高考数学一轮复习备用题 第5单元 导数及其应用.pdf

第五单元导数5.1导数的概念及其运算1.（2021.新疆乌鲁木齐模拟）计算定积分B-I2x-：c.22)11D.2【答案】B【解析】卜-：母=耳+：卜=22-1 2+g _=g,故选 B.5712.（2022.山东师范大学附属中学模拟）已知/5）=52+诂田+金,小）为小）的导函数,2则/（X）的图象是（)1 9【解析】v f(x)=-x2+sin=+co sx,/./(x)=-x-sinx,二函数/（%）为奇函数,排除B、D.又于71=-l=短的两条切线，贝N）A.g ea b q 0 a eb）0 b,即取得坐标 在x轴上方，如果力）在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.点3在x轴或下方时，只有一条切线.如果乃）在曲线上，只有一条切线；（为力在曲线上侧，没有切线；由图象可知乃）在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知人一.故选D.7.（2022.内蒙古乌海模拟）已知函数“X）及其导数尸（X）,若存在与使得“X。）=/（%）,则称/是/（X）的一个“巧值点”，给出下列四个函数：/（x）=f；/（司=/二/（x）=lnx；x）=tanx,其中有“巧值点”的函数是（）A.【答案】BB.C.D.【解析】x)=Y,fx)=2x,f=2x,x=0,X=2,有“巧值点”;/（x）=-于二=二，无解，无“巧值点”；1 1 1 1/（九）=如九，f（x）=-,lnx=-,令g（x）=lnx,g（l）=-l0.由 xx x e零点在性定理，所以在（1,。上必有零点，有“巧值点”；/（x）=t anx,/（%）=,=t anx,sinxco sx=l,即sin2x=2,无解所以/（%）co s x co s x无“巧值点”.所以有“巧值点”的是，故选B.1 0.（2021内蒙古包头模拟）设函数/（同=三，若/=，则=.【答案】2【解析】由耳=三可得，r（x）=匕/，所以/（2）=二=，解得=2.n.（2021山西太原模拟）若曲线y=ln（3x-8）与曲线y=v3x在公共点处有相同的切线,则该切线的方程为.【答案】y=3%9Q 3【解析】设公共点为5,%）,由y=ln（3x8）,（无彳），则？=二，3 5x o3y=x2-3x,贝lj y=2x 3,所以-=2x0-8,解得%=3,JXq-o所以为=o，y lf=己=3,所以切线的方程为y。=3（%-3），即y=3x9.1 2.（2021河北高三月考）已知函数%）=*+/则=（）A.2/B.2/C./D.-/答案A解析因为/（n=日+1则/，a）=2e2、2广x,令=1,则-=2e?+2广,所以/=-2e2.故选A.13.曲线/=x+/在点（0（0）处的切线方程为（）A.y=2x B.y=2x+l C.y=3尤 D.y=3x+1答案D解析：/（1）=%+*,/（%）=1+2升，.（0）=l+2=3,又f(0)=1,曲线/=X+/在点(0,/(0)处的切线方程为y=3x+1.故选D.1 4.(2021.沙坪坝.重庆八中高三开学考试)直线y=9x+h是曲线=Y+6x+3的一条切线，则实数().A.T或 3 B.1 或 5 C.-4 D.5答案B解析 因为y=Y+6x+3,所以y=3f+6,令y=3/+6=9,解得x=l,故切点为(1,1。)或(-IT),而=y-9x,所以=1 09=1或8一+9=5.故选 B.1 6.(2021商丘高三月考)不等式 (2)于+口 (1)于n.机对任意八0,r恒 成立，则实数机的取值范围是.答案T 2解析由题意，设 PQ ln)，Q(a 2,a 1),贝|卢0=,(。2)丁+口3(1)丁，即 PQfm2-m,又尸，。分别在曲线/(x)=lnx及直线/：=%+1上，且尸=5 令：=1，解得x=l，且1)=。，所以/在点，L0)处的切线与直线/平行，又点尸到直线/的距离为d二号二行，所以忱。|最小值为行，所以加2相42,解得1 0机V 2.故答案为：T 2.20.(2021.广东高三月考)过定点？(l,e)作曲线)=屐(。0)的切线，恰有2条，则实数 的取值范围是.答案(L+8)解析 由若切点为(%,。/。)，则了二左二/。，切线方程为丁=3(x-x0+l),又P(l,e)在切线上，aex(2-x0)=e,即一在演W 2上有两个不同解，令g(x)=F：即原问题转化为g(x)与 =，有两个交点，而/(%)=，e(2-x)e(2-x)当 x2时，g(x)0,g(x)递增，且叫g(x)-0.当2八 1时，(x)0,g(x)递增；当尤 1时，g(x)递减;A g(x)g(l)=l,又他煎%)f+8,1 Xo且也g(x)f+8,要使a=、在%。2上有两个不同解，即a (1,y).故答案为：21.已知函数/(工)=/+法，g(x)为/的导函数，且/(3)=27,g(3)=3(1)求/的解析式(2)设曲线y=g(x)在点。遥)。0)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S，求 s的最小值.f 1解析(I)f(x)=ax3+bx,所以 g(x)=3x+Z?,所以。解得 327+。=3 7i b=1 21 a所以/(%)=/+1 2%.(2)因为g(x)=f+i2,所以y=g(x)在点1,1 2产)处的切线方程为：y-(1 2-r2)=-2z(x-r),令 x=o,得 y=+1 2,令 y=0,得=1,1/2 1八产+12”/+24+144(3 144、十八“所以5(。=5义卜+12S)=7 f+24%十二一,不妨仅，0(0时，结果一样)时，贝I，所以S(/)=；(3+24竽)=3,+；.48):3(尸 4)(产+12)=32)+2乂/+12),由 s，)。，得g,由 S(/)VO,得 4/4产0t2,所以S在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以-2时，5(。取得极小值，也是最小 值为5(2)=屿|3=32.故选C.22.(2021.江苏南京.高三月考)函数丫=/在点5,/)(eN+)处的切线记为。，直线小ln+1及x轴围成的三角形的面积记为1 1 1 1IJ1|-1-1-F H-=K邑53 臬答案4n n+解析因为y=2x,所以在点(凡/)(N+)处的切线的斜率为左二2,所以切线方程为y-n2=2n(x-n),即(的方程为y=2nx-,VI 9令y=。，得=5，所以乙+i：y=2(+l)x(+l),人 C F M+1令y=。，得=-,由2=2仇+1卜_仇+)2得 y=2nx-n22+1x=-2y=n2+n。1直线/，/用的交点坐标为(号一,/+力，所以直线/“，/用及X轴围成的三角形的面积n2为耳n1+n 1/、1J=-M(zz+1),所以不二n(n+l)n2(2则 LLL.J=4 1+2二+.+，S S2 S3 Sn LI 2J 2 3 U n+11 1 11-1-1-F H-A S2 S3=4 1-W4nn+13故答案为：+123.(2021.陕西榆林十二中高二月考(理)已知函数的导函数/(%),且满足关系式/(x)=x2+3犷(2)+加 工 贝IJ/(2)的值等于()9 9A.2 B.2 C.一 D.-4 4答案D解析因为x)=N+3犷，(2)+加工,所以/(%)=2l+3/(2)+工，x19 9令x=2,则/(2)=4+3/(2)+,即 2/(2)=,解得尸(2)二,故选 D.2 2 1 4ex25.(2021.河南高三月考)已知函数/(=工(x 0).(1)讨论的单调性;(2)当=2时，求曲线y=/(x)过点(2,0)的切线与曲线y=/(x)的公共点的坐标.副士匚，(eXaei Qx(x-a解析(1)f(x)=3二，当10,则/(力在(0,+8)上单调递增；当10时，由/(x)0可得兀；由/(x)0可得0%0)，则广二(丁)(%0).X X设切点为(%,/(%),则切线方程为y/(%0)=/(%0)(%)，ex e%(x0-2)即 y-r-J-L%(X%)用 eo(x-2)z、9将 代入，得一好Mz(2-xo),即与25%+4=0,入0 入0解得：%=1或0=4.y c e I x-1)当天=1时，过点(2,0)的切线方程为)I),即丁=ex+2e由y了ex了，可得-ex+2ex-1y 二 e，公共点的坐标为(Le),当/=4时,4 4 4 4过点(2,0)的切线方程为y L=4)即y=1 x 篙由ex y=r Xe4y x-32 164，可得 ex=4e4y 二1 6(e，、,公共点的坐标为4,-,I 1 6J综上所述：曲线)=/(%)过点(2,0)的切线与曲线)=/(%)的公共点的坐标为(l,e)和5.2利用导数研究函数的单调性1.(2021 重庆期末)已知函数八%)是R上的增函数，A(0,-1),8(3,1)是其图象上的两 点，则一1勺0)1的解集是()A.(-3,0)B.(0,3)C.(8,-1 U 3,+o o)D.(00,0 U 1,+o o)【答案】B【解析】由已知,得火0)=-1,火3)=1,-1勺1等价于70)勺勺(3).7(幻在R上 单调递增，0 x3.故选B.2.(2021 云南昆明摸底诊断测试)已知函数/(x)=e+er,贝U()A.式一亚)也)B.心)投一也)0时，/(x)=ex0,所以函数式x)在(0,+上单调递增.因为也 后。，所以火血)勺(君)勺，又大一行)=找6),所以八一血)勺(君)勺.故选D.1 33.(2021 陕西西安月考)若函数/。)=耳3%2+依+4在区间(0,4)上不单调，则实 数a的取值范围为()A.-4,2C.-4,1D.B.0,1【答案】C【解析】可知(=/3x+=x-；+a，若函数/(x)=；d3/+依+4在区间(0,4)上单调,则尸(%)20或广(%)40在(0,4)恒成立,（3、9 QI I=0（4）=4+6/0,解得a-4或三工，9.函数/(x)=g%3|%2+依+4在区间(0,4)上不单调，4.故选C.4.(2021 陕西宝鸡质检)定义域为R的函数/)的导函数为了(力，满足 r(x)-f(x)eT 的解集为()A.(0,1)口（L+8）D.C(-8,0)D.(-00J)【答案】D解析令g(x)=p+3,求导得g，(x)=(*),(x)-3,V/(x)-f(x)3,gr(x)e-等价于/(“)+3,而且 J+3,.-.g(x)g(l),ex e e eX1.故选 D.5.(2021 河南洛阳模拟)已知函数/(x)=s inx-x+e“-J,其中e是自然对数的底数.若/(/)+/(2。3)co sx-1+=1+co sx 0,函数单调递增，/(a*2)+/(26i-3)0,故/(片)(2 3)=/(3 2q),6z2)【答案】5x2,x 0,【解析】7(x)=x|R=一x2 3%,解得 工石，2、一，+).x的取值范围是5Y 17.(2021 山东日照联合考试)已知函数/(1)=+ln(x+l),其中实数aw1.x+a(1)若a=2,求曲线y=/(x)在点(0,/(。)处的切线方程；(2)若“X)在=1处取得极值，试讨论1元)的单调性.【解析】(1)-(司=x+a(%1)1(尤+a)2 x+16Z+1 1-7-(x+a)尤+1，/、2+1 1 7 1当，=1时，/(0)=3十可=而/(0)=-天因此曲线y=f(x)在点(0，/)处的切线方程为y 7(%0),即7x 4y-2=0.(2)aw1,由(1)知/(1)=0,即，+,=。，解得=3.+1 2此时/(x)=t+ln(x+l),其定义域为(一1,3)。(3,48),X 5且八*由火力。得一，当1 VX7时，r(x)0；当 1 X7且XW3时，fr(x)-l),mx+1/(x)=1 m(x+l)-l(x+l)2(x+l)2当相WO时，F(x)0时，由/得=1-m,-1,mxe-1,-k m时，F(x)0.I 22 i(1 7 A方(x)在-1,-I上单调递减，在I-,+I上单调递增.综上所述，当根V0时，方(X)的单调递减区间是(1,+8)；1 27)(1 YTL当机0时，尸(X)的单调递减区间是-L一，单调递增区间是 二7,+8(2)当xN O时,不等式/(x)N(al)g(x)恒成立,即In(x+1)ST 0恒成立，设 Af(%)=In(X+1)(6Z-1)X x+1g o)则(%)=(x+lx+2 a(%+l)2(SO)1x+1当a42时，Mr(x)0,仅当=2,x=0时，等号成立;M(x)在0,+o o上递增；M(x)M(0)=0;/(%)2(a1)g(x)恒成立；当2时，由“(x)=。，得x=a 2,当x(0,a 2)时，M(x)0,M(x)在(O,a 2)上递减，M(6i-2)M(0)=0,即 3x e(0,a-2)J M(x)0时，r(x)l,则使得成立的X的取值范围是()A.(-o o,-l)u(0,l)B.(-l,0)U(l,+o o)C.(-o o,-l)U(l,+o o)D.(-l,0)U(0,l)【答案】B【解析】由r可得/(%)10,令g(x)=/(x)%,则g(x)=/(x)-l0,故g(x)在(0,+8)上单调递增.因为=所以g(-l)=f(-l)+l=0,又因为了(X)为奇函数，所以g(x)=/(x)7为奇函数，所以g(l)=0,且在区间(8,0)上，g(x)单调递增.所以使得x)x,即g(x)。成立的 的取值范围是(L0)u(L+8).故选 B.1 2.(2021 四川成都模拟)已知函数/(x)=l-x s inx.71TT/TT(1)求函数/(X)=l-x s inx的图象在点I 处切线的方程;122J)(2)证明：函数g(x)=lnx+co sx在区间0,：上单调递增.rTI rTi rTi JT【解】(1)/W=-s inx-x co s%,贝i/(一)=sin-co s=-l,2 2 2 2、TT TT TT TT JT又/(U)=l Lin7=l 二 则函数图像在点-J2222(271717171|J处切线的方程为2222图x+y-l=0.I(ji(2)g(x)=sinx,当xe 0,一%I 4.g(x)=-sin x 0,x故函数g(x)=Inx+co sx在区间1 0,：上单调递增.1 3.(2021 陕西榆林模拟)已知函数/(%)=依2一nx%,a0.(1)试讨论函数/(x)的单调性；(2)若函数/(x)有两个零点，求实数 的取值范围.【解】函数/(X)=ax2 Inx x的定义域为(0,+o o).(1)f(x)=2ax l=-,设 g(x)=2以2%1X X当10时，因为函数g(x)图象的对称轴为x=T-0时，g(%)0,fr(x)0时，令g(x)=。.得=匕互9,9=上叵2 4a 4a当0%2 时，g(x)0,/r(x)/时，g(%)。，/r(x)0.所以函数/(x)在J十？+)/上单调递减，在1+)+8”,+8 上单调递增.(2)若 x)有两个零点，即加一mx x=0有两个解，胆设力(力=电力这,小)21：,设/(x)=l 21 nx x,因为函数方(x)在(0,+8)上单调递减，且方(1)=0,所以当0 x 0,/(x)0,当尤1 时,F(x)0,(x)0.以函数/z(x)在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减，且时，/z(x)-0,/z(l)=l,所以0a。,则不等式/(%2022)In(%2022)0,x 0得ZH+/，()inx0.X设方(x)=/(x)lnx(%0),则尸(%)=Z(l+/，(x)inx 0,X则函数b(x)在(0,+8)上单调递增，且尸=0,则不等式/(X2022)ln(x-2022)0,可化为/(%2。22)0，解得20222023.故选C.x 2022 011 5.(2021 甘肃嘉谷关模拟)设函数/(%)=双2一山工，其中R.(1)讨论/(x)的单调性；(2)求使得/(%)-e-在区间(1,+8)内恒成立(e=2.71 8为自然对数的底数)的 x的取值范围.【解】(1)f(x)=2ax-=-ax21(x0).X X当Q W0时，r(x)0 时，由/(%)=。，有 无=/.此时，当时，r(x)o,/(%)单调递增.综上：当时，/(X)在(0,+“)内单调递减,当Q 0时，/(X)在 0,内单调递减，在单调递增.42a?(2)方法一：令一一，s(x)=e*Tx.JliJs(x)=eTl.而当时，/(x)0,所以s(x)在区间(1,+s)内单调递增.又由s(l)=O,有s(x)0,从而当1 时，g(x)0.当a0,%1 时，/(X)=(X2-1)一inx g(%)在区间(L+8)内恒成立时，必有a 0.当0v时,211由(1)有了0,所以此时/(力 g(x)在区间(1,+8)内不恒成立.当 4；时，令人(%)=/(X)、,1 I 7,/c 1 i-x 1 1 1 x3 2x+1 x2 2x+1当了 1 时，/z(x)=2ax-1-c x-1-0，、/-y/-y*-v*-y-*-y/-y/因此，入 在区间(1,+8)单调递增.又因为为=0,所以当1时，/z(x)=f(x)-g(x)0,即/(x)g(x)恒成立.综上，a 1,+00 2方法二：原不等式等价于在XW。,+8)上恒成立.一方面，令 g(x)=/(1)工+。1-%=ax2-Inx-+e1-a只需g(x)在xw(L+8)上恒大于o即可/(x)-+e1-%0又.g=0,故g(x)在=1处必大于等于0.令下(x)=gr(x)=2ax-e1-x,g(l)0,可得 2.21 7 i 7 i v3 _i_ v _ i另一方面，当时，方()=2以_=+与+、-2_2+二+一 二:一+e】r2 v 7 x3 x2 x3 x2 x3x w(l,+8)故Y+x 2o,又610,故方(x)在4 时恒大于0当4 2；时，尸(X)在X W(1,+8)单调递增.A F(x)F(l)=261-1 0,故g(x)也在Xw(1,+8)单调递增.g(x)g(l)=o,即 g(x)在 XW(l,+8)上恒大于 0,综上，417.已知函数/(x)=ax3-x+sinx(a 金 R).(1)当=工时，证明：函数八X)在H上单调递增；6(2)若/(X)为函数加0的导函数，且/(%)0恒成立，求实数的取值范围.1 1.【解】(1)当。=一时，f(x)=-x-x+sinx,定义域为A,6 6贝1J/(x)=C OSX+g%2 一1,令/z(x)=C OSX+；%21,./z(-x)=/z(x),所以/z(x)是偶 函数，当 x N0时，(x)=sinx+x,h(x)=-co sx+1 0,所以”(x)在0+8)单调递增，则。后旗0)=0,所以可力在。+8)单调递增，所以/z(x)/z(0)=0,因为/z(x)为偶函数,所以当x w R时，/z(x)0,即当x w R时，r(x)0,所以当=工时，函数/(%)在R上单调递增；6(2)ff(x)=co s a:+3ax2-1,(i)当 a0 时，/r(x)=co sx+3ax2-1 3ax2 0时，./(x)=/(x),.,./(%)为偶函数,且/(0)=0,贝1J/(x)=sinx+6o r,令 g(x)=sinx+6o r,贝U g(x)=co sx+6，当。2工时，gr(x)=-co sx+66i-co sx+l0,所以 g(x)在(0,+8)单调递增，故当x 0时，g(x)g(0)=0,即/(x)0,故/(X)在(0,+8)单调递增，所以/(%)/(0)=0,因为/(X)为偶函数，且尸(0)=0,所以当x w R时，/(x 0恒 成立；1(71当0一时，当xw(0,2时，存在七 0,一,使得co s%=6，6 12当0 xM 时，g(x)=co sx+60,g(x)单调递减，故g(x)g(O)=O,即x q o,玉)时，r w o,故/(x)在(0,芯)单调递减，此时/(%)1,Z?1,且满足/一3b=21 nQ ln4，贝U()A.a2 2b B.a2 b2 D.a2 l,i r _ i令/(x)=xlnx(x。)，则广(力=1一一二，:在(。)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，Qal,bl,/.21，2bl,又/(2)=2-Ina2=3/?-ln4/?,:.f(a2)-f(2b)=(3b-ln4b)-(2b-ln2b)=b-ln20,即/(/)2与，.片2，故选A.20.(2021.北京高三模拟)已知定义在R上的函数/(x)的导函数y=/(%)的图象如图所 示，则函数/(司的单调减区间是.Hl【答案】(-8,-2),(2,”)【解析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数=/(%)的单调递减区间为(8,2)和(2,+o o).21.已知函数/(%)=x3 一(炉 x+i).(1)若a=-2,求函数/(x)的单调区间；(2)求证：对任意的“eR,/(%)只有一个零点.解：(1).=2 时，f(x)=1 x3+2(x2-x+l),贝！J f(x)=%2+_ 2=食+2)2 _ 6,令r(x)。，解得:%2+遥或x 2-布，令(x)。，解得：2布x 故g(x)在尺上递增,又g(x)w R,所以3=g仅有1个根,即了只有1个零点.5.3利用导数研究函数的极值、最值1.(2021 广东惠州模拟)设函数段上可导，其导函数为了，且函数9)在x=2处 取得极小值，则函数y=/(的图象可能是()C D【答案】c【解析】函数4元）在R上可导，其导函数为/。），且函数/乃在=2处取得极小值,当 x 一2 时，/（x）0；当尤=2 时，/（%）=0；当2 时，/（幻0.当 x0 时，xf（x）0；当一2x0 时，对7（兄）0；当 x=2 或 0 时，才。）=0；当2 时,4（%）0.故选 C.2.（2021 山东荷泽模拟）若函数/（）=/（X2+2x+）在区间（g,q+1）上存在最大值,则实数。的取值范围为（）A.1 y/5 1+y/52，2 JB.(-1,2)C.J1+6 小D.,-17【答案】C-X?+2),【解析】因为/(X)=%(1+2x+a 2x+2)=e%(且函数在区间+上存在最大值，故只需/（%）=Y+a+2满足/z(a)0,/z(a+l)0，-(+1)2+6Z+20,解得T+石2.故选C.23.（2021 安徽模拟）对于函数x）=（2x 下列说法正确的个数为（）/W的单调递减区间为 H，-拒）“后,+8）；/（%）。的解集为（o,2）；/卜亚）是极小值，/（、历）是极大值；/（x）有最大值，没有最小值.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C解析/（x）=（2x-x2）e 则/（x）=（2_d）/,故函数在（_g,_亚）和（也,+8）上单调递减，在-行，后上单调递增，画出函数图像，如图所示：根据图像知正 确，错误，应该是/（X）的单调递减区间为卜8,一夜）和（夜,+8）.故选C.4.(2021 黑龙江哈尔滨第三中学检测)函数/(x)=d2c?+c2%在1=2处取极小值，贝S()A.6 或 2 B.6 或一2 C.6 D.2【答案】D【解析】/(x)=3x2-4cx+c2/r(2)=1 2-8c+c2=0.c=6当c=6时，/(%)=3x2-24x+36=3(x-2)(x-6),当x 2时/当2Vx6时/(x)2时/(x)0,当|x 2时/(%)0,函数“X)在x=2处取极小值.故选D.5.(2021 辽宁丹东模拟)已知函数/(%)=(，若存在实数s,%满足0s，1 1 1 wX,Jv，A且/($)=/)，则 4s的最小值为()A.1 B.e2-l C.2-ln2 D.2-21 n2【答案】D【解析】作出函数/(%)的图象，如图所示:因为/(s)=/(0，结合图象可知2s=l n%=人(0根2),可得$=t 4s=em 2m=h(m),(根)=e 根一2,令 h0 时，f(x)=x-3,/(x)=l+!0,所以/(%)在区间(0,+s)是 增函数，即正确；当x-1,当且仅当x=1时取到最小值，所以不正确；当工。时，/(x)-r(x)=x3-4-x1,4g(x)=x3-4x2-x-l,贝 ij g，(x)=3%28x l,由于 A0,g(0)=10,所以 g(x)在(。,+8)上先减后增，且g(0)=1 V0,所以g(x)在(。,+8)内只有一个零点；Y3 _?Y2-Y-1当 XO,/z(O)=1 0,所以力(%)在（一双。）上先增后减，且加0）=10时，/。）=1+二，/（%）/（x）=0,所以不正确；故选A.X7.（2021 湖北宜昌调研）设函数/（x）=lnx+ln（2 入）+依（0）,若在（0,1上的最大值为，则=.2【答案】a=-2【解析1/（x）=In r+ln（2-x）+ax定义域为（0,2）1x 2+a=2%2 x(x-2)+axw(0,l,a02x 2 x(x-2)+,./（x）在（0,1上单调递增，故/（%）在（0,1上的最大值为/=Q=g.8.（2021 河南开封高三模拟）设点尸为函数式x）=lnx好的图象上任意一点，点。为直线 2%+厂2=0上任意一点，则P,。两点距离的最小值为.【答案】5【解析】由题意知，当函数式工）的图象在点P（xo,州）处的切线/i与直线6：2%+厂2=0平 行，且PQ J_/2时，P，。两点之间的距离最小.因为“x）=l n%X3,所以/（%）=13%2,所1以X。一3焉=2,解得刈=1,所以为=1,故切线/I的方程为2x+y1=0.由两平行直|-1-（-2）|_ V5线之间的距离公式可得切线/i与直线/2之间的距离d=6 5,故p,。两点距旦离的最小值为5.9.（2021 山东师大附中测评）已知变量菁（，机）（机。），且王，若干 恒成立，则机的最大值为（e=2.71 828为自然对数的底数）（）A.e B.yfo,C.D.1【答案】A【解析】不巧 1 nx21 nxi 0,.也3_也玉恒成立，设函数/(%)=里土.%9,/()OOx e,即函数/(x)的增区间是(O,e),则加的最大值为.故选A.1 0.(2021全国乙卷)设若、二。为函数X)=(a)%一与的极大值点，则()ab q aba2【答案】D【解析】令73=,解得X 或X=),即X=及=是/的两个零点，当，时，由三次函数的性质可知，要使%是/(X)的极大值点，则函数/(X)的大致图当，时，由三次函数的性质可知，要使是/(X)的极大值点，则函数/(K的大致图 象如下图所示,贝 lj baa故选d.ex 2n.（2021 辽宁三模）已知/（%）=2%（lnx+x+）恰有一个极值点为1,贝V的取值 x x范围是（）【答案】DB.2X,xWO,x?+1,x0/1.D.(-00,4/=0,二函数 g（x）在。，+8）单调递增，当%（0,+8）时，g（X）g（O）=,a0,-CL-0,2aa0,1 4(2a)(a)0.9 1a 1,不等式力1恒成立，求整数。的最大值.【解析】(I)因为函数)=/(%)的定义域为(0,+“)，r(x)=lnx+2-6i,令/(x)0,解得0%0,解得%于-2.所以，函数y=/(x)的单调递减区间为(。,一2),单调递增区间为(j一2,+R)；yIn V+Y(II)当1 时，由)1 可得 x lnx+x(x l)0,即 q1 时，g 0,则函数y=g(%)在(i，+s)单调递增.Xg(3)=l-ln30,则函数y=g(x)在(3,4)存在唯一零点满足 g(Xo)=%In%2=0,则当%(1,3)时,g(x)0,即此时函数y=/z(x)单调递增，所以，虫一;”,。).又因为o _In%。_2=0,则(%0)二(0=%0，%-1因为不(3,4),贝|)。/7(/)(3,4),则整数1的最大值为.1 4.(2021 山东济南模拟)已知函数f(x)=x3-x+ax+l.2(1)当=2时，求曲线y=/(x)在点(。,/(。)处的切线方程；-3一(2)若函数式x)在x=l处有极小值，求函数式x)在区间-上的最大值.【解析】(1)当=2时，函数/(%)=/%2+2%+1,可得/，(%)=3%2一x+2,可得尸(0)=2,又由0)=1,所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程y-l=2(%-0),即 2xy+1=0.(2)由/(x)=%3 一。%2+依+1,可得尸(X)=3/一%+，因为函数在1=1处有极小值，可得/(1)=2+=。，解得。=2,止匕时f(x)=x3-x2-2x+1,且/(%)=3/%2,2令/(x)=。，即3/%2=0，解得=或x=l,9当1时，r(x)o,函数/(”单调递增；2当时，r(x)0,/（x）V。恒成立，求整数机的最小值.【解析】（1）当机=1 时，/（x）=lnx-x2-x+l,ff（x）=-2x-l=_（-+1）（21）.当o%o,则”x）在上单调递增；当时，-0,/（x）V。恒成立，所以Inx+x+lV机（Y+2x）在（0,+o o）上恒,v,r r lnx+x+1 小、,一、匚、In%+%+1成立，即机2一-在（0,+8）上恒成立.设方（x）=-,X+lx X+lx丘/.、_ _（x+l）（x+21 nx）贝ij 卜（X）7-设 O（x）=一（x+21 nx）,（x+2x1显然。（无）在（0,+s）上单调递减，因为以1）=-10；当%(/0,+8)时，0(1)0时 x 8，/（%）满足（）A.既无最极大值也无最小值C.无最大值，有最小值【答案】AB.有最大值，无最小值D.既有最大值也有最小值【解析】依题意函数/满足x2/（x）+2#（x）=,X所以x2x）=e,构造函数/（%）=%2,，则尸（力X*2）=4.2）=了，由炉/（%）+2xfx=4得 f（力=，弋/=e-2f（x）,X XX令0（%）=，2尸（x）,则9心）=靖一2,C=（x 2）,所以0（X）在区间（0,2）上导数小于0,递减；在区间（2,+8）上导数大于0,递增.2所以（工）的最小值为0（2）=/_ 2尸（2）=/_ 2义=0,所以例0,故，（。在（0,+“）上恒成立，所以了（力在（0,+。）上递增，既无最极大值也无最小值.故选A.20.（2021 河北石家庄模拟）已知函数x）=x ln2x.求“X）在P、，处的切线方程;（2）求/的单调区间和极值.【解】(l)/(x)=l-,1,所以切线的斜率为1,所以切线方程为y_-，即x+y _=0.(2)/(%)=1 =-(x0),令于(x)=0nx=1,X(0,1)1(1,+8)/0+极小/W所以7(x)的单调递减区间为(。，1)，单调递增区间为(L+8)；当=1时，/(力取极小值，极小值为/(1)=1ln2,无极大值.21.(2021 浙江温州模拟)已知函数/(x)=x 加欣1(加尺)在X=1处取得极值A,函数g(x)=/(x)+/Tx,其中6=2.71 828是自然对数的底数.(1)求相的值，并判断A是了(力的最大值还是最小值；(2)求g(x)的单调区间.【解*/(x)=x-mlnx-l,x e(0,+o o),/(力=1,X(0,+8),又X=1是的极值点，则/二。，X1 1=0,得m=1.1 y_1止匕时/(x)=xlnx l,则 ff(x=l=-,xe(0,4w).XX易得，当0光1 时，r(x)1 时，r(x)o,/(X)在(0,1)上递减；在(1,+8)上递增,/(x)在=1处的极值A是最小值.由(1)知，m=l,故g(x)=e*TInx1,且x(0,+o o).*g(x)=eX 1 f 设%()=一1-1。(0,+8),则/f(x)=e%T+J,显然，当x 0时，/()。恒成立，,在%(0,+o o)上单调递增,且无=0.，当 Ov x v l 时,h(x)Of 即 gx)1 时，/z(x)0,即 g 0.g(x)的单调递减区间为(。,1)；单调递增区间为(L+8).22.(2021 山东潍坊模拟)若函数=lnx+G?(2a 1)%,a0在=1处取得极小 值，则实数的取值范围是.【答案】(1+8)2【解析】由题意，函数y=lnx+依2(21)羽。的定义域与(。,+8),yf=F 2ax（2a+1）=2ax2-（2a+l）x+l xx0,x当一1时，即0。0,可得x(0,l)U(,+8；令y I o恒成立,可得函数)在(。,+8)上单调递 2a 2)x增，函数不存在极值，不满足题意；当0 一时，2a 2令y o,可得 Jo,：u(l+s),令y o,可得所以函数在。,(：(1,+8)上单调递增，在(单调递减，此时函数)=1口+依2-(2a+l)x在x=l处取得极小值，满足题意，综上可得，实数的取值范围是(1,+8).223.(2021 河北模拟)已知函数/(x)=Inx+x o/,aR.(1)若/(x)在=1处取得极值，求。的值；设g(x)=/(x)+(a 3)x,试讨论函数g(x)的单调性.【解】(1)因为/(x)=lnx+x-依2,所以/0),X X易得了在=1处取得极大值.(2)因为 g(x)=/(%)+(a-3)x=In%+%-ax2+(a-3)x=In%-ar2+(a 2)x,、1 c/八、(qx+1)(2x-1)/八、所以 8(%)=2ax+(q 2)=-(x 0).X X若N 0,则当时，g(x)o,所以函数g(x)在o,；上单调递增;当X|g,+o o)时，g(x)o,函数g(x)在;,+8)上单调递减.若a 0)当a2时，易得函数g(x)在a和上单调递增,在上单调递减;当a=2时，且(%)20恒成立，,函数仪X)在(0,+)上单调递增；当2aQ,求。的取值范围.【解】(1)/(x)=(1 2 3)/,f(x)=ex(x2+2x-3=ex(x-l)(x+3),令/(x)。，得x 1,令/(x)0,得3X0,所以 g(x)单增，g(x)g(0)0,所以g(x)单增，g(x)g(O)=O,符合题意.当a+l1时，现 0,使得当%(0,%)时g x)0,所以g(x)在(0,%)单减,g(%)g=。，矛盾，所以舍去.综上aKl.25.(2022 河南省联考)已知函数/(x)=d+6a2+法一1(a。，人尺)存在极大值 和极小值，且极大值与极小值互为相反数，则()A 7 2/3-72/3.2a 一，la 1A.b=+B.b=-C.b=-+D.b=-9 a 9 a 9 a 9 a【答案】B【解析】=%3+ar2+bx-/(x)=3x2+2ar+Z?设看,2是方程3V+2改+人=0的两个实数根，根据题意可知%产X2，不妨设 10,由/(x)=3d.=0解得占=半，9=半，的解为x 半，/(%)。的解为半即/(X)的增区间为-8,一当2,当之,+8,减区间为一(2)若 ag(O),又由 知/(%)在。上为增函数，故M()=maxg(0),g=2；若a0,易知/(。)=1,1)=2”,g(O)=l，g=)g(l)=|2-4,(i)若Ovqv3,则。避Ki,3且/2ay/3a(、=1厂(-1,1),故gg(O),所以u JAf()=max g(0),gI M,g 卜 max g(o),g =max 1,|2-矶则=2 ,0qL 1,1 6z1,且半，故/(x)在0上为减函数，2-。,1,则M()=maxg(0),g(l)=2.综上，()=3,应用建模2利用导数研究生活中的应用问题1.(2021广西南宁模拟)某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产3品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(o x 390)的关系是A(x)=-+400 x,0 x 390,则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A.150【答案】DB.200C.250D.300 x x【解析 1 设总禾 U润为 P(x)=-+400 x-1 00 x-20000=-+300 x-20000900 900丫(0390),P(x)=-+300(0 x0,当300%V390时，P(x)0,故当=300时，P(x)取得最大值.故选D.2.(2021 四川成都高三模拟)已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1 B.C.D.2【答案】A【解析】如图，是正四棱锥P-A5C D的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆,是圆心(球心)，设正四棱锥底面边长为则=OA=OP=3,设OE=x(