创设真实情境浸润数学文化——以2023年高考数学全国卷试题为例.pdf

创设真实情境 浸润数学文化 以 年高考数学全国卷试题为例吴俊英(厦门市实验中学福建厦门)摘 要:在分析 年高考数学全国卷中的数学文化试题后发现:数学文化类试题数量较少数学文化类型分布集中在数学与生活、数学与科技两个类型主题领域分布不均衡“概率与统计”最多试题通过创设自然真实情境合理控制阅读难度、知识点个数、运算量等来契合试题要求层次和考生认知水平.高三试题命制应创造性使用教材注意均衡各数学文化类型课堂教学应依托情境化设计关注阅读、思考、表达闭环训练培养学生应用能力浸润数学文化.关键词:数学文化真实情境高考 普通高中数学课程标准(年版 年修订)指出“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义以及与数学相关的人文活动”.年高考对数学文化的考查主要体现在创设自然真实情境从现实生活情境、科学研究情境及劳动生产情境出发合理控制阅读难度、抽象程度、运算量使情境化试题契合试题要求层次和考生认知水平.为明晰当前高考试题中渗透了哪些数学文化以 年高考数学全国卷试题为文本对象进行统计分析与讨论以期为高三复习提供启示与建议.数学文化试题特征分析 整理、分析 年高考数学试题从试卷、题型与题号、试题背景、考查内容知识点、考查内容主题及文化类型六个方面对全国甲卷(文科、理科)、全国乙卷(文科、理科)、新课标卷、新课标卷六套试卷中的数学文化类考题进行统计、归纳如下表.基于已有研究依据张维忠等人关于高考数学试题中数学文化的分类标准将数学文化内容类型分为数学史、数学与人文艺术、数学与科技、数学与生活四类.表 年高考数学全国卷试题的数学文化试题统计试卷题型题号试题背景考查内容知识点考查内容主题文化内容类型阅读量新课标卷多选题 噪声污染问题对数运算、对数函数模型函数数学与科技中等新课标卷填空题 选修课选课方案两个计数原理、组合计数概率与统计数学与生活少量新课标卷解答题 投篮命中问题全概率公式、数列递推公式、离散型随机变量的均值、数列求和概率与统计数学与生活中等新课标卷单选题 体育运动分层随机抽样、分步乘法计数原理、组合计数概率与统计数学与生活少量新课标卷多选题 信号传输相互独立事件的概率、互斥事件的概率、二项分布概率与统计数学与科技大量新课标卷解答题 患病漏诊率误诊率问题频率分布直方图、总体百分位数、分段函数的最值概率与统计数学与科技大量全国甲卷理科数学选择题 足球、乒乓球俱乐部报名问题集合元素个数、条件概率概率与统计数学与生活少量全国甲卷理科数学选择题 社区志愿服务两个计数原理、排列问题概率与统计数学与生活少量数学之友 年第 期基金项目:厦门市教育科学“十四五”规划 年度课题数学文化融入函数主题的单元教学实践研究(课题编号:).续 表试卷题型题号试题背景考查内容知识点考查内容主题文化内容类型阅读量全国甲卷理科数学解答题 药物抑制作用问题超几何分布分布列与期望、中位数、独立性检验概率与统计数学与科技大量全国甲卷文科数学选择题 文艺汇演问题分步乘法计数原理、组合计数、古典概型概率与统计数学与生活少量全国甲卷文科数学解答题 臭氧效应问题样本数字特征(平均数、中位数)独立性检验概率与统计数学与科技大量全国乙卷理科数学选择题 课外读物选择分步乘法计数原理、排列组合数运算概率与统计数学与生活少量全国乙卷理科数学解答题 橡胶产品伸缩率样本数字特征(平均数、方差)数据分析统计决策概率与统计数学与科技大量全国乙卷文科数学选择题 主题作文比赛分步乘法计数原理、排列数、古典概型概率与统计数学与生活少量全国乙卷文科数学解答题 橡胶产品伸缩率(同理科)样本数字特征(平均数、方差)数据分析统计决策概率与统计数学与科技大量.试题文化类型分析 年全国高考统一命题数学试题中的数学文化题总数较少仅有 道题数学文化试题类型分布不均衡但贴近生活便于学生学习兴趣的培养.试题以数学与生活、数学与科技为主阵地从现实生活情境(如新课标卷第 题全国甲卷理科第 题新课标卷第 题)、科学研究情境(如新课标卷第 题新课标卷第 题全国甲卷理科文科数学第 题)及劳动生产情境(如全国乙卷理科文科第 题)出发充分体现了数学与实际生活息息相关增加高考数学试题和社会生活、科技生产等的联系可以使数学更加贴近现实生活拉近学生和数学之间的距离提高学生学以致用的能力培养学生应用数学的意识更多关注学生综合解决问题的能力.试题的突出特点有以下两点:一是以人员安排、体育比赛等为背景的试题较多以科技创新为背景的试题偏少二是对数学史给予的关注度不够数学史、数学与人文艺术今年没有直接考查.试题知识主题分析 从知识主题的统计分析发现数量分布最多的是“概率与统计”主题试题总数为 道其次是“函数”主题试题总数为 道“几何与代数”主题和“数学建模活动与数学探究活动”没有考查.总体来说除了新课标卷第 题其他试题综合难度不高.每个试题知识点含量有所提升从知识点个数来看结合的知识点数量以 个或 个为主主要考查学生对基础知识的理解和基本技能的应用解答题中 个及以上知识点的考查占比在逐年增高.试题题型及阅读量分析 从试题题型的统计分析发现选择题有 道填空题 道解答题 道.在数学文化考查方式上更多地发挥了选择、填空题行文简洁凝练答案简短、明确、具体评分客观、公正、准确等特点.同时都有一道题以解答题形式考查数学文化.按照阅读量分类标准:试题字符数在 以内为少量试题字符数在 之间为中等试题字符数在 以上为大量.今年试题阅读量控制题干字数表达严谨精简情境化设计简洁贴近现实社会.统计得阅读量少量为 道中等为 道大量为 道.在阅读量上选填题多以中等为主需要学生拥有快速阅读提取信息整合信息的能力.解答题的阅读量字符数一般较多需要学生进行文字语言与数学语言的相互转化试题既提高了数学知识的关联程度也提升了试题本身的阅读难度.典型试题欣赏与评析 年高考数学文化的渗透聚焦在数学与科技、数学与生活两个内容上.在数学与生活试题中背景涉及到体育、选课、社区服务、文艺汇演、作文比赛等等能让学生深切体会到数学无处不在.既体现了数学的应用价值也具有育人价值能够提高学生的社会意识与社会责任感.例(新课标卷第 题):甲、乙两人投篮每次由其中一人投篮规则如下:若命中则此人继续投篮若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何甲每次投篮的命中率均为.乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第 次投篮的人选第 次数学之友 年第 期 投篮的人是甲、乙的概率各为.()求第 次投篮的人是乙的概率()求第次投篮的人是甲的概率()已知:若随机变量 服从两点分布且()()则().记前 次(即从第 次到第 次投篮)中甲投篮的次数为 求().点评:本题以考生熟悉的篮球投篮作为情境设计新颖将概率问题融入两人的连续投篮练习中.前两个设问考查事件的关系根据全概率公式与条件概率从随机过程分支中找数列的递推关系进而解决问题.考查考生的逻辑思维能力考查考生对复杂事件的分解和转化的能力.求解的关键是问题背景中前后试验具有密切的关联性其概率的内在联系决定了数列的递推关系而递推关系的数学本质是全概率公式.第 问考查离散型随机变量的期望需要在较为复杂的情境中明晰各信息之间的联系用数学符号、文字语言表达问题对随机变量进行分析和转化逐步将问题解决.求解关键是用数学的眼光发现此题的研究对象将题目转化为数学问题并借助数学语言和思维对题目进行表达进而解决问题.本题是一个“马尔可夫链”问题.马尔可夫链是一个著名的概率模型它描述随着时间的推移各个不同状态间的相互转化在自然科学和社会科学中有着广泛的应用.马尔可夫性可以解释为:在已知现在的情况下将来的随机变化规律与过去发生的事件无关即未来状态 只受当前状态 的影响与之前的 无关.在现实生活中很多随着时间变化的随机变量序列都具有马尔可夫性.一般地我们称具有马尔可夫性的随机变量序列为马尔可夫链.在实际应用中可以通过问题的背景直接判断随机变量序列是否具有马尔可夫性.教材和各地模拟题中也有相关的习题可以供拓展练习使用.拓展练习(人教 版数学选择性必修第三册第 页第 题):如图一个质点在随机外力的作用下从原点 出发每隔 等可能地向左或向右移动一个单位共移动 次.求下列事件的概率.()质点回到原点()质点位于 的位置.拓展练习(人教 版数学选择性必修第三册第 页第 题):甲、乙、丙三人相互做传球训练第 次由甲将球传出每次传球时传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人求 次传球后球在甲手中的概率.启示与建议 结合杨正朝、曹文杏等人对近些年数学文化试题的研究 联系前文对 年试题总体特征的分析及个别试题的赏析发现了一些命题特征由此为试题的编制和教师课堂教学提出以下几点建议.基于教材进行试题编制二次加工教材创设情境 高考评价体系强调“无情境不成题”强调试题的情境设计和创造.各版数学教材中提供了很多的情境不仅在新授课时应重视在高三复习时也应回归教材尤其重视引言、旁白、探究、阅读与思考等内容梳理可渗透数学文化的材料根据教学内容改编教材情境试题.年高考理科数学全国卷第 题 年高考理科数学卷第 题也都是基于马尔可夫链的概率问题.实际上普通高中课程标准实验教科书数学选修(版)风险与决策中第四讲马尔可夫型决策简介详细介绍了马尔可夫链问题但显然部分教师对这部分内容缺乏足够的重视.高考数学试题的命制来源于教材又高于教材教师可以多阅读各个版本的教材并从中积累素材试题编制时关注文字的精炼合适控制文字数量和阅读理解对问题难度的影响适当均衡各部分内容让学生充分体会到数学的重要性.在数学与生活的选材上除了关注个人生活背景可以关注结合社会热点、社会公共生活在数学与科技的选材上注意材料要与时俱进契合时代背景关注最新科技研究成果与数学的联系在数学史的选材上除了数学名家、数学名题、数学名著还可以用我国古代数学优秀成果和中华优秀传统文化来凸显文化自信.此外需要关注数学文化在人文艺术方面的应用以更为丰富的数学文化内容和更多元的数学文化类型彰显数学文化的价值意义.课堂教学关注阅读、思考、表达闭环训练培养学生应用能力 通过对数学文化类试题的分析发现近些年高考试题的情境越来越真实复杂且解答题字符数目较多更加注重考查学生阅读理解和信息整合能力.教师应该重视高考命题趋势调整教学.课堂上要给学生完整的阅读、思考、表达等基本活动的体验经(下转第 页)数学之友 年第 期.感真正有效衔接起教学与改革的对接增加教学与学习的导向作用.例(年高考数学全国乙卷理科文科):已知()是偶函数则().分析:以基本的形式来设置函数的奇偶性进而确定参数值问题.最基本的方法就是特殊值代入与验证而定义法的应用是解决问题的最基本的技巧与方法.无论应用哪种方法都应给考生更多的切入点与创设更多的机会.解析:依题知()是偶函数根据偶函数的定义可知对任意的 都满足()()则有()()对比系数可知解得 故选择答案:.点评:抓住含参函数是偶函数的性质借助偶函数的定义()()综合幂运算来转化与应用.而在具体解题时还可以通过取特殊值来验证达到目的如()()注意对所求解的参数值进行合理的取舍还可以利用导数法来尝试与应用通过研究()是奇函数来达到目的.年高考数学乙卷命题整体布局坚持“立德树人”坚持为华铸魂.习近平总书记多次在公开场合或会议上强调要加强基础性学科培养如数学物理化学等基础学科创新是一个民族的生命力国家科技创新力的根本源泉在于人.十年树木百年树人.要把教育摆在更加重要位置全面提高教育质量特别注重培养学生创新意识和创新能力.而 年高考数学乙卷试题则有着重要引领示范作用整套试卷稳中求新难易安排有度让扎扎实实学过来的孩子有回报感让有天赋的孩子也能够获得与别人对比的自豪感反套路反刷题重在“四基”与核心素养的考查与应用.这也将对高中数学教学与学习起到非常积极的引导作用发挥指挥棒的功能.参考文献:刘海涛万胜.探析高考真题明晰备考方向 对 年全国乙卷数学试题的评析.高中数理化():.教育部教育考试院.深入考查基础知识和能力助力人才选拔和“双减”落地 年高考数学全国卷试题评析.中国考试():.(上接第 页)历从阅读到理解再到应用的过程形成课堂教学闭环.教师应重视与现实生活的联系设置或选择真实复杂的问题情境锻炼学生从情景中抽象出数学问题、进行数学阅读的能力培养学生用数学的眼光观察世界的习惯.接下来围绕问题的解决教师引导学生开展学习教师在教学设计中应注重基本概念的理解与应用在教学活动中充分展示数学本质重视具体知识与技能的生成过程用数学的思维思考世界.最后用数学的语言表达世界鼓励学生探索创新自主创设符合问题的试题情境.总之以情境为载体的高考命题秉承立德树人的教育理念渗透数学文化坚持以文化人以文育人.高三试题命制应创造性使用教材注意均衡各数学文化类型课堂教学应依托情境化设计关注阅读、思考、表达闭环训练培养学生的应用能力浸润数学文化.参考文献:中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(年版 年修订).北京:人民教育出版社.教育部教育考试院.深入考查基础知识和能力助力人才选拔和“双减”落地 年高考数学全国卷试题评析.中国考试():.张维忠金月丹.高考试题中的数学文化内容类型研究 基于近 年高考试卷的量化分析.中学数学月刊():.余建国.过程分支类概率问题的数学本质与求解方法.中小学数学():.杨正朝吴京霖王宽明.高考数学文化类试题评析 以 年高考数学全国卷为例.辽宁师专学报(自然科学版)():.曹文杏胡余旺.高考数学中数学文化类试题特征及其评析:以 年全国卷、卷、卷为例.教育测量与评价():.数学之友 年第 期