零极点对系统的性能影响分析论文.doc

武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书
目录
摘 要 1
1 设计任务 2
2 原开环传递函数G0（s）的性能分析 2
3 增加零点后的开环传递函数G1（s）的性能分析 5
3.1绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 6
3.2 增加不同零点时的阶跃响应分析 7
3.3 增加零点对系统性能的影响分析 17
4 增加极点时对系统的影响分析 18
4.1开环传递函数为G2（s）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线 18
4.2增加不同极点时系统的伯德图 19
4.3增加极点对系统性能的影响分析 29
5 开环函数的零极点对系统性能的影响 30
6 心得体会 31
参考文献 32

31

摘 要
本次课程设计主要是分析零极点对系统性能的影响。首先从根轨迹、奈奎斯特曲线、伯德图和阶跃响应四方面分析原开环传递函数时的系统性能，然后在原开环传递函数基础上增加一个零点，并且让零点的位置不断变化，分析增加零点之后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，发现增加的零点与虚轴的距离决定了对系统影响的大小；再在原开环传递函数基础上增加一个极点，并且令极点位置不断变化，分析增加极点后系统的性能，同时与原系统进行分析比较，同样发现增加的极点与虚轴的距离决定了对系统的影响大小。

关键词：零极点 开环传递函数 系统性能 MATLAB 谐振 带宽

零极点对系统性能的影响分析

1 设计任务
（1）当开环传递函数为G1（s）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；
（2）当开环传递函数为G1（s）时，a分别取0.01，0.1，1，10，100时，用Matlab计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系；
（3）画出(2)中各a值的波特图；
（4）当开环传递函数为G2（s）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；
（5）当开环传递函数为G2（s）时，p分别取0.01，0.1，1，10，100时，绘制不同p值时的波特图；
（6）对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响；
（7）用Matlab画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应；

2 原开环传递函数G0（s）的性能分析
原开环传递函数的表达式：
（1）G0（s）的根轨迹
绘制根轨迹的MATLAB命令：
n=[1];
d=[1,1,1];
rlocus(n,d)
运行得到如下图1所示。

图1 G0（s）的根轨迹

由根轨迹分析系统稳态性能：根轨迹是在左半平面的两条对称直线，系统是稳定的。
（2）G0（s）的奈奎斯特曲线
绘制奈氏图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([1],[1,1,1]));
nyquist(G)
运行得到如下图2所示。

图2 G0（s）的奈奎斯特曲线

由奈氏图分析系统的稳态性能：
系统有0个开环极点在S右半平面，当w从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，系统没有极点在S右半平面在故系统是稳定的，与上面根轨迹的分析一致，只是分析方法不同。
（3）G0（s）的阶跃响应曲线
原二阶系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1]
den=[1,1,2]
step(num,den)
grid on
xlabel('t')
ylabel('c(t)')
系统响应曲线如图3所示。

图3 G0（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.652，稳态值为0.5，
上升时间tr=1.47s
超调时间tp=2.35s
调节时间ts=7.78s,
超调量
（4）G0（s）的伯德图
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([1],[1,1,1]));
bode(G)
运行得到如下图4所示。

图4 G0（s）的伯德曲线

由伯德图分析系统的相对稳定性：
谐振峰值Mr=1.23 ，谐振频率Fr=0.688

3 增加零点后的开环传递函数G1（s）的性能分析
为了分析开环传递函数的零点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个零点S=-a,并改变a值大小，即离虚轴的距离，分析比较系统性能的变化。
增加零点S=-a后系统开环传递函数表达式：

3.1绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线
取a=1,绘制根轨迹的MATLAB命令：
n=[1,1];
d=[1,1,1];
rlocus(n,d)
得到如下图5所示。

图5 a=1时G1（s）的根轨迹

由根轨迹分析系统稳态性能：根轨迹都在S的左半平面，只是在原来的基础上多了一个零点，系统仍然是稳定的。
取a=1,绘制奈奎斯特曲线的MATLAB命令：
G=tf([1,1],conv([1],[1,1,1]));
nyquist(G)
得到如下图6所示。

图6 a=1时G1（s）的奈奎斯特曲线

由奈氏图分析系统的稳态性能：
系统有0个开环极点在S右半平面，当w从负无穷变化到正无穷时，奈氏曲线包围（-1，j0）0圈，即P=0，N=0，因此Z=P+N=0，分析结果与原系统一致。

3.2 增加不同零点时的阶跃响应分析
（1）当a=0.01时，系统闭环传递函数为：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[100,1];
den=[1,101,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图7所示。

图7 a=0,01时G1（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由图可知，曲线最大峰值为0.98，稳态值为0.5，
上升时间tr=0.272s
超调时间tp=0.669s
调节时间ts=197s，
超调量=
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([100,1],[1,1,1])；
bode(G)
得到如下图8所示。

图8 a=0.01时G1（s）的伯德图

由伯德图分析系统的相对稳定性：
谐振峰值Mr=39.7，谐振频率Fr=0.951
截止频率Wc=100.0050
相位裕度r=90.5672度 ，幅值裕度Kg=无穷大
（2）当a=0.1时，系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[10,1];
den=[1,11,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
系统响应曲线如图9。

图9 a=0.1时G1（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由响应曲线可得，最大峰值为0.889，稳态值为0.5，
上升时间tr=0.0652s
超调时间tp=0.49s
调节时间ts=20.4s，
超调量 =
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([10,1],[1,1,1]);
bode(G)
得到如下图10所示。

图10 a=0.1时G1（s）的伯德图

由曲线可得，
谐振峰值Mr=19.8 ,谐振频率Fr=1.01
截止频率Wc=10.0499
相位裕度r=95.1688度 ，幅值裕度Kg=无穷大
（3）当a=1时，系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1,1];
den=[1,2,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
系统响应曲线如图11。

图11 a=1时G1（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
由响应曲线可得，最大峰值为0.604，稳态值为0.5，
上升时间tr=0.598s
超调时间tp=1.59s
调节时间ts=3.46s，
超调量 =
MATLAB上键入命令：
G=tf([1,1],[1,1,1]);
bode(G)
系统伯德图如图12。

图12 a=1时G1（s）的伯德图

谐振峰值Mr=3.31 谐振频率Fr=0.829
截止频率Wc=1.4142
相位裕度r=109.4721度 ，幅值裕度Kg=无穷大
（4)当a=10时系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[0.1,1];
den=[1,1.1,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图13所示。

图13 a=10时G1（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.633，稳态值为0.5，
上升时间tr=1.02s
超调时间tp=2.31s
调节时间ts=5.85s，
超调量 =
在MATLAB上键入命令：
G=tf([0.1,1],[1,1,1]);
bode(G)
系统伯德图如图14.

图14 a=10时G1（s）的伯德图

谐振峰值1.26 , 谐振频率Fr=0.68
截止频率Wc=1.0049
相位裕度r=95.1802度 ，幅值裕度Kg=无穷大
(5)当a=100时系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[0.01,1];
den=[1,1.01,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
系统响应曲线如图15。

图15 a=100时G1（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是震荡衰减的，最大峰值为0.649，稳态值为0.5，
上升时间tr=1.01s
超调时间tp=2.31s
调节时间ts=7.7s，
超调量 =
在MATLAB上键入命令：
G=tf([0.01,1],[1,1,1]);
bode(G)
得到如下图16所示。

图16 a=100时G1（s）的伯德图
谐振峰值Mr=1.26, 谐振频率Fr=0.646。
截止频率Wc=1.000，
相位裕度r=90.5676度，幅值裕度Kg为无穷大。

3.3 增加零点对系统性能的影响分析
当在原开环传递函数上增加一个零点s=a，a分别取0.01,0.1,1,10,100时，运用MATLAB绘制各自阶跃响应曲线和伯德图，分别得到如下系统性能参数，如表1所示：
表1
a
超调量
谐振峰值Mr
谐振频率Fr
截止频率Wc
相位裕度r
原系统
30.4%
1.23
0.688
1.0000
90
0.01
96%
39.7
0.951
100.005
90.5672
0.1
77.8%
19.8
1.01
10.0499
95.1688
1
20.8%
3.31
0.829
1.4142
109.4721
10
26.6%
1.26
0.68
1.0049
95.1802
100
29.8%
1.26
0.646
1.0000
90.5676

由表1可得如下结论：
（1）当a值增大时，谐振峰值Mr不断减小，谐振频率Fr不断减小，超调量也相应减小。当a=0.01时，=40，=96%，而原系统分别是1.23和30.4%，相差很大，即影响很大。随着a的增大，开始减小，也减小，直到a增大到10时，超调量反而增大，谐振峰值和谐振频率仍然减小；当a增大到100时，=29.8%，=1.26，接近于原二阶系统的值。
（2）当a=0.01时，系统的截止频率Wc=100.005，随着a值的增加，截止频率不断减小，向原系统靠近。
由此可知，增加的零点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，增加的零点离虚轴越远，对系统的影响越小。因此，若增加的零点离虚轴很远，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

4 增加极点时对系统的影响分析
4.1开环传递函数为G2（s）时系统的根轨迹和奈奎斯特曲线
开环传递函数的根轨迹为广义轨迹，系统闭环特征方程为，
恒等变换为

可以看出，如果绘制一个开环传递函数 的系统根轨迹，实际上就是原系统的根轨迹。
取p=1时，绘制G2（s）根轨迹的MATLAB命令：
n=[1,1,1,0] ;
d=[1,1,2] ;
rlocus(n,d) ;
键入Enter键，可得图17。

图17 p=1时G2（s）的阶跃响应曲线

取p=1时，绘制奈奎斯特曲的MATLAB命令：
G=tf([1,1,1,0],[1,1,2])；
nyquist(G)
运行得到如下图18所示。

图18 p=1时G2（s）的根轨迹

4.2增加不同极点时系统的伯德图
（1）P=0.01时，系统闭环传递函数为：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1];
den=[100,101,101,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)
得到如下图19所示。

图19 p=0.01时G2（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是单调上升的，最大值为0.499，稳态值为0.5，
上升时间tr=109s
调节时间ts=195s ,
超调量 =0
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([100,1],[1,1,1]));
bode(G)
得到如下图20所示。

图20 p=0.01时G2（s）的伯德图

带宽频率Wb=0.01，截止频率Wc=0，
相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=101.0104。
（2）p=0.1时，系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1];
den=[10,11,11,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图21所示。

图21 p=0.1时G2（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是单调上升的，稳态值为0.499
上升时间tr=9.54s
调节时间ts=18.5s ,
超调量 =0
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([10,1],[1,1,1]));
bode(G)
得到如下图22所示。

图22 p=0.1时G2（s）的伯德图

由曲线可得，
带宽频率Wb=0.102，截止频率Wc=0，
相位裕度r=-180度，幅值裕度Kg=1.0490。
(3)p=1时，系统闭环传递函数:

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1];
den=[1,2,2,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图23所示。

图23 p=1时G2（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.7，稳态值为0.5，
上升时间tr=1.34s
超调时间tp=3.59s
调节时间ts=15.5s ,
超调量 =
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([1,1],[1,1,1]));
bode(G)
得到如下图24所示。

图24 p=1时G2（s）的伯德图

由曲线可得,
带宽频率Wb=0.995，截止频率Wc=0.0087，
相位裕度r=-179.0009度，幅值裕度Kg=3.0000。
(4)p=10时，系统闭环传递函数:

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1];
den=[0.1,1.1,1.1,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图25所示。

图25 p=10时G2（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5，
上升时间tr=0.972s
超调时间tp=2.41s
调节时间ts=8.04s ,
超调量 =
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([0.1,1],[1,1,1]));
bode(G)
得到如下图26所示。

图26 p=10时G2（s）的伯德图
由曲线可得，
带宽频率Wb=1.27， 截止频率Wc=0.9947
相位裕度r=84.9272度 ，幅值裕度Kg=11.1000
（5）p=100时，系统闭环传递函数：

单位阶跃响应的MATLAB命令：
num=[1];
den=[0.01,1.01,1.01,2];
step(num,den);
grid on
xlabel('t');
ylabel('c(t)')
得到如下图27.

图27 p=100时G2（s）的阶跃响应曲线

由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
响应曲线是衰减震荡的，峰值为0.673，稳态值为0.5，
上升时间tr=0.999s
超调时间tp=2.36s
调节时间ts=7.77s ,
超调量 =
绘制伯德图的MATLAB命令：
G=tf([1],conv([0.01,1],[1,1,1]))；
bode(G)
得到如下图28.

图28 p=100时开环传递函数G2（s）的伯德图
由曲线可得，
带宽频率Wb=1.27， 截止频率Wc=0.9999
相位裕度r=89.4331度 ，幅值裕度Kg=101.0293

4.3增加极点对系统性能的影响分析
当在原开环传递函数上增加一个零点s=p，p分别取0.01,0.1,1,10,100时，运用MATLAB绘制各自阶跃响应曲线和伯德图，分别得到如下系统性能参数，如表2所示：
表2
p
超调量
带宽频率Wb
带宽（0，Wb）
截止频率Wc
相位裕度r
0.01
0
0.010
（0,0.0101）
0
-180
0.1
0
0.102
（0,0.101）
0
-180
1
40%
0.995
（0，1）
0.0087
179
10
34.6%
1.27
（0,1.27）
0.9947
84.9272
100
30.8%
1.27
（0,1.27）
0.9999
89.4337
原系统
30.4%
1.27
(0,1.27)
1.00
90

由表2可以得到如下结论：
（1）当p增大时，系统的带宽频率Wb不断增大，由p=0.01时，Wb=0.01增加到，p=100时，Wb=1.27。即当极点离虚轴很近(p=0.01)时，系统的带宽频率很小，与原系统相差很大，当极点远离虚轴（p=100）时，带宽频率与原系统相同。
（2）当p取很小时，阶跃响应曲线呈单调上升，超调量为零，当p值增大时，阶跃曲线呈震荡衰减，超调量先增大后减小，最后趋近于原二阶系统的值。所以当p远大于阻尼系数时，可以忽略增加极点对原二阶系统的影响。
（3）增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率。
因此，增加的极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，增加的极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若附加的极点离虚轴很远，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。

5 开环函数的零极点对系统性能的影响
增加开环函数的零点对系统的性能有影响，同时，所增加的零点的位置，即与虚轴的距离远近决定了对系统性能的影响程度。当零点离虚轴的距离增大时，谐振峰值Mr不断减小，谐振频率Fr不断减小，超调量也相应减小。同时，增加零点，系统的截止频率会增加，随着零点离虚轴的距离增大，截止频率不断向原系统靠近。因此，零点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的零点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。
增加开环函数的极点对系统的性能也有影响。当极点离虚轴距离增加时，超调量先增大后减小；增加极点会使系统截止频率减小，随着极点离虚轴距离的增加，截止频率不断靠近原系统的截止频率；增加极点，系统的带宽频率降低，带宽减小，当极点远离虚轴时，带宽频率慢慢接近原系统的带宽频率，带宽接近原系统。因此，极点离虚轴越近，对系统暂态性能影响越大，极点离虚轴越远，对系统的影响越小。故，若增加的极点远离虚轴，可忽略它对系统的影响，按原二阶系统处理。
由此可得，增加开环函数的零极点，会影响系统的性能，增加的零极点距离虚轴越近，影响越大，距离虚轴越远，影响越小，远到一定程度时，可以忽略对系统的影响。

6 心得体会
通过一个多星期的自动控制课程设计，我收获了很多宝贵知识和经验，相信这次的课设也会给我今后的深入学习带来很大影响，不断提高我对知识的渴望与自学能力。
首先，课设几乎所有题目要用到一款功能非常强大的软件，即Matlab。在之前已经接触到了这款强大的软件，这是这次又要将之运用于自动控制中来，不仅感叹MATLAB真的是非常实用，包括了高等数学、线性代数、复变函数、概率统计、运筹学以及微分差分方程等数学各个领域的知识点，拥有强大的数学功能！至今，Matlab软件的应用已经渗透到社会各个领域，比如我们的电类专业，这次自动控制课设中涉及的根轨迹，阶跃响应曲线，奈奎斯特曲线，伯德图等知识都可以利用它来解决，其中我所选的题目，需要利用Matlab编程，绘图，通过图形来分析系统的暂态性能和稳态性能。
其次，在真正解决问题的时候需要具备各种预备知识，在我这道题里面，首先清楚系统有哪些暂态性能指标，如上升时间，超调时间，调节时间，超调量，有哪些稳态性能指标，如稳定性，稳态误差终值；然后要清楚一些概念，阶跃响应曲线是通过系统的闭环传递函数绘制的，而根轨迹，奈氏图，伯德图都是通过开环传递函数绘制的，即通过开环特性研究闭环性能等等。这些知识都需要在平时上课的时候就掌握的概念，因此课设是对我们基本功的考察。
最后，课设最终目的是为了学习知识，利用知识，以达到我们熟练的目的。另外还考察了我们要到困难时的应对能力，是否懂得从结果中发现问题，分析问题并解决问题，相信这是一种很重要的能力，我们学习专业知识不能只停留于理论，重点在于实践，否则就会成为所谓的书呆子，而社会需要的是人才，拥有能力的人才。经过这次课设我感触良多，也希望以后会有更多这样的学习锻炼机会，不断提高自己发现问题，分析问题，解决问题的能力，以达到提升自己的目的，是自己所学知识真正有用武之地，发挥它的价值！

参考文献
[1] 胡寿松,自动控制原理(第四版). 北京：科学出版社，2001
[2]王万良,自动控制原理.高等教育出版社，2008
[3] 何联毅，陈晓东.自动控制原理同步辅导及习题全解. 北京：中国矿业大学出版社，2006
[4] 谢克明，自动控制原理. 北京：电子工业出版社，2004
[5] 冯巧林，自动控制原理. 北京：北京航空航天大学出版社，2007
[6] 刘叔军，MATLAB7.0控制系统应用与实例. 北京：机械工业出版社，2005