1、第四章级数 1复数项级数1.复数列的极限设隔（片12）为一复数列,其中弓=+却又设上力为一确定的复数.如果任意给定0,相应地能找到一个正数 N（欧使在心N时成立,贝I。称为复数 歹U%00时的极限.记作lim%=ans此时也称复数列隔收敛于以3定理一复数列隔（=1,2,.）收敛于。的充要条件是 lim“二,lim 4 二600 00证如果Bm%=a，则对于任意给定的。,00就能找到一个正数N,当心N时，|（。+/）（。+活）则 I4。国（氏一3|所以 limaa=a,同理Jim2=6.ns ns4反之,如果an=a.Vm bn=bng oo则任给,存在N,当NH寸，,L L 4 _ q i 2
2、,i a _ 61 从而有1%-a 1=1（“-。）+他-b）|an-a+bn-b一都收敛n=n=证因s=ax+cr2+.+隔=(i+2+%)+，31+%+.+勾尸3十七，其中=。1+。2+。，弓=d+2+.+勾分别为00 00Z%和 b的部分和，由定理一，6,皆极限存在的充要条件是仇和1的极00 00限存在，即级数 和 都收敛.=1=17定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题.00 00而由实数项级数和收敛的必要条件 n=l n=llim=0和 lim，=0,n s oo立即可得lim%=0,从而推出复数项级数n s00X%收敛的必要条件是lim an=0.n sn=l8定
3、理三00 00如果i%收敛，则%也收敛，且不等式n=l n=loc z%n=l00成立n=l-、-.证.00 00 _由于Zu i=Z而运，n=l n=l而 I%区 M:+b;,b 和5 也都收敛，则%是收敛的.n=l n=l n=l而又区nk=ln因此k=llim-00nk=n-00 k=l00或z%k=l00k=l1000 00如果|%|收敛，则称级数 a”绝对收敛.n=l n=l非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.11由于亚an+bn I,因此00 _ 00 00EM+b；江 a i+2M i,n=l n=l n=l00 00 00所以当士孙与士”绝对收敛时,鬼也绝对n=l n=l n
4、=l00收敛，因此绝对收敛的充要条件是n=l00 00与以”绝对收敛.n=l n=l122塞级数131.幕级数的概念设弘(片12.)为一复变 函数序列，其中各项在区域。内有定义.表达式00Z(z)=z)+&z)+-+(z)+-(421)n1称为复变函数项级数.最前面项的和Sn(z)=fi(z)y(z)+.(z)称为这级数的部分和.14如果对于。内的某一点Zo,极限MSQohsGo)00存在,则称复变函数项级数(421)在zo收敛,而 s(z0)称为它的和如果级数在。内处处收敛,则 它的和一定是z的一个函数S(2)：s(z)=A9+“+00S称为级数 E fn(?)的祖函数n-当心(z尸金.i(
5、zQ)-1或%(z尸C_1ZT时,就得到函 数项级数的特殊情形：00Zc(z-0=cQ+ci(z-a)+c2(z-a)2+n=0+g(z)“+(4.2.2)00或 Z cnzn=c0+cxz+c2z2 H-b cnzn H(4.2.3)n=0这种级数称为幕级数.y如果令2-所或则(4.2.2)成为，这是(423)的形式，为了方便,今后常就(423)讨论16定理一(阿贝尔A bel定理)00如果级数在Z=Z0(W 0)收敛，则对满足 n=0z|z01的Z,级数必发散17-、-.证.00因收敛，则limgz=0,二0则存在又使对所有的有I gz M如果|z|Zo I，则月y=q l,而lZ0 I|
6、cZI=l|Jd Mqn18nI 1=1 Vo k F W00由于士收为公比小于1的等比级数,故收敛72=000 00因此A gz I|2。|n=000用反证法，设级数。2反而收敛,则根据 n=000前面的结论可导出5z彳收敛，与所设n=000矛盾.因此只能是5/发散n=0202.收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理，可以 定出幕级数的收敛范围,对一个幕级数来说，它的收敛情况不外乎三种：i）对所有的正实数都是收敛的.这时,根据阿 贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii）对所有的正实数除2=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.iii）既存在使级数收敛的正实数,也存在使级 数发
7、散的正实数.设2=0（正实数）时,级数收敛,2=仇正实数）时,级数发散.21显然将收敛域染成红色,发散域为蓝色.22当。由小逐渐变大时,Q必定逐渐接近一个以 原点为中心，及为半径的圆周般.在。的内部 都是红色,外部都是蓝色.这个红蓝两色的分 界圆周。火称为幕级数的收敛圆.在收敛圆的外 部,级数发散.收敛圆的内部,级数绝对收敛.收敛圆的半径K称为收敛半径.所以塞级数(423)的收敛范围是以原点为中心的圆域.对 幕级数(422)来说,收敛范围是以2=为中心 的圆域.在收敛圆上是否收敛,则不一定.23例1求越级数00Z几=l+z+z2 H-Zn 二0的收敛范围与和函数.解级数实际上是等比级数,部分和
8、为1 nSn=1+Z+Z2+2=,(2 W 1)L-Z24i nsn=l+z+z2 H-Zn=-,(z W 1)1 21当|z|附，由于lim zn=0,从而有lim sn=-ns ns 1-Z即I z|1时级数当I 2 2 1时,由于 T 00时2不趋于零，级数发散.收敛范围为|Z|)?n=0Z R.R=min(rr2)28更为重要的是代换(复合)运算00如果当I z|井时J(z)=又设在zRn=0内g(z)解析且满足I g(z)|r,则当I Z|时,00/g(z)=Z4g(z)Fn=0这个代换运算,在把函数展开成塞级数时,有 着广泛的应用.2900例4把函数工表成形如.一。）”的募级数,其
9、中。与b是不相等的复常数.解把函数占写成如下形式：1 _ 1 1 z-b z-a)-Qj-a)b-a-1(z-a)(z-a)2b a(6-a)?(Z?a)31z-a b-az-a)n(b a)n收敛半径为R=b-a30当匕_旬/_|=火时ty 级被收敛b.*aO x3100定理四设越级数。）的收敛半径为凡则001）它的和函数（I）”是收敛圆|z内 的解析函数.2皿力在收敛圆内的导数可将其幕函数逐项求导得 到，即00f，（z）=吟（z-a）1n=l323）hz）在收敛圆内可以逐项积分,即00J/（2）d z=Z c J（2-a）d z,C Gz-aRc=。c或oo”，）14=忠（2。）+|Ja
10、M+l333泰勒级数34设函数/在区域。内解析,而|，Zo|十为。内以 Zo为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含 于2把它记作K,又设Z为K内任一点.35按柯西积分公式,有/GA五一（K 1其中K取正方向，且有111(4.3.1)q-z(-z0)-(z-z0)Czo1 z zO1 一口由于积分变量飘在圆周K上，点z在K的内部，36代入(4.3.1)得N-1/(z)=Z n=01+27JK1 J/(7)d72k/j(z”y/)4z。严(z zj由解析函数高阶导数公式(361)、上式可写成N-l/(2)=Zn=0/(Z。)n(2 z)+Rn(2)(4.3.2)其中Rn(z)=1 fy/)2兀乩4
11、(?z产(z-zoy K(4.3.3)37“”却用3 3)如果能证明lim An(z)=。在K内成立，由(432)Ns8,（叫/嗔 JF（z-z0）（4.3.4）在K内成立,即火2)可在K内用幕级数表达2 Z。r=qq与积分变量z无关,且OVq L38K含于2上)在。内解析，在K上连续,在K上有 界，因此在K上存在正实数M使次z)|6.&区白(z-z)ds K n-Nzo)|1 3 n MqN 7q-2ti r=-2兀”-qn-N 139因此,下面的公式在K内成立.00 小),7、zV(4.3.4)n=0 几称为az)在2。的泰勒展开式,它右端的级数称为 区2)容20处的泰勒级数.圆周K的半径
12、可以任意增大,只要K在。内.所 以,如果Z。到。的边界上各点的最短距离为a 则(4.3.4)在圆域|z-Zo|vd内成立.但这时对/在飞的泰勒级数来说,它的收敛半径&至少等 于d,因为凡满足|z-201Vd的2必能使(4.3.4)成立.即心d.40定理（泰勒展开定理）设/在区域。内解析,Zo 为。内的一点,d为Zo到。的边界上各点的最短 距离,则当|z-Z0|vd时,00/（Z）=WX（Z-20）n=0成立，其中1（%）,=0,12.41如果/（z）在解析,则使/（2）在Zo的泰勒展开式 成立的圆域的半径K等于从Z。至叭Z）的距Z。最近 一个奇点。的距离,R=a-z0.这是因为化）在 收敛圆内
13、解析,故奇点。不可能在收敛圆内.又因为奇点。不可能在收敛圆外,不然收敛半 径还可以扩大，因此奇点a只能在收敛圆周上.1ya.I%任何解析函数展开成募级数的结果就是就是 泰勒级数,因而是唯一的.这是因为，假设/(Z)在Z。用另外的方法展开为泰 勒级数：上尸劭+。1(z-z0)+tz2(z-z0)2+.+an(z-ZQ)n+.,则 心尸&.而 fz)=ai+22(2-z()+.于是/(Z0尸内.同理可得 14=豆/(%),43利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:1g=JG。）（=02）把/（2）在2。展开成塞级数,这被称作直接展开法,例如，求。之在2=0处的泰勒展开式，由于e）（）=ez,葭
14、0=1,（=0,1,2,.）故有 z2 zez=l+z+.（4.3.5）f 1/因为ez在复平面内处处解析,上式在复平 面内处处成立，收敛半径为北44同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3 5 z Z/1smz=z-+.+(-1)2 4cosz=l-*+亍-+(-1)乙.I 2+1Z-1-(2+1)!(4.3.6)2Z-H (2)！(4.3.7)因为sin z与cos z在复平面上处处解析,所以这 些等式也在复平面内处处成立.45除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开 式,利用塞级数的运算性质和分析性质（定理 四），以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒 展开式，此方法称为间
15、接展开法.例如sin z在 z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出：sin z=3 5 oo 2n+l46例1把函数/77展开成z的幕级数.1解由于函数记7有一奇点2=-1,而在|z|Vl内 处处解析，所以可在闵1内展开成Z的事级数.因为1 9.=z+z2 _,+(_l)z+,|z|L(4.3.8)将上式两边求导得1-7=1 2Z+3Z2.+(l)T ZT+,Z 1.(1+Z)247例2求对数函数的主值ln(l+z)在z=0处的哥级 数展开式.解ln(l+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面481 00因为ln(1+z)f=-=(-1)/,逐项积分得+Z n-0f dz=f dz-f 2d2H
16、-F f(-l)nzn dz-i9Jo 1+z Jo Jo Jo即2 3ln(l+z)=z +-F(-1)乙 Jzn+n Z-H-n+1|1,(4.3.9)4900哥级数Z Cn（2-%）在收敛圆I 2-2。I火内的 n=0和函数是解析函数;反过来，在圆域|z-z|R 内解析的函数r（Z）必能在为展开成累级数00Z.（Z-2。）.所以，/（z）在2。解析跟f（2）在2。的 n=000邻域内可以展开成塞级数 C”（z-Z。）是两种=0等价的说法.50作业第四章习题 第143页开始 第11,12题51请提问52定理解析函数/(z)的导数仍为解析函数，它的 阶导数为：/()z柒/(Z)(。)一 2兀小zopidz(n=1,2,)(3.6.1)其中。为在函数/(z)的解析区域。内围绕z0的任 何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D53
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