第八章 数学建模教程——离散模型.pdf

第八章离散模型8层次分析模型8.2 循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程8.4 效益的合理分配（数学模型产离散模型 离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、.分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）的知识8.1层次分析模型背-日常工作、生活中的决策问题景 涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化 Sa a t y于1970年代提出层次分析法AHP(Ana lyt ic Hie ra rc hy Proc e ss)AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法数学模型A一.层次分析法的基本步骤“选择旅游地”思维过程的归编决策问题分为3个层次：目标层O,准则层C,方案层P;每层有若干元素，各层元素间的关系 用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤驾:覆 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则CpC”.，孰对目标O的重要性选择旅游地A=C n.J IJA（%）小,a，ij0,。)JI-11/2433-217551/41/711/21/31/31/5211_ 1/31/5311要由A确定Ci，孰对。的权向量aij4是正互反阵1A成对比较阵 成对比较阵和权向量成对比较的不一致情况A=121/21（数学模型个47 y 4=1/2（。：。2）一致比较4=4（）%=8(02a)不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况W（=l）n%，明，明 令%=叫/w.=（四,明,町）丁权向量叫 坟2 攻W n坟2n坟2坟22AWnWnW 2w nn成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况AW 1W 1W 2W 1W 1W 2川 2川2满足%,ajk-。汝，,，k 1,2,H 的正互反阵A称一致阵，如W 1W n川 2攻nW n川1W n川2川n川n一致阵A的秩为1,A的唯一非零特征根为性质 A的任一列向量是对应于的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致（但在允许范围内）的成对 比较阵4,建议用对应于最大特征根丸 的特征向量作为权向量w,即Aw=2wQ 数学模型成对比较阵和权向量sa a t y等人提出19尺度_-仔取值 比较尺度均 1,2,，9及其互反数1,1/2,.,1/9便于定性到定量的转化：尺度。万1 234 5678 9IJ_G：G的重要性相同 稍强 强 明显强绝对强%=1,1/2,1/9GC的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用 13,15,117,1p9P。=2,3,4,5),d+0.ld+0.9=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。学模型产一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：阶一致阵的唯一非零特征根为可证：阶正互反阵最大特征根4为，且4=时为一致阵定义一致性指标：ci=4口 C7越大，不一致越严重 721为衡量C7的大小，引入随机一致性指标K/随机模拟得到陶，形成4,计算C/即得K/。Sa a t y的结果如下 12345 6 78 9 iou&|0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 L51定义一致性比率CR=CI/RI 当CRvO.l时，通过一致性检验数学模型2“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵1/21/41/7最大特征根2=5.0731/31/51/31/54 3 37 5 51 1/2 1/32 1 13 1 1A=121权向量（特征向量）w=（0.263,0.475,0.055,0.090,0.110尸一致性指标口=罢丁=初8随机一致性指标RI=1.12（查表）一致性比率CK=0.018/L12=0.016v0.l通过一致 性检验方案层对Cl（景色）的成对比较阵B=1/2 1 21/5 1/2 1方案层对CK费用）的成对比较阵1 1/31/8组合权向量 记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为2）=（叱（。，的2）7同样求第3层（方案）对第2层每一元素（准则）的权向量方案层对C2（费用）c的成对比较阵 n一1 1/3 1/8-B?=3 1 1/3.Bn_8 3 1最大特征根4 为 4n权向量 Wi 昭2 Wn 组合权向量 第3层对第2层的计算结果4 1 2 3 4 50.595 0.082 0.429 0.633 0.166记 3）0.277 0.236 0.429 0.193 0.1660.129 0.682 0.142 0.175 0.668%3.005 3.002 3 3.009 3W（2）0.2630.4750.0550.0900.110CIk 0.003 0.001 0 0.005 0RI=0.58 5=3),CIk均可通过一致性检验方案Pi对目标的组合权重为0.595x 0.263+.=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T记3）=（崂，记：）,左=1,2力构造矩阵 加3）=父.，）则第3层对第1层的组合权向量 W二卬第s层对第1层的组合权向量 其中W。是由第层对第 以=WW（s-1）W12）层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标一 准则或指标一方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和上9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征由量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。二.层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题,产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。过河的效益A经济效益Bi社会效益 b2环境效益B3例3横渡 江河、海峡 方案的抉择进出方便舒适-I自豪感a交往沟通G 安全可靠 建筑就业当地商业a岸间商业心 收入G_厂节省时间3L(1)过河效益层次结构过河的代价A例3横渡 江河、海峡 方案的抉择对生态的破坏对水的污染L汽车排放物居民搬迁C交通拥挤丁冲击生活方式rv 冲击渡船业操作维护厂投入资金G(2)过河代价层次结构 待评价的科技成果（数学模型产三.层次分析法的若干问题正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量?为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质定理1正矩阵4的最大特征根丸是正单根，对应正特征向量w,且lim=w,e=(1,1,1)丁 kg e A eJ 正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。定理2 阶正互反阵A的最大特征根丸2，2=是A为一致阵的充要条件。0 一致性指标ci=y 定义合理2.正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算精确计算的复杂和不必要简化计算的思路致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。和法取列向量的算术平均1.769Aw=0.9740.286例A=1 2 61/2 1 41/6 1/4 1_列向量 归一化Aw=2w0.6 0.6150.3 0.3080.1 0.0770.5450.3640.091算术 平均-0.5870.324=w0.0892=1 1769+0274+0268 0093 0.587 0.324 0.089精确结果:w=(0588,0322,0.090)T,X=3.010简4 根法一一取列向量的几何平均 计算塞法一一迭代算法1）任取初始向量W（。）,抬=0,设置精度 2）计算归口=正心）n3）归一化）=力）/访1+D4）若ma x叱（1）一叱 IJ is sj Vaisasr G通过C与G的比较 更能反映C,.对Cj的强度J J/=（球），球）左步强度 体现多步累积效应/iJ,3k.,kka（k）2或L V（s=l，）07 0 7 IS JS IS JS 7/=当左足够大,a峰，行元素反映Ci的权重n求邓的行和Ake定理1 lim=w 特征向量体现多步累积效应e-zA.e 4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量（2）=（%（2）/2）丁已定第3层对第2层权向量w J3）=（Wn,/2,叫3,0），刈2（3）=（0,0卅23/24（3尸已得 讨论由wQ）M（3）=（wJ3）,叫）计算第3层对第1层权向量W。）的方法P1，P2只作教学,只作科研,P3兼作教学、科研。Ci，C2支配元素的数目不等 考察一个特例：若C1，C2重要性相同，w=(1/2,1/2区 PP4 能力相同，p1=(l/34/34/3,0)2(3)=(0,04/24/2)r 公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1不考虑支配元素数目不等的影响仍用攻二卬计算 口 w(3)=(l/6,1/6,5/12,1/4)7支配元素越多权重越大 教学、科研任务由上级安排 用支配元素数目如则2对w加权修正 勺=3,%=2,w(2)=w f2),n2w()T 记=(3/5,2/5y再用二卬常2)计算 0 w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)t1支配元素越多权重越小 教学、科研靠个人积极性5.残缺成对比较阵的处理11 2 e例 A=1/2 1 2e i/2 i辅助矩阵1/2%/叫2 吗/吗1 21/2 1e为残缺元素Cw=2w,2=3,w=(0.5714,0.2857,0.1429)rXXAw=Aw一2 2 0A=1/2 1 20 1/2 2a；,i w j,a；,w 0 ij j ij。万二4 0,，w j,a=0ij j ijm；+1,/=/j i 股广4第i行 中弼个数 6.更复杂的层次结构递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环。层次分析法的优点 系统性-将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策一一系统分析（与机理分析、测试分析并列）;实用性定性与定量相结合，能处理传统的优化方 法不能解决的问题；简洁性一一计算简便，结果明确，便于决策者 直接了解和掌握。层次分析法的局限 囿旧只能从原方案中选优，不能产生新方案；粗略-定性化为定量，结果粗糙；主观主观因素作用大，结果可能难以服人。8.2循环比赛的名次支球队循环赛，每场比赛 只计胜负，没有平局。根据比赛结果排出各队名次模型产6支球队比赛结果方法1：寻找按箭头方向通过全部顶点的路径。312456 146325c 4口无法排名方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5 队各胜2场，6队胜1场。2,3队，4,5队无法排名3.2,4.5。排名132456合理吗循环比赛的结果一一竞赛图 每对顶点间都有边相连的有向图3个顶点 的竞赛图(1,2,3)3(1,2,3)并歹(J3(2)4个顶点 的竞赛图名次2223(1)名次1,2,3,44 3 4 3 4(2)(3)2,(1,3,4)(1,3,4),2)23(4)(1,2),(3,4)(1,2,3,4?具有唯一的完全路径，如(1);竞赛图的-双向连通图一任一对顶点存在两条有3种形式 向路径相互连通,如(4)；其他，如，(3)o竞赛图 的性质 必存在完全路径；若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶 点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1)o双向连通竞赛图G=(M)的名次排序人IX v v E邻接矩阵=一 I。,“把 E得分向量 S=(S,S2,S)s=Ae,e=(1,1,),0 0 0，=Ae=(2,2,1,1),1级得分向量L1?2)=M=(321,2)72级得分向量二(3,323)、s(4)=(5,5,3,3尸 s 二(8,6,3,5)、产二(9,8,5,8)丁 s=(13,13,8,9)T,s=(21,17,9,13)7产=M=心k foc,屋)f?双向连通竞赛图的名次排序=As(k=e对于(3)个顶点的双向连通竞赛图，存在 正整数，使邻接矩阵A满足40,A称素阵素阵4的最大特征根为正单 根九对应正特征向量s,且lim=sk f g 2 k(k)11001,2,3,4?(归一化局f s 口用S排名2=1.4,1 D1 =(0.323,0.280,0.167,0.230)7o排名为1,2,4,3)000010 1110 0 11110 10 00 0 0 1 10 10 0 10 10 0 03学模型一6支球队比赛结果/)=(8,59343)7?4)=(38,28,32,21,256)s二(4,3,322,1)，5(3)=(15,106,72,9厂,2=2.232,s=(0.238,0.164,0.231,0.113,0.150,0.104)7 排名次序为1,3,2,5,4,6)8.3社会经济系统的冲量过程例能源利用系统的预测匕一能源利用量；叱一能源价格；为一能源生产率；为一环境质量；v5工业产值；v6就业机会；v7人口总数。系统的元素一图的顶点元素间的影响一带方向的弧 带符号的有向图影响的正反面一一弧旁的+、-号影响一一直接影响 符号一一客观规律；方针政策带符号有向图Gi=(M)的邻接矩阵4顶点集弧集1，若匕v为+a.=，-1,若 v.v.为-IJ 7 I I J0,若匕V,eE0-10A=0101-11-100 0 0 0-1 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0定性模型0 00 00 00 11 00 10 0带符号的有向图G1某时段匕增加导致 下时段匕增加减少W冲量过程(Pulse Proc e ss)匕-匕J研究由某元素匕变化引起的系统的演变过程 匕匕在时段，的值；p 匕.在时段,的改变量(冲量)匕。+1)=匕。)+Pj(t+1),i=1,2,，%，=0,1,2,-|H HPj+i)=Z/p(),或巴。+D=Z%p()i=l z=lV=(%()力()，.,，乙)，=出，必，Pn(t)冲量过程模型 v(t+1)=V(0+p(t+1)p(t+1)=p(t)W 或。+1)=p(t)A(教学模型产能源利用系统的预测 V。+1)=V+p(t+1简单冲量过程初始冲量(0)中 p(t+1)=P(t)A某个分量为1,其余为。的冲量过程 设v(O)=p(O)若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变能源利用系统的P”)和明tPiP2P3P4p5PeP7匕V2V3匕V6匕01000000100 000010-11-10001-11-100021-10010-12-21-110-131-11-1010332-211-1模型产简单冲量过程s的稳定性任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定)S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定 p+l)=p(t)W v(t+l)=v(t)+p(t+l)S冲量稳定对任意您lpl有界 值稳定S值稳定对任意您I匕)1有界 冲量稳定p)=p(O)W 口 S的稳定性取决于W的特征根 记W的非零特征根为丸模型产简单冲量过程s的稳定性 S冲量稳定n AI ar=1,Qk=工,4-k*=12，rD若S*冲量稳定，则S*值稳定owik=l简单冲量过程s*的稳定性 并 74“1=0,a2=(-l)rir2x(_l)v2vi=1 V，3=(+l)vlv3V5vl+Gl)vlv4V7Vl 3/i+y+(+Dg 3V2“=1，“4=0,%=1，,=5/+、/+彩+魄 S*冲量稳定=a r-1,ak=-ar-ar_k(k=1,2,r-1)a2 w-a5-a3 g S*冲量不稳定 匕利用量,叱价格(1)小2f(+D小2(由鼓励利用变为限制利用)=2=1口 A的特征多项式 f(2)=22(25+23-22-l)2=0,0,l,z;(-l V3z,)/2。S*冲量稳定n X 1且为单根 S*冲量稳定o XI W 1且均为单根数字稹或,S*冲量稳定=ar=1,4=/4女（左二12叶一1）若S*冲量稳定，则S*值稳定O Q,W 1k-1。，2，。3，。4，5=。,-U，。4岭匕+株+口 S*值不稳定 rS*值 稳定a3,a5=1 n 3，5 二-1p（+1）E5-（-1）同5为能源生产率（-1）匕一工业产值 5违反客观规律能源利用系统的值不应稳定?例8.4效益的合理分配（数学模颦二甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元,A甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元,三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为1=（%,%，当）X+X=11xx+x2 72 5x2+x3 4X,JC2,X3 2 1解不唯一(5,3,3)(4,4,3)(5,4,2)(数学模型产(1)Sha ple y合作对策集合/=1,2，川 V子集sc/,三实函数y(s)满足v()=0V(S U.)V(sJ+v(52),s U 力二。v(s)子集/，力人合作对策，入特征函数 S的获前X 二(不，%，勾)人从双/)得到的分配，满足nt七=人/)i=lx.v(i),i=12，数学模型浮Sha ple y合作对策公理化方法 0 Sha ple y值r七二Zw(卜|)v(s)v(si),i=L2,几seStw(H)I(n-s)!(s-1)!ns子集S中的元素数目，S包含，的所有子集v(s)v(s 0 i 对合作S 的“贡献”(i e s)攻(卜|)由Is I决定的“贡献”的权重三人(/=1,2,3)经商中甲的分配/的计算=Z w(|M)v(s)v(sl)seSxS11 U 21 U 3Iv(s)17511v(s 1)0114v(s)-v(s 1)1647s1223w(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)-v(s 1)1/312/37/3x1=13/3 类似可得上=23/6,=17/6合作对策的应用例1污水处理费用的合理分担三城镇地理位置示意图38km污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，或联合建厂（用管道将污水 由上游城镇送往下游城镇）。污水量，七管道长度 建厂费用产1=73。力2 管道费用尸2=。66。51七污水处理的5种方案1)单独建厂。=73 50512=230,C(2)=160,。(3)=230总投资 D1=C(l)+C(2)+C(3)=6202)1,2合作 C(l,2)=73-(5+3严+0.66 5051-20=350 总投资 P2=C(l,2)+C(3)=5803)2,3合作。(2,3)=73-(3+5)0712+0.663051-38=365 总投资 2=。+。(2,3)=5954)1,3合作 C(L3)=73(5+5严2+0.66-5咐.58=463 C(l)+。(3)=460 合作不会实现5)三城合 D5=0(123)=73 (5+3+5)0-712+0.66-505120作总投资+0.66(5+3)0-51 38=556心最小,应联合建厂 区如何分担？c(D=230/建厂费：Jx=73x(5+3+5)0J12=453 C(2)=l60D5 3/13+2 x 3/8=132C(l)不同意数学模型泮Sha ple y合作对策集合/=1,2,3特征函数v（s卜联合（集s）建厂比单独建厂节约的投资v(0)=0,v=v(2)=v(3)=0v(l U 2)=C(l)+C(2)-C(l,2)=230+160-350=40v(2 U 3)=C(2)+C(3)-C(2,3)=160+230-365=25v(lU3)=0v(/)=C(l)+C(2)+C(3)-C(l,2,3)=230+160+230556=64x=三城从节约投资，中得到的分配计算城1从节约投资中得到的分配X1数字模式一S11 U 21 U 3Iy(s)040064v(sl)00025v(s)v(sl)040039s1223吐(s)1/31/61/61/3w(s)v(s)v(sl)06.7013xx=19.7,x2=32.1,x3=12.2%最大，如何解释？三城在总投资556中的分担城 1 C(1)-x1=210.49 城2 C(2)-x2=127.8,城3 C(3)-x3=217.8合作对策的应用例2派别在团体中的权重90人的团体由3个派别组成，人数分别为40,30,20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Sha ple y 合作对策计算各派别在团体中的权重。团体/=1,2,3,依次代表3个派别定义特征函数v(s)=s的成员超过45 否则v(。)=0,v(l)=v(2)=v(3)=0,v(l U 2)=v(l U 3)=v(2 U 3)=v(/)=1。权重%=%=工=1/3虽然3派人数相差很大ISha ple y合作对策小结优点：公正、合理，有公理化基础。缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义/=1,2,的所有 子集（共21个）的特征函数，实际上常做不到。如打个单位治理污染,通常知道第i方单独治理的投资为和方共 同治理的投资匕及第i方不参加时其余“，方的投资方（三1,2,）.确定共同治理时各方分担的费用。若定义特征函数为合作的获利（节约的投资），则有nV（O=0（/=1,2,叫 v（/）=Jy.-y,v（/，）=z 匕4i=l joi其它v（s）均不知道,无法用Sha ple y合作对策求解求解合作对策的其他方法设只知道=v(Ii)无i参加时1方合作的获利 及B=v全体合作的获利记/?=(/?.也)求各方对获利5的分配K=(%1，%2,),巧NO 例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人 合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？即已知 B=11,b=(4,5,7),求x=(Xi，/，/)（2）协商解 以代1方合作的获利为下限模 2%=b型 fy%.-x b 11 1 nA/2*,A=.(：I1 oy%-%bi n n 1求解Ax=bT 七=-7Z 2 勺的下限-1n-11 1 D七=E+(B-=独-+n n n将剩余获利B-Ze平均分配 例b=(4,5,7),B=lla二(43D,B-Z%=3,x=W+(l,U)=(5,4,2)(数学模型产(3)Na sh解t己d=(4,为现状点(谈判时的威慑点)在此基础上“均匀地”分配全体合作的获利3模 max(x.-4)血 V-s.t.2x.=Bx.d卜 1 L1 七=4+(B-4)nd=0l口平均分配获利B r4=工口3)Na sh解n 2)协商解(4)最小距离解记斤=(不忑)为x的上限错 min(%.-X.)2保 i 会型 s.t.x,=B 弓七%若令r=Bbj g第，方的边际效益例.=(4,5,7),(=11 元=(7,6,4)，Z%一5=6,x=M(222)=(542)七二豆(2豆一方)n口1 L7 7 B x.2 b.-b.n 1 1 n口4)最小距离解=2)协商解（5）满意解满意度%=x-dI Ie-d l I4现状点（最低点）。理想点（最高点）模 max(min u.)u=-Z 4型 M，d FT4“Ex B%=J+ue-J)l I I I I 74二工，二X。5）基于满意度的解=2）协商解d.=0,e,=x0 x（,=余8 按可在ZE中的比例分配(6)Raiffi 解与协商解%=(5,4,2)比较在工(-1方合作获利的分配)基础上进行8的分配:当)参与(原来无/的)”1方合作时获利为B-乙=J.K先由j和方平分，-1方再等分X Xx=,x=x T-，i=1,，小 i w/2，-2(n-l)J取1,2,%再平均，得到 例.匕=(4,5,7),5=11H 1 1 x 1 _ 3=(4,3,1),%=(7,6,4)x=-X.+I H-元 八 n-n 2 2(1)，x=(4,3,2)3 12 12求解合作对策的6种方法(可分为三类)A Sha ple y 合作对策 =2.)一n Na sh 解d；现状1x.-d.(B4)i n 1最小距离解无上限七二吊_1(豆_8)n满意解4c现状,er理想B-d,u=-=di.+u.(ei.-di.)x=Ab,x=B-b 1 Z Id-%,e.-xl I 7 I IB类4种方法相同 C Raifft解 只需 bi=v(1i),B=v(/)类 对每个，上限可先由j和八-1方平分，”-1方再等分例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙)，仅当资方与至少 一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？A(Shapley),x=(6.67,1.67,1.67)B.bt=v(/ib=(0,10,10),B=v(/)=10 xr=A-xbT=(10,0,0)J J=(10,0,0)口 x=(10,0,0)IYl C(Raiffi).xt=n x=(8.34,0.83,0.83)1 Y 1X+1+-Yx I n 2 2(-l)占 J求解合作对策的三类方法小结A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。B类：计算简单，便于理解，可用于各方实 力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。C类：考虑了分配的上下限，又吸取了 Sha ple y的思想，在一定程度上保护弱者。