大学学报:自然科学版,2015,35(5):344-350.7 Alexander M E,Moghadas S M.Bifurcation analysis of an SIRS epidemic model with generalized incidenceJ.SIAM J Appl Math,2005,65(5):1794-1816.8 JIN Y,WANG W D,XIAO S W.An SIRS model with nonlinear rateJ.Chaos,Solitons and Fractals 2007,34(5):1482-1497.9 Ye Y Q.Theory of Limit CyclesM.in:Trans.Math Monogr,vol.66,AMS,Providence,1986.10 Guckenheimer J,Holmes P J.Nonlinear oscillations，Dynamical Systems，and Bifurcations of Vector FieldsM.New York:Springer-Verlag,1996.责任编辑：陈 明 (上接第 341 页)fiber concrete containing recycled aggregateJ.Construction and Building Materials,2020,241:118010.29 Zhu Hongbing,Han Bei,Zhang Na,Effect of polypropylene fiber content on compressive and flexural performance of recycled concreteC/Journal of Physics:Conference Series.IOP Publishing,2020,1605(1):012146.30 朱红兵,姚晨,赵本露,等.聚丙烯纤维掺量对再生混凝土抗折疲劳性能影响的试验研究J.四川建筑科学研究,2017,43(5):104-107.31 霍俊芳,白笑笑,姜鹏飞,等.钢纤维和聚丙烯纤维再生混凝土力学性能研究J.混凝土,2019(8):92-95,99.32 何文昌,孔祥清,高化东,等.高掺量聚丙烯纤维再生混凝土力学性能及微观结构研究J.混凝土,2020(1):82-86.33 Luo H,Ma F,Yang Q.Experimental analysis on mechanical performance of recycled concrete made from polypropylene fiber and artificial sandC/Annales de Chimie Science des Materiaux,2020,44(2).34 孔祥清,高化东,刚建明,等.钢-聚丙烯混杂纤维再生混凝土断裂性能研究J.混凝土,2018(10):74-78,81.35 孔祥清,鲍成成,高化东,等.钢-聚丙烯混杂纤维再生混凝土力学性能试验研究 J.混凝土,2017(11):105-109.36 孔祥清,何文昌,邢丽丽,等.钢纤维-聚丙烯纤维混杂对再生混凝土抗冲击性能的影响J.复合材料学报,2020,37(7):1763-1773.37 孔祥清,何文昌,周聪,等.混杂掺入钢/聚丙烯纤维再生混凝土力学性能及抗冲击性能试验研究J.建筑科学,2020,36(3):94-99.38 章文姣,鲍成成,孔祥清,等.混杂纤维掺量对再生混凝土力学性能的影响研究J.科学技术与工程,2016,16(13):106-112,123.39 He W,Kong X,Fu Y,et al.Experimental investigation on the mechanical properties and microstructure of hybrid fiber reinforced recycled aggregate concreteJ.Construction and Building Materials,2020,261:120488.40 孔祥清,高化东,刚建明,等.钢-聚丙烯混杂纤维再生混凝土弯曲韧性研究J.硅酸盐通报,2018,37(9):2729-2736.责任编辑：孙 晶