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重构被人类影响的海洋生态系统
丁 超 常允刚 杨杰翔
摘　要
研究如何构建可持续发展的海洋生态系统对于实现生态环境保护和资源最优化利用有着重要意义。本文构建了6种生物组成的混养系统，建立物种发展预测模型，给出了水质评价方法，建立了最优化捕捞策略模型，取得了较满意的结果。
针对问题一：建立了有遮目鱼、梭鱼、海参、牡蛎、虾、绿藻构成的食物链，基于竞争捕食模型，建立了各物种的动力学微分方程（4）。查阅《2011-2015年中国海洋生物行业深度调研与投资战略咨询报告》有关数据可以得到相参数，得到方程（5）。利用MATLAB求解所得结果如表4.1-2。6个物种的数量分别为495、265、199、800、621、1242。
针对问题二：如何在问题一的物种投放量情况下评价水质，选取影响水质因素的四个主要指标C含量、N含量、叶绿素含量和微生物含量作为评价指标，借用层次分析法模型给出四个指标的权重比。得出综合评价水质公式 。在（一）的投放情况下计算得出D区水质综合得分为2.532，超出标准值，调整原始投放数据如表4.2-3所示，代如评价公式得到D区水质综合得分0.906.符合的较合理。
针对问题三：如何在保证生态系统问题的前提下最大化经济收益。基于 可持续捕捞模型，建立有人参与情况下的物种数量变化方程（15）。查阅《2011-2015年中国海洋生物行业深度调研与投资战略咨询报告》有关数据可以得到方程相关数据，建立最大收益目标函数，
约束条件（19），代如数据得到总价值与水质得分之间的关系表：

项目 策略
1
2
3
4
5
6
7
总价值S（元）
15660
17561
17400
18111
20881
17444
15441
水质评分y
0.5
0.87
0.95
1.05
3.1
3.81
4.51

用Matlab对总价值和水质评分进行最小二乘拟合
得到最佳捕捞结果如表4.3-2所示。

关键字 Lotka-Volterra模型 水质评价 Scheafer模型 最优规划

一、问题重述与分析
1.1 问题背景
位于陆地A和陆地B之间的区域过去长满了珊瑚礁并且支撑了一个巨大的生物种群。由于商业化遮目鱼养殖的引入，这一区域的生物多样性戏剧性地减少。曾经这里生活着大量的珊瑚现在都被淤泥所覆盖。自从珊瑚被埋葬以后, 由于过度的捕捞和缺少野生鱼的栖息地，现在已经很少有野生鱼出没了。然而鱼是当地居民的重要食物来源, 寻找新的方法来使得自然生态系统继续繁荣是关系到人民生活的重要事情，也就需要建立一个混养系统来代替现有的遮目鱼单养系统。
理想情况下的混养方案是多种生物混养在一起，一些生物的排泄物恰好是另外一些生物的食物，这不仅会减少鱼养殖中向周围水体排放的富营养物质，同时也通过利用养鱼产生的大量副产品（贻贝，海带等）来增加农民的收入。
就建模的目的而言，生物多样性环境中的主要动物生物体可细分为肉食性鱼类、草食性鱼类、软体动物、甲壳类动物、棘皮动物和藻类。根据供养种类，有初级生产者（光合作用生产者）、滤食性动物（株浮游生物，有机颗粒，部分水中微生物）、沉积性动物（吃泥土和消化其中的有机分子和养分）、食草动物（吃初级生产者）和捕食性动物（如食肉动物）。大多数动物的生长效率只有10-20％，所以他们摄入的80-90％的食物最终会以不同的形式释放出来，有些作为热量散发出来，有些是排泄物。在这一生物多样性的环境中，珊瑚的作用主要是划分空间，并通过让大量生物各自在一个狭小空间内获得适宜生存的环境，来使物种能够集中共存。珊瑚还可以进行一定的滤食，这有助于水的净化。一个海域支持珊瑚生存的能力，取决于许多因素，其中最重要的是水质。例如在该区域，当每毫升海水中含有50万至100万微生物，以及每升海水中含有0.25ug叶绿素时，珊瑚就能够生存繁殖。目前养殖区的水平是每毫升一千万微生物和每升15ug 叶绿素。遮目鱼养殖所产生的过剩营养使得海藻快速增长，因而阻止了珊瑚的生长。同时，由于遮目鱼养殖所产生的颗粒流入，降低了珊瑚进行光合作用的能力。因此，在珊瑚幼虫能够生长之前，必须保持适当的水质。
1.2 问题提出
问题一：建立一个完整的珊瑚礁食物链模型，其中包括作为唯一捕食性鱼类的遮目鱼，一种草食性鱼类（由你选择），一个软体动物物种，一个甲壳类物种，一个棘皮动物物种，和一个藻类物种。确定每个物种你认为合理的数量。阐述你的模型，说明每个物种如何与其他物种相互作用.
问题二: 说明你的模型如何预测水质的稳定状态，该水质能够保证珊瑚的持续健康生长。如果你的模型不能得出足够高的水质，你可以调整每一个物种的数量，直到你取得令人满意的水质水平，要清楚说明对哪个物种的数量进行了调整，以及为什么这种调整是合理的。
问题三：最大化总价值。我们希望保持一种在可以最大程度上接受的水质和获得最大化价值（包括可以食用和可出售的水产品的总价值）之间的平衡关系。在模型中这些可供人类食用生物质来源于一切物种。改变你的模型来获得每种物种的固定产量。你能获得的总价值以及相对应的水质是多少？请尝试采用不同的收获策略及不同的虱目鱼饲养水平（选择让你的模型保持平衡的饲养水平），同时画出反映收获价值与水质之间函数关系的曲线。给出结论：哪个策略是最佳的，什么又是最优收获？
二、模型假设
1、假设整个食物链分为三层，其中中间层的四个物种之间只存在竞争关系，不存在捕食——食饵的关系。
2、假设处于中间层的四个物种对海藻资源的占有能力差别不大，即认为它们之间的的竞争因子相同。
3、假设生物的排泄物约占其体重的1%。
三、符号说明

遮目鱼的数量

梭鱼的数量

牡蛎的数量

虾类的数量

海参的数量

绿藻的数量

水域的水质得分

水域的水质得分

水域的水质得分

水域的水质得分

某水域总碳含量

某水域总氮含量

某水域叶绿素含量

某水域微生物浓度

各个种群个体的干重，单位为g

各物种被捕获率

个物种单价

各物种捕捞成本
四、模型建立与求解
4.1问题一
4.1.1问题分析
题目要求建立一个完整的珊瑚礁食物链，所以我们首先要确定构成食物链的各个物种，这些物种之间或成捕食——食饵关系，或成竞争关系，或成相互依存的关系，利用各个物种之间的关系构建数学模型，得到稳定状态下各个物种的具体数量以及相互作用的关系。
4.1.2构建食物链

通过查阅海洋生物学知识，我们得到构建食物链所需的各物种的信息，如下表所示：

表4.1-1 六种种群
编号
物种种类
代表动物
1
捕食性鱼类
遮目鱼
2
草食性鱼类
梭鱼
3
软体动物
牡蛎
4
甲壳类动物
虾类
5
棘皮动物
海参
6
藻类
绿藻
根据这些信息，我们可以构建出食物链模型如下图所示：
遮目鱼
海参
牡蛎
梭鱼
虾
海藻

图4.1-1 食物链模型
4.1.3构建食物链稳态模型
Step 1：交互作用种群动态模型
考虑具有交互作用的两个生物种群。假设每个种群的变化只依赖于这两个种群的种群数，而不依赖于其他的环境因子。于是我们有：

分别表示两个种群的数量或密度，则其相对增长率分别为，，考虑到种内自身的发展规律和种间相互作用的影响两个方面，用, 分别表示两种群各自的发展规律所到处的自身的相对增长率；用，分别表示另一种群对这一种群的影响，于是我们可以写出如下关系函数：

根据模型，假设四个函数都是线性的，故两个种群相互作用的模型是：

在该模型中，，分别是种群, 的内禀增长率（在特定条件下，具有稳定龄组配的生物种群不受其他因子限制时的最大瞬时增长速率）。当种群的食物来自种群以外时，；当种群仅以种群为食时，。和反映的是各种群内部的密度制约因数，即种内竞争，也可以理解为项，表明一个种群的增长受其所处的自然环境的影响。故，. ，这两项反映的是种间的相互作用。和的正负一般分一下三种情况：
（1） 种群相互依存，此时，。即两种群都对对方的数量增长起促进作用。
（2） 种群弱肉强食，此时，。即种群的存在对种群的增长有利，种群的存在对种群不利。
（3） 种群相互竞争，此时，。即两种群各自的存在对对方的增长都是不利的。
以上的模型实际上是将的竞争模型和捕食——食饵模型结合到了一起，当模型中各参数都给定时，就可以求出近似解。一般用定性分析的方法研究各种群数量变化的趋势。根据以上理论内容，将其推广到六个种群。
Step 2：六种种群相互作用动态模型
根据图4.1-1的各物种的关系，我们可以知道遮目鱼是处于食物链最顶层的捕食者，而梭鱼，牡蛎，虾，海参四者之间是处于竞争关系的，而绿藻是处于食物链最底层的食饵。因此我们可以列出它们之间相互作用的动力学模型，即模型如下所示：

其中，，，，，分别是遮目鱼，梭鱼，牡蛎，虾，海参，绿藻的数量。各参数都是正数。通过查阅《2011-2015年中国海洋生物行业深度调研与投资战略咨询报告》可以得到各个微分方程的相关参数，将参数代入可得：
运用Matlab软件求解该微分方程可得到相应的函数图像如下所示：
图4.1-2 六种群数量变化图
观察此图形，我们可以发现各个物种的数量最终都趋于稳定的值，这可以用微分方程的稳定性理论来解释。各物种最终的稳定值分别为下表：
表4.1-2 六种群稳定数量
物种
遮目鱼
梭鱼
牡蛎
虾
海参
绿藻
数量（个/平米）
495
265
199
800
621
1242
4.2问题二
4.2.1 问题分析
题目要求对水质进行分析，所以我们需要构建对水质进行评价的模型。在本题中，影响水质的主要因素我们归结起来主要有四个，分别是：水中的碳含量，氮含量，叶绿素浓度以及微生物浓度；其中碳含量，氮含量与整个系统的各个物种都有定量的关系，而叶绿素浓度主要与绿藻的数量有关。我们需要将这四个因素综合起来考虑，所以需要对每个因素赋予相应的权重，这样我们就可以构建出水质综合评价方程，通过方程计算我们第一问中各物种数量达到稳定后的水质，如果不能满足要求，再调整微分方程的系数，使得最终的水质达到要求。
4.2.2 确定各个因素的权重

确定各个因素的权重，我们借鉴了层次分析法的思想，但实际不是用层次分析法，因为层次分析法至少要构建三层。
Step 1：成对比较
假设一共有个因素影响，分别为，……。从中任取和 ，比较它们对于贡献的大小，按照一下标度给赋值：
，认为与贡献程度相同； ，认为比贡献略大；
，认为比贡献大； ，认为比贡献大很多；
，认为的贡献如此之大，根本不能与它相提并论。
Step 2：建立逆对称矩阵
设已得所有，，建立阶方阵 矩阵第行第列元素为，而第行第列的元素是，它们是互为倒数的，而对角线元素是1，这样的方阵称为逆对称矩阵。
Step 3：迭代
按下述方法求向量迭代序列：

为的个分量之和：；可以证明，迭代的维列向量序列收敛，记其极限为，，则权系数可取，
4.2.3 水质评价模型求解
根据题目所给信息，影响水域水质的因素主要有四个，分别是总碳含量，总氮含量，叶绿素含量以及微生物浓度，分别用来表示四种因素。根据查阅资料《南海北部滨珊瑚生长的影响因素》，我们可以得到如下参数值：
， ， ， ，于是得到逆矩阵如下：

按照迭代的算法，利用Matlab计算可以得到，在时迭代经过2次终止，权系数是。则相应的综合评价公式为：

根据题目所给的信息可以知道，区的水质是最好的，我们可以以区的水质作为一个标准，在区的标准上去估算区的水质。因此对于公式，我们可以定义如下：
，分别为四个水域的水质综合评价得分。定义分别为水域的总碳含量，同理定义，,分别为水域的总氮含量，总叶绿素含量，微生物含量。则：

区域的数据可以直接使用题目所给的数据，经过计算可得，。 区由于构建了混养系统，所以数据需要计算。为了确定区的水质情况，我们通过查找资料确定了相关计算方法，切认定生物的排泄物约占其体重的1%，排泄物中碳和氮的含量所占比例分别为10%，0.4%。查阅资料我们可以得到各个物种的干重分别为：，其值分别为下表所示：
表4.2-1 食物链中各物种的生物学信息
物种名称
含水量（%）
干重（g）
遮目鱼
70

梭鱼
73

牡蛎
80

虾
70

海参
78

绿藻
96

叶绿素的含量应该与绿藻是成线性关系的，根据查找资料，我们找到了它们之间的关系

根据以上的关系，我们可以得出混养系统的水质各个含量如下表所示：

表4.2-2 混养系统的水中各指标含量
元素
碳含量
氮含量
叶绿素
微生物
含量（ug/L）
1201
106.78
250
100000
代入水域水质综合评价公式可得结果如下：。显然是不合格的，因此我们需要对第一问中的方程进行调整。我们认为，改变微分方程各变量的初始值，即改变个物种的初始值，会影响各物种的竞争或捕食关系，从而会使得方程的系数也发生改变，、最终使方程的稳定值改变。
调整方程的初始值和参数，我们得到各物种的新的稳定值如下表所示：
表4.2-3 调整后各物种的稳态值
种类
遮目鱼
梭鱼
牡蛎
虾
海参
绿藻
数量（个/平米）
355
285
235
850
630
950
由此可以得出修正后的珊瑚礁生态系统水质中个元素的含量，利用水质评价模型可以算出最终结果为：，结果是小于1的，说明水质得到了显著的改善。
4.3问题三
4.3.1 问题分析
由于此问引入了人捕捞的因素在里面，所以我们需要修改在第一问中使用的模型。由于考虑了人的捕捞因素，所以需要对方程组进行修正，引入人为捕捞因素，然后通过查资料，我们可以找到每个物种的单价，建立优化方程就可以确立最优策略。
Step 1：模型
在第一问的微分方程的基础上我们引入人的捕获量。假设种群在时刻以速率被捕获，那么方程为：

当时，它表示一类特定的收获策略，即要求捕鱼者每天只能捕捞一定的数量。一般称之为固定限额捕捞策略。另一类重要的收获策略就是固定努力量捕捞的策略，所谓捕捞努力量是指在某些情况下每单位时间用于捕捞的船——日数，或者更详细地列出鱼网，钓线的规格和数目。用表示捕捞努力量，则固定捕捞努力量的收获策略就意味这。在这种情形下，通常需要假设单位努力量的渔获量与种群的密度成正比，即：
，或，其中是常数，称为可捕系数，可以令。
首先我们只考虑一个物种的可持续发展情况。如果没有其他限制，则一个物种会呈增长，在此基础上，考虑人的捕获，则方程可以写为：

这种可再生资源开发的数学模型，通常称之为模型。
Step 2：根据模型建立微分方程
根据以上的分析，我们对方程组进行修正，修正结果如下：

其中分别是六个物种的捕获率，通过解此微分方程组，我们可以求得其稳定值。
假设为每个物种的单价，表示收益总量，则：

假设为捕捞成本，捕捞成本与努力量是成正比，则：

因此经济利益为:

由此我们可以建立优化优化方程，这里我们需要找到方程的约束条件，约束条件可以根据满足水质的要求来列不等式。因为在第二问中区被作为标准来衡量水质的好坏所以，我们要求混养系统的水质的各项指标要小于区的各项指标。
碳含量：
氮含量：
叶绿素：
微生物含量：，其中代表每种物种个体所携带的微生物。
因此我们可以列出优化方程如下所示：

通过公式和公式我们可以算出其获得的利润以及在该利润下的水质综合得分，如下表所示：

表4.3-1 总价值与水质评分之间的关系
项目 策略
1
2
3
4
5
6
7
总价值S（元）
15660
17561
17400
18111
20881
17444
15441
水质评分y
0.5
0.87
0.95
1.05
3.1
3.81
4.51
通过Matlab软件对总价值和水质评分进行最小二乘拟合，可以求出它们之间的关系为：

根据函数可得到拟合的图像如下图所示：

由于任务要求得到最大化总价值，即保持一种在可以最大程度上接受的水质和获得最大化价值之间的平衡关系。最佳策略为在满足水质达标的同时获得最大价值，我们以水域水质评价分数 1为水质达标的最低限，可以得到此时的收益为18000元，最佳策略捕捞见下表：

表4.3-2 最佳捕捞策略
种类
遮目鱼
梭鱼
牡蛎
虾
海参
数量(个/平米)
232
186
153
555
411
五、模型评价与推广
5.1模型的优点
（1）对问题进行深入研究,确定各物种间的竞争和捕食关系，建立Volterra模型，建立微分方程组，较为准确地描述了各物种间的相互作用关系，与实际相符。
（2）通过对叶绿素和水中有机物形成原因的分析，确定相关比例系数，得到物种数量与水质的关系，从而使分析并预测水质成为可能，将预测数据与观测值相比较，发现结果较为准确。
（3）对水质进行分析时，将各指标综合考虑，并进行了量化，使水质的比较变得清晰。考虑经济因素的优化模型通过引入捕捞强度因子将人为因素加到模型方程中，得到优化条件，求得最优解。
（4）问题二中建立了类层次分析评价结构模型，由于水质评估系统是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统，所以借鉴使用层次分析法能够简洁而实用地给出评价值，定量评估得到最优策略。
5.2模型的缺点
（1）文中一些参数来源网络，可能与真实值存在误差，影响求得结果。
（2）忽略了海洋温度，气候，其他生物因素等对问题的影响，使结果存在误差。
5.3模型的推广
本文通过添加中间物种形成混养系统，改变海洋生态环境。为了更好的提高水质，可再引入滤食性动物，使生态结构趋于复杂，提高其生态稳定性，并提高总价值。对相关数据要查阅权威资料，或通过大量实际数据统计得出，提高结果正确性。

参考文献
[1] 郭大伟．数学建模[M]．安徽：安徽教育出版社．2009
[2]　薛毅．数学建模基础[M]．北京：北京工业大学出版社．2009
[3]　陈超．MATLAB应用实例精讲[M]．北京：电子工业出版社．2010
[4] 姜启源．数学模型[M]．北京：高等教育出版社．2003
[5]　谭永基，俞文呲等．数学建模[M].上海:复旦大学出版社．1997
[6]　 智研咨询 《2011-2015年中国海洋生物行业深度调研与投资战略咨询报告》
[7]　 苏瑞侠，孙东怀 《南海北部滨珊瑚生长的影响因素》