从一道模拟题谈抛物线与其根轴圆的位置关系.pdf

从一道模拟题谈抛物线与其根轴圆的位置关系福建省仙游县华侨中学（）严志伟 试题呈现?图 如图 ，抛物线 与动圆：（）（）交于，四个不同点（）求 的取值范围；（）略这是 年广东省江门市一模试题题 ，本题的答案是槡 本题内涵丰富，涉及抛物线与其根轴圆的位置关系问题，不应解完即止，可引导学生进行深入探究 探究一般性结论对于一般的抛物线 ：（），动圆：（）（），有什么类似的结论？设 （，）（）为抛物线 ：（）上任意一点，它与圆心（，）的距离 （）槡（）槡 （）槡（）槡（）若 ，即 ，则当 时，取最小值 这时若，则抛物线 圆与圆相切于顶点，且这两曲线有且仅有这一个公共点；若 ，即 ，则当 时，取最小值 槡 这时若 槡，则抛物线 与圆 相切于两点，两切点的横坐标都是 ，且这两曲线有且仅有这两个公共点 由此可得关于抛物线与其根轴圆位置关系的一个性质命题 抛物线 ：（）与动圆：（）（）相切于原点，且无其他公共点；抛物线：（）与动圆：（）（）相切于两点，两切点的横坐标都是 ，且无其他公共点由此容易得到推论 对于抛物线 ：（）和动圆：（），若 ，则（）抛物线 与动圆 有 个公共点；（）抛物线与动圆有 个公共点（均为非切点）若 ，则（）槡抛物线 与动圆有 个公共点；（）抛物线 与动圆 有 个公共点（均为非切点）；（）抛物线与动圆有 个公共点（个切点，即原点，个非切点）；（）槡 抛物线 与动圆有个公共点（均为非切点）特别地，当 ，时，由推论 的（）得槡 即槡 这就是上述试题的答案当 ，时，由 （）槡 槡 这就是 年高考全国卷 理 （）的答案推论 对于抛物线 ：（）和动圆：（），抛物线 与动圆 有公共点 ，或，槡；抛物线 与动圆无公共点 ，或，槡类似地，有命题 抛物线 ：（）与动圆：（）（）相切于原点，且无其他公共点；抛物线 ：（）与动圆：（）（）相切于两点，两切点的纵坐标都是 ，且无其他公共点推论 对于抛物线 ：（）和动圆：（），若 ，则（）抛物线与动圆有 个公共点；（）抛物线与动圆有 个公共点（均为非切点）；若 ，则（）槡抛物线与动圆有 个公共点；（）抛物线 与动圆 有 个公共点 年第 期中学数学研究（均为非切点）（）抛物线与动圆有 个公共点（个切点即原点，个非切点）；（）槡 抛物线 与动圆有个公共点（均为非切点）推论 对于抛物线 ：（）和动圆：（），抛物线 与动圆 有公共点 ，或，槡；抛物线 与动圆无公共点 ，或，槡 探究结论的应用上述结论揭示了抛物线与其根轴圆的位置关系 应用之可简捷解决有关的试题及数学问题例（数学通讯 年第 期（上）实数为何值时，圆 与抛物线 有两个公共点？简析：圆的方程即（），若 ，由条件据命题 推论 的（），得，则 ；若 时，据命 题 及 其 推 论 的 （），得 （）槡或 ，则 或 综上可得，或 例（年全国高考重庆卷）设圆 位于抛物线 与直线 所围成的封闭区域（包含边界）内，则 圆 的 半 径 能 取 到 的 最 大 值为简析：由题知 ，半径取得最大值的圆必与抛物线相切于两点，且与直线 相切 由此据命题，圆 的方程为（）（），其中 槡 可求得 槡，进而得 槡 这就是圆的半径能取到的最大值例 若酒杯的轴截面为抛物面，其边界的方程为 ，一个半径为 的小球置于酒杯中，当 的范围为多少时，球可触及酒杯底部？简析：本题实质上是求抛物线 与圆（）（）相切于抛物线的顶点（坐标原点）且无其他公共点时 的范围 据命题，且 ，即 ，故 的范围为（，例 （年全国高中数学联赛试题）设 （，），（）（）且 ，求实数 的取值范围简析：本题实质上是求圆（）在抛物线 内部（含相切）时实数 的取值范围，且有 由此及命题 及其推论 ，得，或，（）槡，解得 或 ，则 例（日本中央大学自主招生试题）求抛物线 与圆（）公共点的个数简析：，据命题 及推论 ，若 且 ，或 且 （）槡，即 或 时公共点的个数为；若 且 ，即 时公共点的个数为；若 且 （）槡，或 且 ，或，即 或 时，公共点的个数为；若且，即 时公共点的个数为 ；若 且 （）槡，即 时公共点的个数为 例 已知直线 的方程为（），椭圆的中心为（，），焦点在 轴上，长轴长为，短轴长为 ，一个顶点为 （，）若椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点 的距离等于该点到直线 的距离，求 在取值范围简析：依 题 意 知 这 四 个 不 同 的 点 为 椭 圆（）与以（，）为焦点、：（）为准线的抛物线 （）的交点 令，得圆（，），和抛物中学数学研究 年第 期线，（），有四个不同交点 则，据命题 的推论 的 （），得 （）（）（）槡，（）（）檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻圆锥曲线中两类定值问题的等价刻画重庆市铜梁二中（）李波 文 考察了圆锥曲线的一个定点问题：在圆锥曲线 上任取一点 ，过 作两条斜率分别为，的直线，且，交 于 ，两点，若（或）为定值，直线 是否过定点？本文将探究两类类似的定值问题，并给出等价刻画图 性质 如图 ，过点 （，）（）的两条不同直线，交椭圆：（）所得的两弦 ，的中点分别为 ，分别是，的斜率，则（）以 下 条 件 等 价：（），；直 线 轴 或 恒 过 定点 ，()；（）以下条件等价：，；直线 轴或恒过定点 ，()证明：设 的方程（）与椭圆 的方程联立，消 并整理得（）（），则，（）（）将（）中的 用 替换得，（）的证明：先证，由于 ，故 当 时，可得（因）此时，即直线 过 ，()当 时，有（）（）（）（），而 ，则 ，故 （）（）若，则 ，即 轴 若，则直线 的方程 （），令 得 ，即（）（）（），整理得 综上，直线 轴或恒过定点 ，()，即 成立再证：若 轴，则，即（）（），而 ，故 是定值 当 恒过 轴上的定点（，）（）时，（）若 不存在，即 ，则，是关于 的方程的根，由根与系数的关系可得（）；年第 期中学数学研究