数学实验参考课件.pdf

:数学实验Ma t he ma t ic a l Expe r ime ntI课程目的和工具让学生在计算机的帮助下学习数学知识.从问题出发，借助计算机，通过学生亲 自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律.主要用到的软件：Ma t he ma t ic a 4.0Ma t he ma t ic a 5.0%面向2 1世纪课程教材L Textbook Series for 21st Cenrurv数学实验李尚志 陈发来 吴耀华 张韵华 著 2013-4-17HIGHEREDUCATIONPRESS高等教育.何谓“数学实验”对数学进行折腾 连蒙带猜找规律 从问题出发 学生自己动手、动眼、动脑 借助于计算机（成千上万次折腾）尝试数学的探索、发现和应用2013-4-17主要内容介绍著名数学软件MATHEMATI C A 的基本功能和使用方法，内容包括：MATHEMATI CA基础、基本的符号运 算、绘制图形以及高级应用的简单介绍。借助教材具体实例探索数学的学习方法。课程考核方式总评=平时+期中X0.2+期末X0.7学习方式：课堂教学+上机实践上课每周4课时,上机课每周2课时，其中自主学习1课时,实验辅导1课时。上机实验安排 分组方式：每班一组，共2组；地点：本院计算机技术实验室509、513；时间：周一 8-9节一组：第8节二组：第9节要求：各组按周轮转，按时上下机。学习与交流方式.在线学习：f t p:202194182.95.作业提交：c xye ma il.qf nu.e du.c n ye c hua nxiii 163.c o m备注：作业应按时提交，程序源代码必须调试通过方可 提交。程序添加必要的注释说明，增加程序的可读性。FTP登录用户名和密码皆为:ma t hs。一.Ma t he ma t ic 基础A Ma t he ma t ic简 介A数、变量、函数、算式和表A表达式的查询保存、和文件调入iA图形A编程Ma t he ma t ic 简介Ma t he ma t ic是美国 Wo l f r a m Re se a r c h公司开发的著名数学软件，1987年推出了 1.0版,1991年推出了2.0版，1996年推出了3.0版，1998年后相继出现了4.0、5.0版。目前，它已广泛地应用到数学、物理学、化学以及工 懿瓢董薛是现代技术的标志。其主要符号运算数值计算绘制编制程序wolfram STEPHEN WOLFRAMWEHEMATIGMATHEMATICA：生Ma t he ma t ic a系统是目前世界上应用最广 泛的符号计算系统，它是由美国伊利诺大学 复杂系统研究中心主任、物理学、数学和计 算机科学教授St e phe n Wo l f r a m负责研制 的.该系统用C语言编写，博采众长，具有 简单易学的交互式操作方式、强大的数值计 算功能及符号计算功能、人工智能列表处理 功能以及像C和Pa sc a l语言那样的结构化程 序设计功能.它有Do s环境下及Windo s环境 下的几种版本.版本Mathematica 1.0(1988)Mathematica 1.2(1989)Mathematica 2.0(1991)Mathematica 2.1(1992)Mathematica 2.2(1993)Mathematica 3.0(1996)Mathematica 4.0(1999)Mathematica 4.1(2000)Mathematica 4.2(2002)Mathematica 5.0(2003)Mathematica 5.1(2004)Mathematica 5.2(2005)Mathematica 6.0(2007)Mathematica 6.0.3(2008)Mathematica 7.0(2008)为什么选择Ma t he ma t ic a?.美国 Na t io na l I nst it ut e o f St a nda r ds a nd Te c hno l o g、歹口出的数学软件有几十种,包括 Ma t he ma t ic a,Ma pl e,Ma t l a b 一般认为，Ma pl e的符号运算更好一些（MATLAB的符号运算核心用的就是Ma pl e 的），而MATLAB的数值计算功能强大，Ma t he ma t ic a是第一个集成的系统，具有符号 运算和数值计算的能力，可以很方便地进行 复杂的演算，也易于掌握。Ma t he ma t ic a的启动和运行在Windo w s环境下已安装好 Ma t he ma t ic a 4.0,启动Windo w s后,在“开始”菜单的“程序”中单击,就启动了 Ma t he ma t ic a 4.0，在屏幕上显示如图的No t e b o o k窗口，系统暂时取名Unt it l e d，直到用户保存时重新命名为止。WOLFRAMRESEARCHMATHEMATICAL软件界|EiMEdiindow同 1：AlgebraTnjo no mt t r k a nd Expo nt nt ia l Func t l o niAtgmial MtRaUtfaiSialMeatha Celex NwbenFormat Input KernelPa l e t t e s犯 Unt it l e dlMe nuhe I nputThe No t e b o o kThe Out put Ce l l(Re sul t)Ma g nif ic a t io n Fa c t o rCe l l a nd Gr o up o f Ce l l sMa t hc na t ic a 4.1 Unt it l e d窗口操作指令 执行指令的方法：左：Shif t+Ent e r；右:Ent e r；执行部分指令的方法：Ct r l+Shif t+Ent e r；终止指令进行的方法：a l t+.；注释符号：*到*。符号运算Ma t he ma t ic功能简介1.初等数学各种数、代数式和函数的计算和化简2.微积分可以求极限、导数（包括高阶导数和偏 导数）、不定积分和定积分（包括多重积分），将函 数展开成塞级数，无穷级数求和及积分变换，解微分 方程。3.线,性代数可进行计算行列式、矩阵的各种运算（加法、乘法、求逆矩阵等），解线性方程组，求矩 阵的特征值和特征向量，正交化，以及矩阵的分解。4.解方程组可对方程（组）和微分方程（组）、不等式求解。S Untitled-1 Jfilxl2 4 ln1:=-3 72Out1=21哨速叫布1 1 1Out2=-+一(-1+X)2-1+X Xn 数值计算嬲 Ma t he ma t ic的数值计算更具有科学性,M它与通常的数值计算程序有所不同，允许 犍用户指定任意精度.例如 嬲可以轻而易举求出Pi的300位近似值；可以求出1000!和210等整数的.可准确值.Untitled-1*Jfllxlln1?Httz 300O ut1=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117；0679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549.3038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726；024914127帏叫O ut 昨 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641 573姗2岬O ut 怦 10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958-.5812759467291755314682518714528569231404359845775746985748039345677748242309854210746050623711418.7795418215304647498358194126739876755916554394607706291457119647768654216766042983165262438683720 5668069376A绘图功能其绘图功能也很出色，能绘制各种二维和三维彩色图形，自动化程度很高.ln1:=Plot Sin x,x,Pi,PiPlotPoints 2050Outl=Graphics10;figl；fig2Do AppendTo figl,Line 1 n i,0,1 n i,f 1AppendTo fig2,Line 1 n i 1,f 1 n i,i,1,n;Show fig,Graphics figln i,1 n i z f 1 n i,Graphics fig2fl ParametricPlot3D SinSin u Sin v 2,Cos v u z 0 z 2 Pi,vz 0f Pi f2 ParametricPlot3D SinSin u Sin v,Cos v,Show fl,f2v Cos u 2,2,v Cos u,u,0,2 Pi,V,Pi 2,Pi-10.5In1:=a 2;f a Cos u 2 Sin t Sin u 2 Sin 21 Cos u;g a Cos u 2 Sin t Sin u 2 Sin 21 Sin u;h Sin u 2 Sin t Cos u 2 Sn 2 t;ParanetricPlot3D f z g,h,t,0,2Pi,u,0,2Pi,Boxed False,Axes False,PlotPoints 30Out5=Graphics3DParametricPlot3D Sin u Cos Cos t 2,.5 Sin t 2,t,Sin u Sin t,Cos u,.7 u,u,0,Pi 2,七，0,2 Piii3：=Pa r a me t r ic Pl o t 3DCo sh u Co s v,Co sh u Sin v,u,u,2,2,v,0,2 PiOut13=Graphics3DTa zn z 7 a zn A 7 a zn/Z n/n uts 乙 n soq/n soq 3 n soqaggoTqdEgT A ia 乙 0 Fx ag;q.O TaoTaq.urejaUTS 乙 a乙 A I乙 A 1-a 7-n z-a n R-a 7-n x4编制程序在Ma t he ma t ic a中用户可以自己编制各种程序,开发新的功能.用户开发的功能可以在软件启动时被调入，与软件本身的功能一样使用.I*喉=f X _：1 X2;s m_:N 4 Sum f k 10Am 10Am,k,1,10Am N 4 Sum f k 1 10Am 10Am,k,1,10Am 2;N s 4,10out38i=3.141592.变量3.4.表数、变量、函数、算式和表1.数的表示和计算5.基本符号运算1.数的表示和计算1）准确数与近似数Ma t he ma t ic a以符号运算为主，将实的近 似数称为实数，而将准确数称为整数、有理 数、塞、符号数等.无论准确数还是近似 数，都没有位数的限制.如万、2、反等符号数表示准确数3 51.2 2.3x I O,等带小数点的数表示近似数2）数的输出、ln1:=O ut1=ln2:=O ut2=ln4:=O ut4=输入方法和格式32 3 213v2A3 3217442数学表达式二维格式的输入分式 x Ct r l+/2 三n次方 x Ct r l+A n X开n次方 Ct r l+2 x Ct r l+5 n下标x Ct r l+n 兀1 n bfSS3）近似数的精度控制a）求近似值的函数NMa t he ma t ic a允许用户任意指定数值 计算的精度，函数N的调用格式如下N表达式，数字位数N表达式，另:可用函数Numb e r Fo r mRe a l,n规定实数的显示位数.b）用分数逼近实数一般，我们用实数作为分数的近似值;同样，可以用一个分数作为实数的近似 值.可使用如下的转换函数进行x=.清除X的值但保留变量X.Cl e a r x清除x的值同时清除变量x.Re mo ve x清除变量x.A Cl e a r“Gl o b a l、*”清除所有变量的值.ARe mo ve“Gl o b a l*”清除所有变量.In82:=x.ln83:=?xGlobalXxln84:=xOut84=xln85:=Remove xln86:=?xInformation:notfoundln87:=Clear Global、nln88:=?alGlobalvalln89:=Remove Global、1ln90:=?alInformation:notfoundSymbol x not found.MorSymbol al not found.More.%是一个重要的Ma t he ma t ic a符号，如下：%表示前一个输出的内容.%表示倒数第二个输出的内容.A%n表示第n个（即Out n）输出的内容.所有%n的内容一直被Ma t he ma t ic a记忆,它们 可以像其他变量一样被后面的计算引用，灵活地使 用符号可以节省大量的输入时间.如输入5)变量的替换在给定一个表达式时其中的变量可能取不同的 值，这是可用变量替换来计算表达式的不同值务法为：函数/.变量名。数值或表达式 或函数/.变量名1-数值1或表达式1,变量名2-数值2或表达式2,f nx/.x-8可以得到函数值f n(8),f nx_,y_:=xA3+yA2/.x-a,y-b+2可以得至！|函数值f n(a,b+2)9 oln72:=p x 2 x y yOut72=xz 2 x y yzln73:=p.x 1Out73=1 2 y yzln74:=pOut74=9x 1,y 23.函数Ma t he ma t ic a的基本功能是作为一个最高级的 潮|函数计算器来使用的，各种操作主要靠函数来实 优 现.Ma t he ma t ic a提供的函数种类繁多且功能强大，函数一词也不仅限于数学上的含义，有实现各种操罂作的函数.还可以由用户自定义函数,加入到 餐Ma t he ma t ic a中，能像系统函数一样使用.学习3 Ma t he ma t ic a主要是分门别类地学习各种函数的功.能及其调用方法.下面只介绍一些简单而又常用的?数学函数.函数的一般形式是：函数名参数1,参数2,.1）基本初等函数a）基本初等函数表 Sinx Co sx Ta nx Co t x Se c x Csc x Ar c Sinx Ar c Co sx Ar c Ta nxAr c Co t x Ar c Se c x Ar c Csc x Expx表示石 Lo g x表示（以a为底的对数:Lo g a,x）Sqr t x表示&b）系统函数的书写规则Ma t he ma t ic的系统函数书写规则很严格，应注意以下几点：/函数名首字符用大写，后面的字符一般用小写，当 函数名分成几段时，每段的首字符应大写,函数名 中不能含有空格；/参数用方括号括起来，但是不能用圆括号.Ma t he ma t ic a认为圆括号表示相乘如 f(x+y)f*(x+y)c）函数的嵌套函数可以任意嵌套，如NSin2,31.如果输入Sin2,输出仍是准确值Sin2,当 输入Sin2.0时,Ma t he ma t ic a输出近似值.还有一种特殊的，但是常用的使用函数方 法:表达式函数名，将函数作用于前面的表 达式.如:2.0Sin.d）给数加上单位角度的默认单位是弧度.如果使用度数 作为默认单位则在数据后面加上De g r e e或者 输入基本输入模板上的专用符号“。”.同样 可以给数据加上其他常用单位，如me t e r s,Se c o nds 等.如ln1：=Sn30 Degree1 Out 1=2ln2:=Cos 90 0OutR=02 meters lnR:=-10 0 seconds0.2 meters Outp=-seconds2）常用函数Ab sx求实数x的绝对值或复数的模Sig nx符号函数Ma x r 丫 一组数的最大值/VI/e/V0,Min%组数的最小值Re x（I mx）复数x的实（虚）部!Ar g x复数x的辐角Co njug a t e x复数x的共粗数Fl o o r x不超过x的最大整数Ce il ing x不小于x的最小整数Ro undx最接近x的整数用j Mo dm,n整数m被n除的余数留AQuo t ie nt m,n整数m被n除的整数部分翁&AGCD1%,3L组整数的最大公约数 鬻 ALCM%,%,一组整数的最小公倍数An!(n!)求n的(双)阶乘Bino mia l n9k求 C%Y Fa c t o r I nt e g e r n将整数分解成素数的积1 3）双曲函数与反双曲函数；双曲函数是指数函数的组合，它有许多有趣的性质.双曲函数共有六个，其中最基本的三 个函数是J 八一e-e sinhx=-2Sinhx 翻慢 Co t hxJ.i e+e,coshx=-2Co shxSe c hx,tanhxJ 八一4e-ee+eTa nhxCsc hxAr c SinhxAr c Co shxAr c Ta nhxNS Ar c Co t hx小IAr c Se c hxAr c Csc hx1 4）随机函数 在Ma t he ma t ic a中有一个内置的随机数生成器,这个内置函数在概率论与统计分析中非常有用.Ra ndo mt ype,r a ng e,n产生指定类型、范围的、具有n位数字的随机数淇中类型t ype只能是I nt e g e r,Re a l,Co mpl e x,范围r a ng e由min,ma x指定（默认值是0,1）,位数n的默认值是按机器规定的精度,三个参 数都可以缺省.Ra ndo m产生0,1之间的一个实数 Ra ndo mI nt e g e r只能产生0或 1Ra ndo mCo mpl e x产生单位正方形内的一 个复数 Ra ndo mRe a I9ma x产生0,ma x范围内的一个 实数!Ra ndo mCo mpl e x,zmin,zma x产生左下角为 min,右上角为zma x的矩形内的一个复数.jW 5）函数的定义（i）函数的立即定义幽 立即定义函数的语法如下f x=e xpr函数名为f,自变量为x,e xpr是表达式。在执|Hi行时会把e xpr中的x都换为f的自变量x（不是x_）。混修函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作 用。函数执行结束后也就没有了，不会改变其它 福隆全局定义的同名变量的值。对于定义的函数我们 奥耀可以使用命令Cl e a M清除掉而Re mo ve d则从系 mK统中删除该函数。也可以定义多个变量的函数，格式为自变量为x,y,z.，相应的e xpr中的自变量(3)延迟定义函数延迟定义函数从定义方法上与即时定义的 区别为“=，与“：F延迟定义的格式为 f x_：=e xpr其相操作基本相同。那么延迟定义和即时 定义的主要区别是什么？即时定义函数在 输入函数后立即定义函数并存放在内存中 并可直接调用。延时定义只是在调用函数 时才真正定义函数。这样的分段函数应该如何定义，显然 要根据X的不同值给出不同的表达式。一 种办法是使用条件运算符，基本格式为形式：函数/.变量名，数值或表达式 数值或表达式或者函数/.变量名1 数值1或表达式1,变量名2,数值2或表达式2,4.表表是存储多个数变量或等式等对象的一种数 据结构，一个表用一对花括号表示，它的成员（元 素）在括号内用逗号隔开，同一个表的成员可以有不 同的数据类型，表的成员还可以是一个表（子表）.如ln1:=1,2,3Out叶1,2,3)l np:=1,2x,Sinx,2,Co sxOut p=1,2x,Sinx,2,Co sx)1）表的元素的操作经常要提取或改变一个表中的元素，以下函 数是常用的：或Pa r t t,n表示表t的第n个元素 t-n Pa r t trn表示表t的倒数第n个元素A SR%,啊,或 Pa r t t,%,%,表示t的第,%,个元素 Tij 或Pa r t t 3j表示表t的第i个子表的第j个元素 Le ng t ht 表示表t的元素的个数下面函数可以通过提取添加删除替换 一个表中的元素得到一个新表（原来的表不 变）.Ta ke t,n提取表t的前n个元素Ta ke t,-n提取表t的后n个元素ATa ke t,m,n提取表的第m到第n个元素AI nse r t t,e xpr,n在表t的第n个位置插入元 素 I nse r t t,e xpr,n在表t的倒数第ii个位置插 入元素e xpr Pr e pe ndt,e xpr 在表t的第一个元素前面 插入元素e xprAAppe ndt,e xpr 在表t的尾部插入元素e xpr De l e t e t?n删除表t的第11个元素Dr o pt,n删除表t的前ii个元素Dr o pt r n删除表t的后n个元素Dr o pt,m,n删除表t的第m到n个元素 Re pl a c e Pa r t t？e xpr n用 e xpr替换表t的 第I I个元素 Re pl a c e Pa r t t?e xprrn用 e xpr替换表t的 倒数第n个元素 Re pl a c e Pa r t t,e xpr 4iJ 用 e xpr替换表t 的第i个元素中的第j个成员。2）表的操作通过下列函数可以进行表的运算,生成 新表（原来的表不变）：J o int l,t 2将表t l,t 2连接成一个表圣 Unio nt l,取表t l,t 2的并集组成一个表曰 Unio nt 合并表t中的相同元素得到一个表A I nt e r se c t io nt l,t 2取表t l,t 2的交集组成一1个表 Co mpl e me nt e a l l?e l9e 2v.给出在表e a l l 中但不在e l,e 2,中的元素组成的表Pa r t it io nt,n将表t的元素按n个一组生 成子表Fl a t t e nt 展开表t的各个子表So r t t 将表t的元素按标准顺序排序Re ve r se t 将表t的元素逆向排列3）某些建表函数最重要的建表函数是Ta b l e,其调用格式 如下：A Ta b l e f,i,imin,ima x,st e pi,jjminjma x,st e pj用于建立通项为f的表，其中f是i,j的 函数,min,ma x,st e p规定了初值，终值，步 长,min和st e p的默认值是1注记:1.以上参数设置用于建立一个2层表，实际上表的层数是可以任意的.2.使用函数Ta b l e,还可以生成具有抽象元 素的表.3.通项f本身也可以具有表的形式函数Ra ng e用于建立一些特殊的表其调 用格式如下：A Ra ng e min,ma x,st e p按初值，终值，步长生 成一个表A微积分A线性代数5.基本的符号运算A基本代数运算代数运算是一切符号运算的基础,本节介绍实现各种基本代数运算的Ma t he ma t ic a函数，用于变换数学表达式，解方程和解不等式.其中最重要的是化简函数，在各种符号演算中都会用到.1化简计算结果1）两个化简函数Simpl if ye xpr 使用变换化简表达式Ful l Simpl if ye xpr 使用更广泛的变换化简表达式注：函数Ful l Simpl if y还可以化简特殊函数I n1:=Ful l SiJ ivl if YGa iiina x Ga nna l-x Out吓 ttCscWxl np:=Ful l SiJ ii)l if yBe sse l J v；ixBe sse l l v,xOut p(ix)vx-v2）带有条件的化简化简函数允许带有条件,条件可以是等 式或不等式,还可以使用下面的表达式指明 数的取值范围 x e do m El e me nt x?do m其中do m只能取下列集合之一 int e g e r s,Ra t io na l s,Re a l s?Co mpl e xe s,Pr ime s,Al g e b r a ic s,Bo o l e a ns.In1:=近 e Re a l sOut 吓 Tr ueln2：=tt e Al g e b r a ic sOut 2 Fa l selnp:=近+2 近 e Al g e b r a ic sOut/Tr ueln4：=e e Co il e xe sl n5:=1,2 e Ra t io na l sOut阳 Fal se2I郦 一 e Ra t io na l s3Out 阱 Tr uel n7：=2 e Ra t io na l s0ut4=Tr ueOut 件 Tr ue2常用的因式分解函数1）因式分解用于因式分解的函数是:Fa c t o r e xpr 用于和式的因式分解，也 可以分解分式的分子、分母（还可以先通分,再分解2）合并同类项合并同类项的函数是Co l l e c t,调用格式 如下：Co l l e c t e xpr？x将表达式e xpr中的x的同次塞合并 Co l l e c t e xpr,x,y,将表达式e xpr按x,y,的同次塞合并.3）表达式的展开将表达式展开的函数有：Expa nde xpr Expa nd Al l e xpr 这两个函数都可用于乘积的展开，也可 以展开分式.后者的展开更为彻底,前者展 开分式时只展开分子，后者将分子、分母 都进行展开.还有两个特殊的展开函数：Expa ndNume r a t o r e xpr 只展开分式的分子AExpa ndDe no mina t o r e xpr 只展开分 式的分母4）分式的化简与展开下列函数分别用于有理式的合并、化简 与展开To g e t he re xpr用于通分，把所有的项放在同一个分母上并化简A Ca ne叫e xpr用于约去分子、分母的公 因式Apa r te xpr将有理式分解为最简分式 的和5）输出的缩减形式有时输出结果很长,并不需要了解其中 的细节,只需要知道它的结构,这时可以使 用函数Sho r t简化结果的输出形式：Sho r t e xpr 将输出结果缩略成一行显示Sho r t e xpr,n将输出结果缩略成n行显 示6）三角函数式的化简还有三角函数专用的分解、展开、化简 函数：Tr ig Expa nde xpr 将三角函数式展开Tr ig Fa c t o r e xpr 将三角函数式因式分解Tr ig Re duc e e xpr 用倍角化简三角函数式Tr ig To Expe xpr 将三角函数式转换成指数形式ExpTo Tr ig e xpr 前个函数的逆变换3多项式的运ISvT两个多项式的四则运算使用通常的+,-,*，/运算符,其中乘号可以用空格代替.Po l yno mia l Quo t ie nt p 1,p2,x求x 的多项式pl被p2除的商Po l yno mia l Re ma inde r pl,p2,x求x的多pl被p2除的余式Po l yno mia l GCDpl,p2v.求多个因式的最大公因式Po l yno mia l LCMpl,p2v.求多个因式的最小公倍式4解方程1）解符号方程（组）在Ma t he ma t ic a中“二”用于给变量赋值,而方程中的等号使用符号来表示.方程组用花括号括起来,各个方程之间用逗号星鲸 分隔.所有未知量也用花括号括起来,未知8量之间用逗号分隔.单个方程和未知量不必使用花手号.以下用e qns表示方程组,用 va r s表示未知量组下列函数用于解符号方程（组）:So l ve e qns?va r s对系数按常规约定求出 方程（组）的全部解.Re duc e e qns9va r s讨论系数出现的各种可能情况，分别求解.2）解集的再处理有时我们再后面的计算中需要再用到已 求出的解集,我们可以按下面的办法提取解 的值供后面引用3）求近似解有很多方程是根本不能求出准确解的,前 面介绍的一些函数也无能为力.下列函数专 门用于求方程（组）的数值解.NSo l ve e qns,va r s求代数方程（组）的全 部数值解FindRo o t e qns,x,xO,y,yO,.从（xO,yO,）出发找方程（组）的一个解4）消去某些变量El imina t e e qns?e l ims从一组等式中消去变量（组）e l ims5解不等式Ma t he ma t ic a没有解不等式的内部函数,但是它自带的外部函数有此功能,但必须将 有此函数的程序文件调入后才能使用,文件 位于Ma t he ma t ic a的标准扩展程序包集中.标准扩展程序包集是Ma t he ma t ic a的一 个子目录St a nda r dPa c ka g e,它的子目录我 们称为程序包子集.程序包子集按数学学科分类,如Al g e b r a,E9 Ca l c ul us等.每个程序包子集中有多个文件,文件扩展名为m.每个文件中有一个或多个 I外部函数.调入方法是键入：Limit f？x-xO求函数f(x)当xxO时 的极限.注:Ma t he ma t ic a m没有区分00 和+00,使用x-o o时的极限要小心.