资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢您,初等数学应用与建模,第一章 数学应用与建模概述,温大数学学院黄忠裕,13858846403,zyhuang0577,第1页,第一节 数学应用认知,老学究说,:,数学有用在于教给怎样准确地思索和推理。,建筑师或雕塑家说,:,数学有用在于造成对视觉美了解和创造。,哲学家说,:,数学有用在于使人们能够回避日常现实生活。,数学教师说,:,数学有用在于为他提供面包和黄油。,出版商说,:,数学有用在于使他能卖出很多教科书。,天文学家和物理学家说,:,数学有用在于它是科学语言。,土木工程师说,:,数学使他能高效率地建造桥梁。,数学家说,:,数学有用在数学内部，一部分数学有用在于它能应用于另一部分数学。,第2页,一 数学应用促进数学发展,几何学，微积分，统计学，运筹学等；,例,2,统计数学建立。,统计思想产生于以下三方面实践：,人口调查；随机游戏（如赌博）；科学方法论。,比如调查可靠性问题、抽样方法问题、误差问题、人口分布问题、赌博分点问题等各种含有不确定性随机问题；科学方法论中科学试验数据处理问题；观察误差分析问题等。,因为这三方面都包括到人们直接功利，统计数学对应就产生了。,第3页,二 数学是一切科学得力助手,例,3,非欧几何帮助爱因斯坦建立相对论。,听说爱因斯坦用了几年时间构思出一个理论框架,最基本思想是把引力看作空间曲率,不过令他十分苦恼是他无法表示清楚他思想,数学家格罗斯曼提议他去学一下非欧几里德几何学。爱因斯坦找到了表示他理论语言,建立起了当代物理学基本理论,:,相对论和广义相对论。,广义相对论不像当初非欧几何那样难以触摸，它是对大范围客观世界描述，能够用试验和观察去检验。水星“运动”和光线在大质量物体附近“弯曲”两个事实，证实了广义相对论是正确。,例,4,群论帮助温伯格建立统一守恒定律。,诺贝尔物理奖取得者温伯格等物理学家读到群论时,吃惊地发觉这正是他们所需要用于统一能量守恒定律、动量宁恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律,工具,(,语言,).,这些定律反应了我们周围世界优美对称性,.,群论也就成为了认识晶体结构基本方法，成为研究量子论基本工具。,第4页,三 数学应用是推进社会发展加速器,例,8,精计算使深水炸弹弱变强。,二战期间，英美运输船队在大西洋航行时经常受到德国潜艇攻击。当初，英美两国海军实力有限，一时间，德军潜艇战搞得盟军焦头烂额。英国空军经常派出轰炸机利用深水炸弹对德军潜艇实施打击，但轰炸效果总不理想。,为此，英军请来一些数学家专门研究这一问题。结果发觉，潜艇从发觉英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸为止，只下潜了,7.6,米，而英军飞机深水炸弹却已下沉到,21,米处爆炸，从而对潜艇毁伤效果低下。,经过科学论证，英军果断调整了深水炸弹引信，爆炸深度由,21,米调整到,9.1,米，结果轰炸效果提升了,4,倍，德军还认为英军有了什么新式武器。,第5页,四 应公正地对待“数学应用”,数学在客观上含有社会主要性,在主观上又有不可见性。,数学应用经常是难以预料。,例,9,古希腊素数理论在密码学中应用,例,10,阿波罗尼奥斯圆锥曲线论在开普勒三定律中应用,在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已经相关于圆锥曲线大量研究。不过，圆锥曲线真正有价值应用，是,17,世纪发觉开普勒三定律，用椭圆来描述行星运动规律，这开创了人类研究太阳系行星运动规律新纪元。,第6页,第二节,为何要学？,1、数学建模可对研究对象提供分析、预报、决议或控制、优化等,定量,结果。,例：,美国国家导弹防御系统。,数据处理。,确定弹道导弹轨道，,再确定拦截导弹轨道，,使两颗导弹轨道曲线在空中相交，且交角越小越好。,这种拦截原理要求准确测算、控制和制导，其中大部分是数学问题，包括到大量数学模型。,第7页,在一次乘船游览中，母亲、妻子和儿子同时落水，应该先救谁？,处理方法：,救谁最“方便”就先救谁。,怎样界定“方便”？,一个相对理性答案：,救离自己最近人,问题抽象:,将母亲、妻子和儿子抽象地看成,三个人,，,提炼问题结果：,救人,。,寻求答案：,先救谁,？,距离,生活实例：,第8页,第一节 为何要学？2,2、训练人促进思维能力及问题处理能力培养,“数学最大应用是教育”（谷超豪院士）,数学建模回复了数学研究原来面目：,搜集数据、建立模型、求取答案、解释验证。,第9页,案例：跳板承受力问题,问题背景：,建筑工地为施工需要，在脚手架间搭上跳板。此时需考虑跳板承受最大重量。,定性关系：,跳板越宽、越厚，承受重量就越大；跳板越长，承受重量则相反越小。,问题：,建立跳板承受重量,P,与跳板长,d、,宽,w,和厚,t,之间函数关系呢？,第10页,问题处理思绪：,固定,长,d、,宽,w,和厚,t,中其中两个变量，考查另一个变量与承受重量,P,之间关系。,2,固定,d=10,，,w=3,。,3,固定,w=3,，,t=2,。,1,固定,d=10,，,t=2,承受重量,P,与,宽,w,成正比,承受重量,P,与,厚,t,平方成正比,承受重量,P,与,长,d,成反比,合成：,P=,k,wt,2,/d,第11页,第三节 数学建模概述,一、数学模型,二、数学建模,三、数学模型方法,四、数学建模与数学应用题,第12页,一、什么是数学模型,原型：,实际对象。,模型：,原型替换物。,数学模型：,描述现实对象数量规律数学公式、图形或算法。,第13页,鸡兔同笼问题,今鸡兔同笼，上有,35,头，下有,94,足，问鸡兔各几何？孙子算经,答：,鸡,，兔,。,注：,假定,35,只全是兔子，应该有,140,只脚。可实际只有,94,只脚，多算了,46,只脚，为何呢？,因为把鸡当成兔子算了，到底多少鸡算成兔？,术：,鸡数=,(,头数4-足数,)(,4-2,),数学模型：,算法（凑齐；取半）,;,图示,;,方程,第14页,总结：数学模型含义,普通地，数学模型是指：,对于现实世界一个,特定对象,，,为了一个,特定目标,，,依据特有,内在规律,，,做出一些必要,简化假设,，,利用适当,数学工具,，,得到一个,数学结构,。,第15页,二、数学建模,建立数学模型全过程,案例：伽利略研究自由落体过程,假设：不考虑空气阻力。,自由落体运动与什么参数相关呢？,第16页,研究,1：,自由落体运动与物体轻重（或体积）相关吗？,1.,假设自由落体运动与物体轻重相关，,即“重物体比轻下落快,”（亚里士多德）,现有物体,A,和,B，,不妨设,A,比,B,重，则,A,比,B,下落快,2.,把,A,与,B,拴在一起，记为物体,C,由,C,比,A,重，知,C,比,A,下落快（1）,又,A,把,C,加紧,而,B,把,C,拖慢，,故,C,比,A,下落慢却比,B,下落快（2）,（1）（2）矛盾。,3.,由此证实了“自由落体运动与物体轻重无关”。,用反证法就处理了，需要在比萨斜塔上做试验吗？,数学力量！,第17页,研究2：,物体下落距离,h,随下落时间,t,函数关系,搜集数据,函数模拟,h=gt,2,/2,第18页,研究3,:,模型检验:,h=gt,2,/2,利用,h=gt,2,/2,算出：自由落体从开始下落起，连续,相等时间间隔内,下落距离之比为1：3：5：7。,用试验验证,(,伽利略,):,设计一个钉有钉子光滑斜面，钉子之间距离成奇数比1:3:5:7，一个小球在上面滚动，看经过连续钉子所需时间是否相同。,试验结果表明：经过每个相同时间时降落距离线性递增，由此可知距离和时间是平方关系。,第19页,归纳：数学建模含义,据详细,问题,，在一定,假设,下，找出这个问题,数学模型,，求出模型,解,，并对它进行,验证,全过程,。,建模是,“迭代”,过程：,准备简化假设建立模型求解分析检验应用,第20页,四、数学建模与数学应用题差异,客房定价问题：,一星级旅馆有150个客房。经过一段时间经营，旅馆经理得到了一些数据：,每间客房定价为160元，住房率为55%；,每间客房定价为140元，住房率为64%；,每间客房定价为120元，住房率为75%；,每间客房定价为100元，住房率为86%。,欲使天天收入最高，每间住房应怎样定价？,第21页,模型假设,1、设旅馆每间客房定价相等；,2、据经理提供数据，设伴随房价下降，住房率呈线性增加，每20元10%；,3、不妨设每间客房最高定价为160元。,第22页,建立模型：,设,y,为一天总收入，与160元相比每间客房降了,x,元。,由假设，房价每降低1元，住房率增加0.5%。,所以,y=150(160-x)(0.55+0.005x)，,因为0.55+0.005,x1,可知0,x90.,问题：当0,x90,时，,y,最大值点是多少？,求解模型,当,x=25,时，,y,取最大值。,即最大收入对应住房定价为,135,元，,对应住房率为,0.55+0.005,25=67.5%,，,最大收入为,150,135,67.5%=13668.75(,元,),。,第23页,讨论与验证,1怎么定价？,可验证此收入在已知各种定价中收入最大。,若为管理方便，定价140元（天间）也能够，,因为此时它与最高总收入之差仅为18.75元。,另外，138元、,139,元也较符合习惯。,2假设合理吗？,若定价180元,(,天间,),，住房率为45%,其对应收入只有12150元。所以假设,160,元最高是合理。,线性以及每间客房定价一样也是合理。,第24页,数学建模与应用题差异,问题条件是否充分；,问题是否需要假设；,问题讨论与验证不一样；,问题处理表示形式不一样。,第25页,实例：牙膏出厂价定价问题,(P49),(1),模型准备,.,在日常生活中我们知道，在商店买一个商品时，买大包装比小包装合算，这是由出厂价决定。,比如，某工厂生产某牙膏,60g,装出厂价为,1.15,元,/,支。,150g,装牙膏出厂价为,2.50,元,/,支，显然二者单位质量价格比为,1.15:,，现在该厂据市场需求要生产,180g,装这种牙膏，请你确定这种牙膏合理出厂价格。,(2),模型假设,.,(i),牙膏出厂价格,y,只由生产牙膏成本,y,1,和包装成本,y,2,决定；,(ii),假设生产成本与牙膏,(,不包含牙膏皮,),质量成正比；,(iii),假设生产成本与牙膏壳表面积成正比；,(iv),牙膏壳里牙膏都是满装。,第26页,实例：牙膏出厂价定价问题,(3),模型建立,.,设生产成本,y,1,与牙膏质量,w,百分比系数为,k,1,，则,y,1,=,k,1,w,，,包装成本,y,2,与牙膏壳表面积,S,w,百分比系数为,k,2,，则,y,2,=,k,2,S,w,。,于是,y=y,1,+,y,2,=,k,1,w+k,2,S,w,即为,wg,装牙膏出厂价格，,显然,y,是一个与,w,相关变量。,本题即求解当,w=180,时,y,值。,第27页,(4),模型求解,第28页,实例：牙膏出厂价定价问题,(5),模型分析,（,i,）牙膏实际出厂价格除了生产牙膏成本和包装成本外，还应包含外包装盒等其它部分成本，此模型只考虑这两部分主要成本，与实际情况有一定差距。,（,ii,）此模型假设是一个理想情况，是为了简化模型便于求解，它们间实际关系还应经过详细调查分析得到。,（,iii,）在此模型合理成份基础上，还能够考虑运输成本及销售商品利润等原因，深入改进模型，从而确定这种牙膏一个合理市场售价。,（,6,）模型检验,将计算结果,2.93,元与,180g,装实际出厂价格进行比较，,在一定误差范围内检验此模型是否合乎实际，,若合乎，应用此结果，还能够利用此模型确定,250g,装，,300g,装等这种牙膏出厂价。,假如不合乎，应分析原因并对模型进行改进,.,第29页,第四节,本课程学习提议,一要大量阅读、思索他人做过模型，,二要亲自动手，认真做几个实际问题。,三是要含有,开放思维方式。,第30页,例（来自香港中学数学书本）某一企业，有股东,5,人，工人,100,人，,1990,1992,年,3,年间，该企业收益情况以下表，你怎样,对待这组数据？最好结合图形来说明,。,股东红利(万元),工人工资总额(万元）,1990年 5 10,1991年 7.5 12.5,1992年 10 15,不一样角度看问题,p197,第31页,第32页,实例：叶子面积计算,背景：,在研究植物生长情况时，少不了要考虑到它叶子面积。,植物生理学家惯用一个,简捷公式,算：,“叶面积等于长乘宽除以,1.2.”,类比：预计羊皮面积。,先量一批羊皮面积，把每张羊皮面积除以它脊长和腰围积，得出一批比值。,求这些比值平均数，设为,c,，,便得经验公式：,羊皮面积等于脊长乘腰围乘上常数,c,。,第33页,练习,1,北京电视台每星期六晚播出东芝动物乐园，在这个节目中曾经有这么一个抢答题：小晰蜴体长10，体重12,g，,问：当小晰蜴长到体长为15时，它体重大约是多少（选择答案：18,g、27g、40g、50g）？,试用数学来分析你解答合理性。,量纲分析。,第34页,练习,2,今用比地球赤道长1米铁丝，在赤道平面上围成一个与赤道同心圆，并加以固定。问：铁丝与赤道间间隙能否钻过一只耗子？为何？,直观与数据,第35页,练习,3,在一个充气不足、开始下降热气球上载着三位科学家。一位是环境保护教授，他,能处理环境污染问题；一位是原子教授，他能有效预防全球性核战争；另一位是粮食教授，他能处理未来人类,100,亿人口吃饭问题。现在必须丢出一个人减轻气球负荷方能确保另两位科学家安全。你认为该抛出哪一位？,第36页,思索与预习,思索：,1,、怎样测量高楼高度？,2,、怎样测量两个底部不可抵达建筑物尖顶间距离。,第37页,思索题,4,开掘直线穿山隧道,第38页,思索题,4,：怎样从隧道两头开掘直线穿山隧道？,第39页,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
