带凹凸非线性Kadomtsev-Petviashvili方程解的存在性.pdf

第 卷 第 期 年 月 文章编号:()中图分类号:文献标识码:带凹凸非线性 方程解的存在性陈佼苹 林美琳(福建师范大学 数学与统计学院 福建 福州 莆田学院 数学与金融学院 福建 莆田 )摘 要:简要介绍 方程解的研究现状 运用变分方法研究带凹凸非线性 方程解的存在性 借助 流形可以得到在 中 方程至少有一个非平凡解关键词:流形 各向异性 嵌入 变分方法 方程 收稿日期:基金项目:国家自然科学基金资助项目()作者简介:陈佼苹()女福建莆田人 级硕士研究生林美琳()女福建莆田人副教授 ():.:引言 方程在流体力学、气体动力学和理论物理学等领域的研究中得到广泛应用 与该方程相关的波具有有趣的物理特性考虑如下带凹凸非线性()方程:()()式()中 是 定 义 下 的 希 尔 伯 特 空 间()()()()()引理 当 ()嵌入是连续的 当 ()嵌入是紧的引理令 满足:当 时有 的一个极小化序列那么存在一个序列()使得()包含一个收敛子列 特别地 当 对于子列 假设存在()使得:()()定义 ()它的子列也记成通过引理得到在上 在()上 在 上几乎处处存在 通过 定 理 可 得 于是 可以得到:()()通过式()以及的性质可知 所以 可以得到 从 的定义和范数的弱下半连续性 可得 第 期陈佼苹 等:带凹凸非线性 方程解的存在性定理 的证明在 上定义泛函 如下:()引理存在 对所有()恒有 成立证 若对所有 恒有 那么对 有()()于是:()()由()可得到:()令:()()()其中()()()那么对所有 由式()、式()可得:()()因为()()()说明当 足够小时 对所有 有()这与式()矛盾 故存在 使得当 ()时 通过引理可得 对()可以表示为 在此定义()引理对于()如果是在中的极小值 那么在 中()证 令()()如果 是 在 上的局部极小值 那么 是()关于()的极小值 通过拉格朗日乘数法 存在 在 中有()()于是()()因为 故 因为()()()所以 可推知()引理 对任意 定义()()那么有以下结论:)有唯一 ()使得 ()()在不等时()是一个连续函数)()存在唯一 ()使得 ()()引理 对于所有 ()具有强制性且在 中下有界证 对于 有:根据霍尔德不等式和杨氏不等式有:()()()()()年 月 ()()()()()()()()()()()()()故对于所有 ()引理 成立接下来证明当 ()时 式()有非平凡解这里存在序列 使得()()()()当 足够大时 有:()()()()()故 有界 则在 中有 在 中有 因为 ()根据霍尔德不等式有 现在证明在 中 如果不成立 那么 ()()矛盾故在 中 ()有 若 通过引理 这里有唯一 和使得 这里存在 (使得()()于是()()()()矛盾 所以()通过引理 可得 是式()在 中的一个解 证毕参考文献:李颖 刘建国 阳连武 等.()维广义 方程新的精确周期孤立波解.数学物理学报():.张雪 孙峪怀.广义的()维 方程的动力分析及其行波解.数学物理学报():.杨梅.()维变系数 方程新的孤子型解.南昌大学学报(理科版)():.郭克新 邹卫东 等.方程的精确解.应用数学(增刊):.():.():.责任编辑 林振梅