第六章电磁感应与暂态过程.doc

电 磁 学 第六章 电磁感应和暂态过程
第六章 电磁感应与暂态过程
静电场和恒定磁场的基本规律，在表达公式中电场和磁场是各自独立、互不相关的。然而，激发电场和磁场的源——电荷和电流却是相关的，电场和磁场之间也必然存在着相互联系、制约的关系。1820年奥斯特发现了电流的磁效应，1831年法拉第经过系统研究，发现了电磁感应现象，并总结出电磁感应定律。
电磁感应现象的发现，不仅阐明了变化磁场能够激发电场这一关系，还进一步揭示了电与磁之间的内在联系，促进了电磁理论的发展，从而奠定了现在电工技术的基础。从实用的角度看，这一发现使电工技术有可能长足发展，为后来的人类生活电气化打下了基础。从理论上说，这一发现更全面地揭示了电和磁的关系，使在这一年初生的麦克斯韦后来有可能建立一套完整的电磁场理论，这一理论在近代科学重得到了广泛的应用。因此，怎样评价法拉第的发现的重要性都是不为过的。
本章主要讨论电磁感应现象及其基本规律——法拉第电磁感应定律，介绍产生电动势的两种情况——动生和感生电动势，分别对电磁感应的几种类型，包括自感和互感进行讨论，最后介绍RL、RC电路的暂态过程和磁场的能量等内容。
§1 法拉第电磁感应定律
一、 电磁感应现象
这里有三个具有代表性的实验。
1、把线圈L和电流计G连接成一闭合回路，用磁棒插入线圈L，发现在磁棒插入过程中电流计G的指针有偏转。这表明在磁棒插入过程中回路中出现了电流。若磁棒插入线圈后不动，电流计指针降回到零点。这表明在磁棒相对线圈静止时，线圈回路中没有电流。在磁棒从线圈L中抽出的过程中，电流计指针有发生偏转，但偏转的方向与插入过程的偏转方向相反。这表明在磁棒抽出的过程中，回路中的电流方向与磁棒插入过程中回路的电流方向相反。如果加快磁棒插入或抽出的速度，则指针偏转加大，说明回路中电流加大。固定磁棒不动使线圈相对磁棒运动，同样可观察到上述现象。
2、用一个通有恒定电流的线圈L1代替磁棒，反复上面的实验，可观察到同样的现象。
3、把线圈L1放在线圈L中不动，线圈L1通过开关K和一电池相连。当将K合下时，发现电流计指针偏转然后回到零点。将K打开时，发现电流计指针朝相反方向偏转后又回到零点。这表明在线圈L1通电或断电的过程中线圈L中出现了电流。
这三个看来不同的实验存在共同点。当磁棒或载流线圈L1相对线圈L运动时，线圈所在处的磁场随时间变化，因而通过线圈L的磁通量也随时间发生变化。因此不论什么原因，当通过闭合导体回路的磁通量发生变化时，在导体回路中就会产生电流。
电磁感应定律是建立在广泛的实验基础上的。法拉第的实验大体上可以归结为两类：一类是磁铁与线圈有相对运动时，线圈中产生了电流；另一类是当一个线圈中电流发生变化时，在它附近的其他线圈中也产生了电流。法拉第将这些现象与静电感应类比，把它们称作“电磁感应”现象。对实验仔细分析可概括出一个能反映其本质的结论：
当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁通量发生变化时，不管这种变化是由什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流。这种现象称为电磁感应现象。
必须注意：由于线圈中插入铁芯后线圈中的感应电流大大增加，说明感应电流的产生是因为磁感应强度通量的变化，而不是由于磁场强度通量的变化。
二、楞次定律
1833年，楞次（Lenz）在进一步概括了大量实验结果的基础上，得出了确定感应电流方向的法则，称为楞次定律：闭合回路中产生的感应电流具有确定的方向，它总是使感应电流所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或者反抗引起感应电流的磁通量的变化。
楞次定律实质上是能量守恒定律的一种体现，具体分析演示实验，感应电流的方向遵从楞次定律的事实表明楞次定律本质上就是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。
用楞次定律确定感应电动势的方向时，可按照以下步骤进行：
1、判明原理磁场的方向以及穿过线圈的磁通的变换趋势（增或减）
2、根据楞次定律确定感应电流产生的附加磁通的方向
3、根据右手定则由附加磁通方向定出感应电流的方向。
三、法拉第电磁感应定律
回路中的感应电流也是一种带电粒子的定向运动。要注意，这里的定向运动并不是静电场力作用于带电粒子而形成的，因为在电磁感应的实验中并没有静止的电荷作为静电场的场源。感应电流应该是电路中的一种非静电力对带电粒子作用的结果。我们知道电源产生电流是源于一种非静电力作用的结果，可以用电动势的概念加以说明。类似地，在电磁感应实验中的非静电力也可以用电动势的概念加以说明，叫做感应电动势。这就是说，其实感应电流只是回路中存在感应电动势的对外表现，由闭合回路中磁通量的变化直接产生的结果应是感应电动势。
法拉第对电磁感应现象做了定量的研究，总结得出了用感应电动势来描述电磁感应的基本定律：
通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。如果采用国际单位制，以表示通过闭合导体回路的磁通量，以表示磁通量发生变化时在导体回路中产生的感应电动势，则定律可表示为

这一公式就是法拉第电磁感应定律的一般表达式。在约定的正负符号规则下，式中的负号反映了感应电动势的方向与磁通量变化的关系，它是楞次定律的数学表现。
确定感应电动势的符号规则如下：在回路上先任意选定一个转向作为回路的绕行方向，再用右手螺旋法则确定此回路所包围面积的正法线方向，然后确定通过回路面积的磁通量的正负，凡穿过回路面积的方向与相同者为正，相反者为负；最后再考虑的变化，感应电动势的正负只由决定。参见P481图17.1和图17.2所示。
如果回路是由N匝导线串联而成，那么在磁通量变化时，每匝中都将产生感应电动势。如果每匝中通过的磁通量都相同，则N匝线圈中的总电动势应为各匝中电动势的总和，即

习惯上把称为线圈的磁通量匝数或磁链数。如果每匝中的磁通量不同，就应该用各圈中磁通量的总和来代替，叫做穿过线圈的全磁通。
如果闭合回路的电阻为R，则在回路中的感应电流为

利用，可算出在到这段时间内通过导线的任一截面的感生电荷量为

式中、分别是、时刻通过导线回路所包围面积的磁通量。上式表明，在一段时间内通过导线截面的电荷量与这段时间内导线回路所包围的磁通量的变化值成正比，而与磁通量变化的快慢无关。如果测出感生电荷量，而回路的电阻又为已知，就可以计算磁通量的变化量。常用的磁通计就是根据这个原理而设计的。
根据电动势的概念可知，当通过闭合回路的磁通量变化时，在回路中出现某种非静电力，感应电动势就等于移动单位正电荷沿闭合回路一周这种非静电力所作的功。如果用表示等效的非静电性场强，则感应电动势可表示为

又因通过闭合回路所包围面积的磁通量为，于是法拉第电磁感应定律又可表为积分形式

式中积分面S是以闭合回路为边界的任意曲面。
§2 动生电动势
法拉第电磁感应定律表明，只要通过回路所围面积中的磁通量发生变化，回路中就会产生感应电动势。由可知，使磁通量发生变化的方法是多种多样的，但从本质上可归纳为两类：一类是磁场保持不变，导体回路或导体在磁场中运动；另一类是导体回路不动，磁场发生变化。产生的电动势分别称为动生电动势和感生电动势。
一、在磁场中运动的导线内的感应电动势
首先讨论磁场不变、导体在磁场中运动或回路的形状和位置变动而产生的电磁感应现象，由于导体运动而产生的感应电动势习惯上称为动生电动势。
如图17.3所示。一个由导线做成的回路abcda中，长度为l的导线段ab以速度在垂直于磁感应强度为的匀强磁场中作匀速直线运动而产生的动生电动势为

这里通过回路面积磁通量的增量也就是导线在运动过程中所切割的磁感应线数，所以动生电动势在量值上等于在单位时间内导线所切割的磁感应线数。
由符号法则或楞次定律，可以确定动生电动势的方向是从b指向a的。也可以用右手定则简便地判断这种一段导体在磁场中运动时所产生的动生电动势的方向：伸平右手掌并使拇指与其他四指垂直，让磁感线从掌心穿入，当拇指指向导体运动方向时，四指所指就是导体中产生的动生电动势的方向。注意，电动势是运动导线运动产生的，电动势只存在于导线ab段内，即运动着的导线ab相当于一个电源。
导体在磁场中运动切割磁感应线而产生的电动势，可用金属电子理论来解释。当导线ab以速度向右运动时，导线内每个自由电子也获得向右的定向速度，自由电子受到的洛伦兹力为

的方向沿导线从a指向b，电子在力的作用下将沿导线从a端向b端运动，结果在回路中出现逆时针方向的感应电流。非静电性力就是洛伦兹力，可以看作等效于一个非静电性场强对电子的作用，即

或
由于回路的bc、cd、和da段相对磁场静止，其中非静电性场强，只有ab段中的，由矢量积分关系可知，ab段中的平行于l，所以在回路abcda中的感应电动势为

结果与前面完全相同，表明形成动生电动势的实质是运动电荷受洛伦兹力的结果。
在一般情况下，磁场可以不均匀，导线在磁场中运动时各部分的速度也可以不同，、和l也可以不互相垂直。这时可以先考虑一段以速度运动的导体元，在其中产生的动生电动势为，整个导体中产生的动生电动势应该是各段导体之中产生的动生电动势之和。动生电动势仍可用下式计算：

线元矢量的方向是任意选定的，当与间呈锐角时，为正，表示顺着方向；呈钝角时，为负，表示逆着方向。特别地，如果是整个导体回路L都在磁场中运动，则在回路中产生的总动生电动势应为

回路中建立起感应电流后，载流导线ab段在外磁场中又要受到安培力的作用，其大小为

方向在纸面内垂直于导线向左。所以如要维持ab向右作匀速运动，使在ab导线中产生恒定的电动势，从而在回路中建立恒定的感应电流，就必须在ab段上施加一同样大小方向向右的外力。因此，在维持ab段导线作匀速运动过程中，外力必须克服安培力而做功，它所消耗的恒定功率为

因为运动导线相当于一个电源，其动生电动势，它向回路中供应的电功率为

可以看到，正好等于P。这一关系从能量的转换来说就是：电源向回路中供应的电能来源于外界供给的机械能。
实质上，我们这里所讨论的就是发电机的工作原理，也就是动生电动势的一个实际应用。发电机是把机械能转化为电能的装置，从力学方面来说，外力做功表示外界向发电机供给了机械能，磁场力做负功表示发电机接受了此能量。在回路方面来说，电源的电动势为，电源向电路中供应出电能，其电功率为。由此可见，“磁场力做负功，接受了机械能”和“电源向电路中供应电能”就是“机械能向电能转化”同一事实的两个侧面。所以，要使发电机不断地工作，就得用水轮机、汽轮机或其他动力机械带动导线运动，把机械能不断地转化为电能。
二、磁场中转动的线圈内的感应电动势
设在均匀磁场中作匀速转动的矩形线圈ABCD的匝数为N，面积为S，使这些线圈在匀强磁场中绕固定的轴线转动，磁感应强度与轴垂直。当时，线圈平面的法线单位矢量与磁感应强度之间的夹角为零，经过时间t，线圈平面的法线单位矢量与之夹角为，这时通过每匝线圈平面的磁通量为

当线圈以为轴转动时，夹角随时间改变，所以也随时间改变。根据法拉第电磁感应定律，N匝线圈中所产生的动生电动势为

式中是线圈转动时的角速度，若是常量，在t时刻，，代入上式得

令，表示当线圈平面平行于磁场方向的瞬时动生电动势，也就是线圈中最大动生电动势的量值。这样

上式也可用洛伦兹力的观点导出。当线圈平面法线单位矢量与之间的夹角为时，AB段上各点都以速度运动，其等效非静电性场强为

方向由A指向B，其大小为；同样，在CD段中，的方向由C指向D，大小和AB段中的相等；在BC和DA段中，的方向都垂直于线段。如设，，则沿ABCD的线积分，即在线圈中的动生电动势为

线圈绕轴转动时，AB和CD段的速度v与角速度的关系为，代入上式有

式中是矩形线圈的面积，结果与前相同。
上述关系表明在匀强磁场内转动的线圈中所产生的电动势是随时间作周期性变化的，周期为。在两个相邻的半周期中，电动势的方向相反，这种电动势叫交变电动势。在交变电动势的作用下，线圈中的电流也是交变的，叫做交变电流或交流。由于线圈内自感应的存在，交变电流的变化要比交变电动势的变化滞后一些，所以线圈中的电流一般可以写成

这就是发电机的基本原理。
三、交流发电机（介绍或自己看）
§3 感生电动势和感生电场
一、感生电动势和感生电场
导线或线圈在磁场中运动时所产生的感应电动势，其非静电性力起源于洛伦兹力。电磁感应现象又表明：当导线回路固定不动，而磁通量的变化完全由磁场变化所引起时，导线回路内也将产生感应电动势。这种由于磁场变化引起的感应电动势，称为感生电动势。
产生感生电动势的非静电性力，不能用洛伦兹力来解释。由于这时的感应电流是原来宏观静止的电荷受到非静电力作用形成的，而静止电荷受到的力只能是电场力，所以这时的非静电力也只能是一种电场力。麦克斯韦分析后提出：变化的磁场在其周围激发了一种电场，这种电场称为感生电场。它就是产生感生电动势的“非静电场”。当闭合导线处在变化的磁场中时，就是由这种电场作用于导体中的自由电荷，从而在导线中引起感生电动势和感应电流的出现。如果用表示感生电场的场强，则当回路固定不动，回路中磁通量的变化全是由磁场的变化所引起时，在一个导体回路L中产生感生电动势应为

根据法拉第电磁感应定律应该有

法拉第当时只着眼于导体回路中感应电动势的产生，麦克斯韦更着重于电场和磁场的关系的研究。他指出，在磁场变化时，不但会在导体回路中，而且在空间任一点都会产生感生电场，而且感生电场沿任何闭合路径的环路积分都满足上式。用表示磁感应强度，则上式表示的法拉第电磁感应定律可表为

上式明确反映出变化的磁场能激发电场。式中表示空间内任一静止回路L上的位移元，S为该回路所限定的面积。由于感生电场的环路积分不等于零，所以它又叫做涡旋电场。
再从场的观点来看，场的存在并不取决于空间有无导体回路存在，变化的磁场总是在空间激发电场。因此上式不管闭合回路是否由导体构成，也不管闭合回路是处在真空或介质中都是适用的。也就是说：如果有导体回路存在时，感生电场的作用便驱使导体中的自由电荷作定向运动，从而显示出感应电流；如果不存在导体回路，就没有感应电流，但是变化的磁场所激发的电场还是客观存在的。这个假说现在已经被近代的科学实验所证实，例如电子感应加速器的基本原理就是用变化的磁场所激发的电场来加速电子的，它的出现无疑是为感生电场的客观存提供了一个令人信服的证据。从理论上来说，麦克斯韦的这个“感生电场”的假说和另一个关于位移电流（即变化的电场激发感生磁场）的假说，都是奠定电磁场理论、预言电磁波存在的理论基础。
在一般的情况下，空间的电场可能既有静电场，又有感生电场。这样，在自然界中存在着两种以不同方式激发的电场，所激发电场的性质也截然不同。由静止电荷所激发的电场是保守力场（无旋场），在该场中电场强度沿任一闭合回路的线积分恒等于零，即

电场线永远不会形成闭合线。但变化磁场所激发的电场的感生是非保守力场，在该场中电场强度沿任一闭合回路的线积分并不一定等于零。根据叠加原理，总电场沿某一封闭路径的环路积分应是静电场的环路积分和感生电场的回路积分之和。由于前者为零，所以的环路积分就等于的环流。因此，有

这一公式是关于磁场和电场关系的有一个普遍的基本规律。
二、感生电动势和感生电场的计算
例1，例2
§5 自感
在实际电路中，磁场的变化常常是由于电流的变化引起的，因此把感生电动势直接和电流的变化联系起来有重要的实际意义。互感和自感现象的研究就是要找出这方面的规律。
一、自感现象
当一个电流回路的电流I随时间变化时，通过回路自身的全磁通也发生变化，因而回路自身也产生感生电动势。这就是自感现象。这时产生的感生电动势叫自感电动势。
自感现象可通过实验来演示。图中A1，A2时两个相同的小灯泡，L是带铁心的多匝线圈（铁心的作用能使同样的电流激发强的多的磁场，从而使自感现象变的明显。）R是电阻，其阻值与线圈L的阻值相同。接通开关K，灯泡A1立即就亮，而A2则逐渐变亮，最后与A1同样亮。这就说明由于L中存在自感电动势，由楞次定律可知，电流增大缓慢。用图2来观察切断电源时的自感现象。当切断开关时，我们看到灯泡A先是猛然一亮，然后逐渐熄灭。这个现象同样可以用自感现象来解释。当开关切断时，线圈L与电池组断开，它的电流从有到无，是一个减小的过程。按照楞次定律自感电动势应阻碍电流的减小，因此线圈的电流不会立即减小为零。然而这时开关已经切断，线圈的电流只能通过灯泡A而闭合，因此灯泡A不会立即熄灭。如果线圈的电阻远小于灯泡的电阻，在开关接通时线圈的电流就远大于灯泡的电流，在切断开关的瞬间，线圈的这一电流通过灯泡使灯泡比刚才还亮。但由于线圈以及灯泡回路已经与电源断开，电流必将逐渐减小为零，因此灯泡逐渐熄灭。
二、自感
不同线圈产生自感现象的能力不同。考虑一个N匝线圈，如果线圈使密绕的，则每匝可近似看成一条闭合曲线，因此可谈及它的磁通。设线圈电流激发的穿过每匝的磁通相等（），则由法拉第定律可知每匝的感生电动势为，整个线圈的自感电动势为

引入符号称为线圈的自感磁链（磁通匝链数），于是得到
在实际计算中线圈电流I比磁链更常出现，有必要找出自感电动势与I的关系。根据毕奥－萨伐尔定律I在空间各点激发的B都与I成正比，而与B成正比，所以与I成正比，即

式中比例系数L叫做回路的自感系数（简称自感），它取决于回路的大小、形状、线圈的匝数以及它周围的磁介质的分布，而与电流无关。自感系数与互感系数的量纲相同，在国际单位制中，自感系数的单位也是H。
由电磁感应定律，在L一定的条件下自感电动势为

可见线圈的自感电动势与线圈的电流变化率成正比，比例系数正是自感。当电流增大，即时，上式给出，说明的方向与电流的方向相反；当时，上式给出，说明的方向与电流的方向相同。由此可知自感电动势的方向总是要阻碍回路自身电流的变化。
§17-4 互感
一、互感现象与互感
当一闭合导体回路中的电流随时间变化时，它周围的磁场也随时间变化，在它附近的另一导体回路中就会产生感生电动势，这就是互感现象。这种电动势叫互感电动势。
如图所示，有两个固定的闭合回路和。闭合回路中的互感电动势时由于回路中的电流随时间变化引起的，以表示此电动势。下面说明与的关系。
由毕奥－萨伐尔定律可知，电流产生的磁场正比于，因而通过所围面积的、由所产生的全磁通也应该和成正比，即

其中比例系数叫做回路对回路的互感系数，对两个固定的回路和来说互感系数是一个常数。在一定的条件下电磁感应定律给出

如果回路中的电流随时间变化，则在回路中也会产生感应电动势。根据同样的道理，可以得出通过所围面积的、由所产生的全磁通应该与成正比，即

而且

上两式中的叫对的互感系数。可以证明对给定的一对导体回路，有

M就叫做这两个导体回路的互感系数，简称它们的互感。实验表明当线圈周围没有铁磁介质时，它取决于两个回路的几何形状、相对位置、它们各自的匝数以及它们周围磁介质的分布，与线圈中的电流无关；当线圈周围存在铁磁介质时，互感不仅与上述因素有关，还依赖于线圈中的电流。
在国际单位制中，互感系数的单位名称是亨利，符号为H，可知

当两个线圈和的电流可互相提供磁通时，就说它们之间存在互感耦合。为了加强互感耦合，通常采用两个多匝线圈而且绕在同一筒子上，筒子可是空心的也可是插入铁心。若以表示线圈1中每匝的磁通（包括有1，2电流提供的），则

线圈1中每匝的感生电动势为，设它共有N1匝，则其总电动势为

令
则
就是线圈1的自感磁链，叫做线圈2对1的互感磁链。则叫做线圈1的总磁链（包括自感和互感）。
于是
又因为，
因此
类似地线圈2的感生电动势为

对于任意两个线圈总有，因此可将互感系数写为M，为两个线圈的互感，表征两个线圈间互感耦合的强弱。如果两个线圈之间的耦合是如此紧密，以至于每个线圈传产生的穿过自己的B线全部穿过另一线圈，即，就说它们存在完全耦合，不难证明对完全耦合有。
于是两个线圈中的电动势可表示为

二、互感线圈的串联
两个有互感耦合的线圈的串联等效于一个自感线圈，但其洗干不等于两个线圈的自感之和。下面分两种情况进行讨论。
1、 顺接情况
如图所示的连接方式叫做顺接，顺接时，两个线圈的磁通互相加强，每个线圈的磁通都等于自感和互感磁链之和，即
考虑到串联时电流相等，

串联后总电动势等与每个线圈电动势之和，

上式说明两个线圈的串联等效于一个自感线圈，其自感为

可见顺接的等效线圈的自感大于两个线圈自感之和。
2、 逆接情况
如图所示的连接方式叫做逆接，逆接时两个线圈电流的磁通互相削弱，则，于是
，逆接后的等效线圈的总电动势为
其等效自感为

可见逆接而成的等效自感小于两个线圈自感之和。
如果两个线圈间没有互感耦合，即，则没有必要区分顺接和逆接，得到的自感系数为，即两个无互感耦合的象棋串联而成的等效自感等于每个线圈的自感之和。反之，若两个线圈间有完全耦合，则。
§6 涡电流（用演示实验）
§7 RL电路的暂态过程
我们知道自感有阻碍电流电荷的作用，因此对于有自感的电路，当接通或断开电源时，电流不会立即达到稳定值。同理在RC中接通或断开电源时，电容器上的电量也不会立即充满或消失，而要经过一个变化的之间过程，这个过程称为暂态过程。
电流达到稳定值的电路状态称为稳态。讨论暂态过程时要设计许多随时间变化的量，为了区别起见，用大小写字母来区分。大写表示稳定值，小写表示暂态量。另外需要注意的一点在暂态过程中的讨论中需要借助于欧姆定律和基尔霍夫定律列出电路方程，这就出现一个问题：这些对于稳恒电流电路成立的定律对于时变电流是否还成立。后面将有证明当电流满足集中参量条件时，欧姆定律和基尔霍夫定律近似成立。在通常遇到的暂态过程以及通常遇到的交流电路中，这一条件都能近似满足。
一、 RL电路与直流电源的接通
在如图所示的电路中，把开关接通的时刻选择，我们来找出这一时刻以后电流随时间的变化规律，即求出从开始的函数，为此先要列出以后电流所服从的微分方程。线圈在电流变化时相当于一个电源，它提供自感电动势，选它以及电流的正方向如图所示，则

再把直流电源电动势的正方向选得与实际方向一致，则按照基尔霍夫第二定律有
即
这时关于未知函数的一个微分方程，可用分离变量法求解。积分后得到

这是微分方程的通解，不同的常数A给出不同的函数。为了找出符合所给物理条件的特解，必须使用初始条件。初始条件是指函数在时的值，可由所给物理条件得到。在我们的例子中开关接通前，开关接通时由于自感线圈的电磁惯性，电流只能渐变而不能突变（即不能在无限小的时间内完成有限的变化），由此可得初始条件为。代入上式得到，

这就是电流i在开关接通后的变化规律。注意到时i=0，可画出i和t的关系曲线，并可得到一下相应的特点：
1） 在开关接通后的暂态过程中，i以指数方式随t增大，最后达到稳定值。
2） 电流的稳态值只有电源电动势以及电流电阻决定，与线圈的自感L无关。但自感却影响到趋于稳态值的快慢。通常将叫做RL电路的时间常数。在时，i达到稳态值的0.63倍。
二． 已通电RL电路的短接
但开关未接通时电路处于稳态，开关接通后整个电路倍开关所在的短路线分为两个互不影响的回路：ABCDA和DCFGD，我们只关心前者，选i以及的正方向如图所示，则

把基尔霍夫第二定律应用于回路ABCDA中，有，因此得到微分方程

解得上式的通解为
， 利用初始条件得到特解，

这就是RL电流被短接后的暂态电流表达式。利用其函数曲线可得到其如下特点：
1） 在短接后的暂态过程中，i以指数方式随t减小，最后达到的新的稳态。
2） RL电流短接后暂态过程的快慢也取决于时间常数，不难证明暂态过程经过时间后,i将降至初始值的0.37倍。
§8 RC电路的暂态过程
RC电路的暂态过程就是电容器通过电阻的充电或放电过程，在电子电路特别是脉冲、数字电路中经常遇到。讨论这种过程时，可着重求出电容电压随时间的变化规律，再求其他量。
一、 RC电路与直流电源的接通
如图所示的开关位于接点1时电路处于稳态，然后将开关与接点2连接后电容器电压随 时间的变化规律。以分别表示电容和电阻上的电压。其正方向如图所示，则有
以i代表RC电路的电流，则 于是

下面我们将找出i和的关系。I是单位时间内自左向右流进电容器左板的电荷，即 ， 其中q代表电容器左板内壁的电荷，它与又有关系：，于是得到

这就是满足的微分方程，解得通解为

由初始条件得到特解为
显然以指数方式随t增大，最后达到稳定值。这个暂态过程也就是电源通过电阻对电容的充电过程，过程的快慢取决于乘积RC，我们称之为RC电路的时间常数，其意义与RL电路的时间常数类似。
二、已充电RC电路的短接
将图中的开关位于接点2时处于稳态，改置于接点1处。改置后有，即， 以及 解得方程的通解并利用初始条件为

因此在这一暂态过程中以指数方式渐降为零，下降的快慢取决于时间常数ＲＣ。
将RL电路与RC电路加以比较，应该注意到RL电路中电流不能突变，而RC电路中电流可以突变，但电容器上的电量不能突变。这是两种暂态过程的不同点。
§9 RLC电路的暂态过程
一、 已充电RLC电路的短接
设RLC电路的电容实现被充电至电压U，我们来研究开关接通后的暂态过程。此时电容通过RL电路放电，电容器电压随时间发生变化。根据电流的基本规律，我们选出的正方向如图所示，可得到

由于的正方向相同，所以有，，根据的正方向以及q的状态，可的
于是上式可表示为

这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，求解过程比较复杂，我们不作介绍，下面仅仅对可能得到的两种特解分别进行讨论。
1）时，电路出现振荡放电过程。
在上述条件时，微分方程满足初始条件的特解为

其中
按照上式可画出电压与时间的关系曲线。不难看出电容电压振幅随时间而衰减的正弦量，因此这种暂态过程称为阻尼振荡放电过程。在衰减的振荡过程中，由于电路中没有外加电源，所以这种振荡过程称为自由振荡，而称为自由振荡角频率，略大于称为电路的谐振角频率。在的理想情况下，RLC电路可简化为LC电路。得到电压为等幅振荡，其物理过程可分为四个阶段。
第一阶段开始时，电容已被充电，开关接通后电容通过线圈放电。由于电感线圈的自感电动势阻碍电流的增加，所以放电电流只能逐渐增大直至放电完毕。电容储存的能量全部转化为线圈中的能量。
第二阶段开始时，由于线圈力图保持电流不变，从而使电容被反向充电，其电压用负值表示。随着电容的充电电压的绝对值不断增加而电流不断减少直至电流降为零，电容的充电才停止。电容电压绝对值达到最大。线圈中的能量全部转化为电容的能量。
第三阶段电容又开始放电，此阶段和第一阶段相似，不同的是电压和电流的方向和正方向相反，结束时电容的能量全部转化为线圈的能量。
第四阶段电容又被充电。此阶段与第二阶段相似，不同的是电压的方向和正方向相同，而电流的方向和正方向相反。此阶段结束时线圈的能量全部转化为电容的能量，至此电路状态完成一个周期的变化。
2）时，电路出现非振荡的放电过程
在此条件下，方程满足初始条件的特解为

其中
不难看出以上两个参数均为负值，因此电压随时间的推移而单调地下降，不会出现振荡。放电过程进行的很缓慢，称为阻尼状态。
在时方程满足初始条件的特解简化为，电压随时间的推移而单调下降，但放电过程进行的较快，称为临界阻尼状态。
以上几个情况的曲线见图123曲线。
§11 磁能
一、自感线圈的此能
在如图所示的实验中，当电键打开后，电流已不再向灯泡供给能量了，它突然强烈地闪亮一下所消耗的能量从哪里来的呢？由于使灯泡闪亮的电流是线圈中的自感电动势产生的电流，而这电流随着线圈中的磁场的消失而逐渐消失，所以可以认为使灯泡闪亮的能量是原来储存在通有电流的线圈中的，或者说是储存在线圈中的磁场中的。因此，这种能量叫做磁能。自感为L的线圈中通有电流I时所储存的才能应该等于这电流消失时自感电动势所做的功。这个功可计算如下：以idt表示在短路后某一时间dt内通过灯泡的电量，则在这段时间内自感电动势做的功为

电流由起始值减小到零时，自感电动势所做的总功就是

因此，具有自感为L的线圈通有电流I时所具有的磁能就是

这就是自感磁能公式。
对于磁场的能量也可以引入能量密度的概念，下面我们考虑一个特例，来导出磁场能量密度公式。考虑一个螺绕环，书中例题17.6中已求出螺绕环的自感系数为

利用自感磁能公式，通有电流I的螺绕环的磁场能量是

由于螺绕环管内的磁场，所以上式可以写作

由于螺绕环的磁场集中于管内，其体积就是V，并且管内磁场基本上是均匀的，所以螺绕环管内的磁场能量密度为

利用磁场强度，上式还可以写成

此式虽然是从一个特例中推出的，但是可以证明它对磁场普遍有效。利用上式就可以求得某一磁场所储存的总能量为

此式的积分应遍及整个磁场分布的空间。但由于铁磁质具有磁滞现象，该公式对铁磁质不适用。
二、互感线圈的磁能
下面计算两个互感线圈在稳态时的磁能。稳态时两个线圈的电流为。为计算磁能可计算在建立这两个电流的过程中所需要的附加功。由于磁能为磁场所具有，无论两个电流的建立过程如何，磁能应该一样，因此可选择一个最便于计算的过程，如下所示。
首先令开关1接通，2仍断开，计算i1从零增到I1时电源所作的附加功。由于这个过程中i2=0，线圈1没有来自线圈2的互感电动势，电源的附加功就是克服自感电动势的功，则

其次在i1达到稳定值后接通开关2。由于在暂态过程中i2是时变电流，它将对线圈1提供互感电动势，于是i1再次变化。为了简化计算，可利用磁能不因电流的建立而异的事实设计下面的想想过程：在线圈1所在的电路中串入一个附加电源，其电动势随时间而变，变换的规律恰与i2提供的互感电动势相抵销，使i1在I2建立过程中保持为稳定值I1。这时消耗自身能量做功的电源共有三个，即。现在分别考虑它们的功对磁能的贡献。 i2 对线圈1的互感电动势已被所抵销，故开关S2接通后电路1的方程一直保持如下的简单形式：或，即任一dt时间内的功全部转化为R1所消耗的焦耳热，因而对此能没有贡献。又由于i1不变，线圈2只存在自感电动势，所以
或者
所以在dt内的功除了供给R2发热外还对磁能提供了大小为的贡献。在从零到的全部时间内的功对磁能的贡献为

最后考虑的贡献。由于与来自线圈2的互感电动势等值异号，即

所以dt时间内的功为。这个功应全部转化为磁能。在i2由零到I2的全部时间内对磁能的贡献为

合并以上几个公式可得两个线圈在稳态使的总磁能为

如果先接通S2后接通S1重复以上讨论可得

对比以上两式得到

因此两个线圈的总磁能可写为

上式只适用于当I1和I2激发的磁通互相加强的场合，当当I1和I2激发的磁通互相削弱时，上式应写为

其中I1和I2理解为算术量，只取正值。
23