《数与代数》、《图形与几何》部分小、初、高数学教学衔接.pdf

数与代数、图形与几何部分小、初、高数学教学衔接一、义务教育学段的划分与内容安排：将九年义务教育划分为三个学段：第一学段（广3年级）、第二学段（46年级）、第 三学段（79年级）“数与代数的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等O“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形 的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的 证明；运用坐标描述图形的位置和运动。二、课程标准中三个学段目标的比VM（一）、学段目标 第一学段（13年级）知识技能 1.经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内 数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的量；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准 确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位，进行简单的估算。2.经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图 形的过程，了解一些简单几何体和常见的平面图形;感受平移、旋转、轴对称现象；认识物体的相对 位置。掌握初步的测量、识图和画图的技能。第二学段（46年级）知识技能1.体验从具体情境中抽象出数的过程，认识万 以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义；掌握必要的运算技能；理解 估算（让某-部分变大或变小）的意义；能用方程表示 简单的数量关系，能解简单的方程。2.探索一些图形的形状、大小和位置关系，了 解一些几何体和平面图形的基本特征；体验简 单图形的运动过程，能在方格纸上画出简单图 形运动后的图形，了解确定物体位置的一些基 本方法；掌握测量、识图和画图的基本方法。第三学段（79年级）知识技能1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理 数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的 运算（包括估算（初中无理数的估算、高中二分法求近似解）技育L；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。2.探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的 基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技 能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识 投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用。（二）、各个学段需要达到的能力 数学思考（13年级）1.在运用数及适当的度量单位描述现实生活 中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过 程中，发展数感；在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间 观念。问题解决-1.能在教师的指导下，从日常生活中发现和 提出简单的数学问题，并尝试解决。2.了解分析问题和解决问题的一些基本方法,知道同一个问题可以有不同的解决方法 数学思考（46年级）1.初步形成数感和空间观念，感受符号和几何直观 的作用。2.在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情 推理能力（比如是不是，小学也有通过已知小立方体的临面 来判断对面的推理,与初一衔接），能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。问题解决：1.尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。2.能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解 解决问题方法的多样性 _数学思考（79年级）1.通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关 系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究 图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发 展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建 立几何直观。2.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加 以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情 推理与演绎推理的能力。问题解决：（79年级）1.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和 提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题，增强应用意识，提高实践能力。2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的 过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和 解决问题的一些基本方法。/N结合课标看教材（小、初衔3（一）、数与代数部分 三）、图形与几何部分4卜I y f（一）、数与代数举例（6下）数与代数!於数的认识。A*.；1 3 A*n b.J”a.一 .?：-一.：.：-：-.-c-我们学过了哪些数？一起来整理一下.-,.,*.,我优I学过了整数.、分数、小数0 I,2 9 3都 是自然救，自然效 是整我的一部分G-19 2 9 3.是负数，这些负效也 是整数二把单位T平均分成若干份，表示这 基同 样的一份或几份的数，叫做分数。小教7 皂1（）T-*-A-*-4-j：J-4：_I-.4 3 2 1 0 r%1 2/_ 3 40.7 2.0小学关于负数的描述为温度计。以下的数，数轴上0左边的数，而初中要丰富多5005初中关于数的分类：（整数（有理数,实数，分数正整数 零负整数 正分数 负分数,无理数正无理数负无理数高中增加虚数后再次将数系扩充到复数范围二、数与代数部分举例例1说明工，025和25%的含义。（选自第 二学段）4分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法，但含 义是有所不同的。真力数通常表示部分与整体的关系，如全班同学人数的石；小数通常表示具体的数量，如 一只铅笔0.25元；百分数是同分母（统一标准）的比值,便于比较，如去年比前年增长21%、今年比去年增长 25%o希望学生能够理解它们的含义，在生活中能够合 理使用。1 4例2 9.9X6,9比70小吗？二+二 比1大吗？（选 自第二学段不等式内容）可以把99放大为10,因为10义6.9=69,估算结 果比70小。4 1 14 11可以把可缩小为可，估算比5+5=1大II学生对天平的直观理解上AMX.5。.50 5050A、十10:10+1。x=10:筝式两边同时咸去同一个数*等式.简单的一元一次方程(6)例：学校买来50张电影票一部分是4元一张的学生 票，一部分是6元一张的成人票，总票价是260元。两 种票各买了多少张？.一_咨的初一新生是这样解答问题的:廉基于不黯蜗懒i们蕾则运算的强化和还未瞰成跖模思想QP(元)比实际少算的钱数：260-200=6()(元)解：(260-4 X50)+2年少算60元呢？50-30=20一张学生票比一张成人票少算了 2元，3张成人票少算了 6。元呢？6()二2=30(张)答：初中教学：解法一：设学生票X张，成人票”长I我用方程锦大.爰:俄感献有T魁支R睛掰9)张；6 x 十1(东 土”=2?(P6 x 2Q%=260解得：jy=30才=60 x=3()答:.5 一犬=50 30=20-答：成人票有30张，学生票有2。米：)（二）、图形与几何部分举例例1、（选自第一学段）观察右图亲自摆一摆小立方体实物体验式观察 LL请在下图中指出从前面、右面、上面看到的 相应图形：教学中应注意的细节：我们在三视图教学时，学生易 想当然的出现正视图、后视图、右视图、俯视图站在 背后看这样的错误。例2、腐躺单殿截狒从某祠啾倩（正面、右 面、左面、后面、上面）看到的形状分别是什么？例3：（选自第三学段）如图是一些小正方体搭 成的几何体俯视图，小正方形中的数字表示该 位置的小正方体的个数，请画出它的主视图，本初图解;如图所示：主视图左视图在小学阶段只要求会看，而在初中阶段提高到会画例4分类计数。将图13中边长分别为3和4的正方体的表面刷 上红色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体。探求满足 下面条件的小正方体的数量规律。(第二学段)(1)边长为3的正方体中，三面、两面、一面有红色的小正方 体各有多少个？(2)边长为4的正方体中，三面、两面、一面有红色的小正方 体各有多少个？(3)将正方体的边长分别改为5和6,结果如何？(4)分析上面三和题的求解过程，你能发现什么规律？三、初高中数学教学的衔接1、数学概念从描述到抽象程度上突变-初中数学一些定义、定理继续延续形象、通俗的语言方式进行表达，数学概念 大多是描述性的，而高中数学的概念相对 较为严谨。如：高一数学一下子就触及到现代数学的一些分支，比如非常抽象的 合语言、逻辑运算语言、函数语言、图1、数学概念从描述到抽象程度上突变举例说明：初中函数的定义：在某个变化过程中，有两个变 量X和y,如果给一个X值，相应地就确定一个y 值，那么我们就称y是x的函数(其中x是自变量,y是因变量)高中函数定义：设A、B是非空数集，如果按照 某种确定的对应关系L使对于集合A中的任意一 个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对 应，那么就称f：B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x).2、思维方法由类比模仿向理性层次迁跃 有相当一部分初中学习较好的同学刚进入高中时对数学学习产生障碍。很多同学感觉课 堂能听懂，但是做题时已做就错，看题时没有 思路，甚至不会做题。初中阶段，我们习惯于 为学生将各种题建立了统一的思维模式，如在 应用题二次函数求最值问题要求学生记公式，不注意配平方方法的理解，这种“一步到位”式的记忆，大大弱化了函数的图像语言功能。因此，初中学生比较习惯于这种机械的，便于 操作的定势解题方式，而高中数学在思维形式 上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思 维能力提出了高要求。3、课堂教学内容容量加大初中相对来说课堂教学内容较少，定义一 节、性质一节，判定一节，而高中可能集中在 同一节，单位时间内接受知识信息量与初中相比增加了许多，要求学生上课高度集中，专心听讲，学会记笔记。初中时候2熊培养学 生的良好的自主学习、善于思善和记蠢记的习惯。（要求学生在课堂听课时 到、手到）.脑4、高中知识各部分内容相对独立性初中知识系统性、连贯性较强，方便学生的记忆 和学习，而高中知识分为：1集合与函数、基本初 等函数。2立体几何初步、解析几何初步。3算法初步、概率与统计.4三角函数与恒等变换、平面向量,5解三角形、数列、不等式,6常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。7导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入。8计数原理、统计案例、概率。9不等式的基本性质和证明的基本方法等。*各部分内容相对独立，但又互相渗透，知识交错、信息量大，如何帮助学生从大量的信息筛选出 有用的信息？要求帮助学生学会审题，提高知识 的灵活运用和信息迁移能力。（二）、重视数学知识的形成与数学思想方法渗透数学思想是人们对数学活动经验的高度概括和总结，是 解决数学解题的金钥匙。高中阶段常用的数学思想是初中 的延续和深入。初中侧重给出模型学生以类比，高中侧重 于学生自己构造模型与应用。（数学思维出现质的飞跃）数形结合思想函数与方程的思想 F厂建模思想 和类比的思想（第23题题型）:/化归与转化的思想 学”分类讨论是思想（第24题的动点题型）!整体的思想、化归与转化思想例:在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,将矩形 ABCD沿AF翻折，使得点B落在CD边上的点 E处，折痕AF交BC于点F,求FC的长.解析：将变量化归到RtZkEFC中 转化为用勾股定理解直角三角形遇到折叠不要怕，先设变量后转化;锁定直角三角形，勾股定理解决它。恒等变换思想例、已知95=4,求2工一y的值“,2x-2y+7xy整体思想例、已知关于x、y二元一次方程组(3x-ay=5 上=5jx+by=n 的解为1,=6求下列方程组的解尸飞了“：?；5x+y+b(x-y)=11若整体考虑，令犬+尸x-y=t(三)、初高中教学衔接中，要着重 生学生两方面的能力，以巩固学生的螂儒 合思想:(1)关于代数问题几何化(2)关于几何问题代数化(1)关于代数词题几何化-例 1:求+=?2 4 8 16 32 64 128解析：画一个边长为1的正方形，则其面积为1,按图5所示的方法分割下去，会发现（图中 数据表示面积）：1113I 1 2 4 4 411117-1-1-=1-=一2 4 8 8 81 1 1-1-1-1-,[phone]二1,1111 1推广 2+2?+2?+2T+，+FT 2例2.【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23=32?(升学指导)【解决问题】A表示一个1 X1的正方形，即1 X1 X1=13 B表示1个2X2正方形，C与D恰好可以拼 成1个2X2正方形。因此：B、C、D可以表示2个2X2正方形。即：2 X2X2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个(1+2)X(1+2)的大正方形。由此可得：13+23=321 2f-1 A DB2C【递进探究】请你仿用上面的表示几何图形面积 施方法探究：13+23+33=?如图：A表示一个1义1的正方形，即：1X1X1=rB、C、D表示2个2义2的正 方形，即：2X2X2=23 E、F、G表示3个3X3的正方 形；即：3X3X3=33而A、B、C、D、E、F、G恰好可 以拼成一个(1+2+3)(1+2+3)的大正方形 313+23+33=62121 23AD1 I 7F1 4CBGE【推广探究】请用上面的表示几何图形 面积的方法探究：13+23+33+.+n3=?o由上面表示几何图形的面积探究知：r+23+33+.+n3=(1+2+3+.+n)(1+2+3+.+n)-+1)又:1+2+3+n=乙二.13+23+33+.+n3=n(n+1)2-2 _ n2(n+l)2 4小学的高斯计算1+2+3+.+100=1+2+3+n=?t己 S=1+2+3+.+(n-1)+nS=n+(n-1)+.+3+2+1A2S=(1+n)+(1+n)+.+(1+n)+(1+n)=n(n+1)n(n+1)S=9/1、2 n(n+1)1+2+3+.,+n=-/_与高中数列部分衔接这种倒序想加法，避免了前后配对是关于n的奇偶数的讨论。例3,已知：m、n、p为正数，且 m2+n2-p2=0 求的最小值.（初高中衔接）解析此果直接用代数方法来解，显得难以入手，但题目所给的等式有明显的几何结构特征，将其变 形为m2+n2=p2,则会很容易联想到勾股定理解：构造以m、n为直角边，p为 斜边的 RtABC 和 RtZkDEC,如上图摆放，则在直角梯 形ABCD中，因为AD=x/5p,所以,所以P、P V2-，-=-2m+n4、连线中考：（2011年、2013年）（2013青岛）在前面的学习中，我们通过对 同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发 现并验证了平方差公式和完全平方公式.这种 利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量 关系因几何直观而形象化.图图以47X43为例【研究速算】提出问题：47X43,56X54,79义71,是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相 乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47X43为例：(1)画长为47,宽为43的矩形，:p-一如图3,将这个47X43的矩形从 厂右边切下长40,宽3的一条，拼|)接到原矩形上面.40 I400)?几何建模：+2(1)变形：x(x+2)=35；-(2)画四个长为，宽为的矩形，一+2构造图 1+2(3)分析：图中的大正方形 面积可以有两种不同的表达方 一卜%斗一，+2 式，(x+x+2)2或四个长x+2,第23题图宽X的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积即：(x+x+2)2=4x(x+2)+2?x=5归纳提炼：求关于X的一元二次方程xx+b)=c x 0,b O.c0)的解。画四个长为x+b,宽为X的矩形，构造答图1,则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：(x+x+b)2或四个长为x+b,宽为x的矩形面积之 和，加上中间边长为b的小正方形面积.即：(x+x+b)2=4x(x+b)+b2Vx(x+b)=c,/.(x+x+b)2=4c+b2/.(2x+b)2=4c+b2 YX0-Z7+a/z?2+4c JC 2x+b*x f答图1【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示(y+3)(y+2)与 2y+5的大小关系(其中y0)?几何建模：(1)画长y+3,宽y+2的矩形，按图5方式分割(2)变形:2y+5=(y+3)+(y+2).y-1 (y+3)+(y+2),j即(y+3)(y+2)2y+5 第23题图无论是快速计算、解一二次方程、研究不等式，这些代数问题都通过建立几何模型加以解决 I【研究不等关系】归纳提炼：(1)根据题意，设a=2+m,b=2+n(m0,n0)，画长为2+m,宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割.(2)变形：a+b=(2+m)+(2+n)(3)图中大矩形面积可表示为 部分面积可表示为(2+m)与 部分与整体的关系可知，(2+m)-(2+n),阴影(2+n)的和.由图形的 w 1(2+m).(2+n)(2+m)+(2+n),jBPaba+b.答图2（2）关于几何问题代数化例 1：如图，在/ABC中，BEF、/CDF、/BCF的面积分别为5、10,求四边形AEFD的面积.分析：利用共底等高三角形 的面积比等于底边边长的比AFBC解：连接AF,设 SAAEF X，SAADF V；QbefSBCFEF=.Saef=EF=5FC 10 S.ACF FC 10Z-A ACrT 7 SAADF _ S4CDF _ DF _ 8 S AABFS abcfBF10A原方程组可化;4x-5y=-20解得x=l Qy=12二 S四边形aefo=x+y=222013年模拟卷第23题：如图（1）,梯形ABCD中，ADBC,对角线AC、BD相交于点O.则 区里=丝成立吗？试说明理由.Q BCD J【拓展与延伸】（2）,如图（6）,E、F分别是/ABC两边AB、AC上的点，且AE=mEB,AF=nFC,线段BF、CE相交于点P,i CP贝！I J PE分析：连接AP,则4APE与 EBPE;AAPEAAPC;ABPC/与aBPE;等都是共底等高三角形。PC解法一汝口图设 ABPE=兀 S&CPF=y,S SAAPE=9兀 Zapf=nynn+l除了添加辅助线利用相(m+l)x+ny=mx+(几+l)y=解得qmm+1(72+l)y=-(m+n+1)mnmx=-(m+l)(m+1)似来求外，高中更加强 调这种通性通法的解题 思路CP=Src=5+Dy=加+1PC Sape n-解法二：连接AP,由共底等高三角光 面积比等于其底边边长的比。设 SABPE 兀 S丛CPF-y,SABCP aAnx/ny F则S“PE 二根兀 Saapf=nyCP _ SABPC _ S/APC 即 g _PE S lbpe S aape lBP S abpc a apbPF S acpf S aapf(+Dy mx(m+l)x nyQ)Q)，即g=y2由(1)、易得:屋必z.3/+i)y J+l x n(n+1)PE mx n(四)、初高中需要衔接的部分知识点L一元二次方程、一元二次不等式与二次函数 的三位一体的关系：r(D十字相乘法、分组分解法因式分解;(2)(3)判别式;刑刊工储 始终贯穿于高根与系数的关系J析几何圆锥曲1(4)二次函数的几种形式：一般式、顶点式、双根式。中阶段三个二次（一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数）体现了数型的完美结合的思想“一兀二次方程 ax2+bx+c=O一元二次不等式ax2+bx+c 0I一元二次函数 y=ax2+bx+c例：求不等式x2-x-60的解;图 2.3 1关于22题二次函数应用题的一点思考:草图是工具而不是枷锁2不等式的分类讨论思想与穿根法解法（初高衔接）小学阶段的比较大小，初中阶段的解一元一次不等 式，高中阶段的解二元一次不等式及高次不等式。例：解 x2 X 6 0 p(x+2 01 或x-30二原不等式的解集油-2 V x0 2、(x+1)(2x-1)(x+3)(x-1)0用穿根法解整式、分式不等式注意事项,可记以下口诀：移项调号，分解排序，从右至左，奇穿偶回9分母非零，参数讨论，仔细求解，小心等号4、函数丁=心+人)2+上与y=&的图象 之间变换关系二次函数y=a(x+%)2+左中，a决定了二次函数图象的开口大小 及方向；方决定了二次函数图象 的左右平移，而且“方正左移，h 负右移“；k决定了二次函数图象 的上下平移，而且“k正上移，k负下移”函数图象的变换图2.2-2犍议礴叫浅瞧墙樵的嬲臊翻随系 数美察高中阶段的学习很有帮助1.问题提出：若一元二次方程%2+x+c=0（邦）有两个实数根：_ _/?+J/?2 4ac IdJ/?2 4ac，“2l a观察工1+X2、X1X2y Xf X2、有什么特点?2a 土的结果,%2直接由求根公式得到的结论:b玉+=-二，运用根与系数的关系时，必 a 须注意前提条件：力“2 4cX X，a$_-b+b2-4ac%Id 4ac由二次函数的双根式得到:ax2+bx+c=0,两根为修、与，贝U ax2+bx+c=a(x xx)(x x2)贝!|=a(xx+x2),c=a xtx2ax2 a(/+x2)x+a xx x2_ bacX+%2根与系数的关系a例2、若占和%2分别是一元二次方程 2%2+5%3=0的两根.(1)求|X一对的值;1 1(2)求滔+7的值/VI(3)求西+寸初中学段利用根与系数的关系作恒等变 换与高中阶段常利用设而不解的思想一致性,在解析几何处理直线与圆锥曲线的交点时常 常用期5.常用恒等变形:分式的通分，裂项。(这与高中数列的求和息息相关)(1)试证：下二(其中。是正整数)；nn+1)n n+1计算：石+99x10(/6.待定系数法求值问题:例1若9+旦，求常数A、B的值.xx+2)x x+27.换元法：初中不作具体要求，而高中阶段 作为一种基本方法例：求方程+2x2 8=0的解解：令Y=%原方程可化为+2,一8=0即：0+1)2=9略几点教学建议:1、重视数学知识的形成与数学思想方法渗透2、处理好接受学习与创造学习的关系提倡解题的多样化与重视基通法的指导）4、加大对学生自学能力的培