抽象函数单调性的判定及应用.doc

例谈抽象函数单调性的判定及应用
湖南省张家界市武陵源一中 高飞 颜建红 电话[phone] 邮编：427400
抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题，一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。解法灵活，因此它对发展同学们的 抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。下面就抽象函数单调性及应用问题举例分析，供大家参考。
例1， 定义在R上的函数f(x)满足，当x>0时f(x)，且对任意x,yR都有，若 （1）求 ⑵证明对任意有恒成立且f(x)在R上是增函数 ⑶解不等式
分析;恰当赋值可求函数值，用定义可证单调性，应用单调性可解不等式
解; （1） ⑵令由=
得，当时==
其中故对任意有恒成立。设且则由=>
在R上是增函数⑶，即由⑵知
2-所以原不等式的解集为
点评: 单调性定义是判断抽象函数单调性的重要方法，抽象函数不等式问题关键是利用函数的单调性“脱去”化为一般的不等式来解。本题背景函数为指数函数。
例2，函数f(x)满足都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3,并且当x>0时, f(x)>3
(Ⅰ)求证f(x)是R上的增函数 ⑵若f(3)=6,解不等式f(a2-3a-9)<4.
分析:用定义证明单调性，变形技巧:
证明: 设且则，因为= f(x1)+ f(x1)= -3>
0， 所以f(x1)< f(x2)，即f(x)是R上的增函数 ⑵f(3)=，
.所以f(a2-3a-9)<4.即f(a2-3a-9)< ，在R上是增函数 a2-3a-9<1解得-2<<5即不等式f(a2-3a-9)<4的解集为。
点评: 单调性定义证明利用题设使抽象的问题变为比较与3的大小的具体问题。本题中的隐含条件不可忽视，本题背景函数为一次函数。
3，定义在（0，+）上的函数f(x) 对任意x,yR都有 且当时f(x)，（1）求 ⑵求证，判断f(x)在（0，+）上的单调性并说明理由 ⑶若求实数的取值范围
分析:用好函数一系列的已知条件，注意变形技巧:的使用可正确解题
解; （1）， ⑵=0，
。设，
<或 f(x1)< ,在（0，+）上是增函数 ⑶由⑵知得，所以原不等式的解集为
点评: 本题运用单调性“脱去”时不能忽略f(x)的定义域，否则会出错，注意等价命题的证明，要证，不妨先证，本题背景函数为对数函数。
4，已知函数f(x)定义域为R满足f(x)>0对任意x,yR都有，，（1）求，⑵求证且判断f(x) 的单调性，⑶当时恒成立求实数的取值范围
解析；=，，f(x)= 所以f(x)是R上的增函数⑶由⑵知对恒成立所以得。
5, （天津卷)已知函数f(x)=，若，求实数a的取值范围
解析；本题解答的关键是正确作出函数的图象，概括出函数在R上是单调递增函数，所以由。
6，(江苏卷)已知函数f(x)=求满足不等式的取值范围
解析；由函数f(x) 函数特征将不等式化为，解得
7，辽宁卷已知偶函数f(x)在区间上单调递增求满足的取值范围
解析；由偶函数性质得，又f(x)在区间上单调递增解得
点评：运用偶函数性质可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解。