一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(20101022).doc

常微分方程教程 第三章 信计09级
  一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.1.1 存在唯一性定理
1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程 (3.1.1.1)
这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。
定义1  如果存在常数，使得不等式  对于所有  都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件， 则方程(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件   (3.1.1.3)
这里，。
　　我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。 为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程  的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数  ，
显然 也是连续函数， 如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到
 ，
如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。一般地作函数
   (3.1.1.4)
这样就得到连续函数序列：，，…，，….
如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即  存在，
因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到

即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。
　命题1 设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件 (3.1.1.3)的解，则是积分方程　　　　(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。反之亦然。
　　证明  因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取定积分得到        
把(3.1.1.3)代入上式，即有    
因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。
　　反之，如果是(3.1.1.5) 的连续解，则有       (3.1.1.6)
微分之，得到，又把代入（3.1.1.6），得到 。
因此，是方程(3.1.1.1)的定义于  上，且满足初始条件(3.1.1.3)的解。命题1 证毕。
　　现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：   (3.1.1.7)
　　命题2  对于所有的，(3.1.1.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.1.1.8) 。
　　证明  当时，。显然在上有定义、连续且有  即命题2 当时成立。现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数，命题2都成立。为此，设命题2当时成立，也即在上有定义、连续且满足不等式,这时,
由假设,命题2当成立,知道在上有定义、连续且有  即命题2 当时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。命题2证毕。
　　命题3  函数序列在上是一致收敛的。
　　证明  考虑级数 　(3.1.1.9)
它的部分和为
因此，要证明函数序列在上是一致收敛，只须证明级数(3.1.1.9)在上一致收敛。为此，我们进行如下的估计。由(3.1.1.7)
有    (3.1.1.10)
及
利用利普希茨条件及(3.1.1.10)，得到

设对于正整数，不等式  成立，则由利普希茨条件，当时，有

于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有如下估计
       (3.1.1.11)
从而可知，当时，    (3.1.1.12)
(3.1.1.12) 的右端是正项收敛级数  的一般项。由维尔斯特拉斯(Weietstrass)判别法（简称维氏判别法），级数(3.1.1.9)在上一致收敛，因而序列也在上一致收敛。  命题3证毕。
　现设  则也在上连续，且由(3.1.1.8)又可知 。
　　命题4  是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。
　　证明  由利普希茨条件，以及在上一致收敛于，即知序列在上一致收敛于。因而，对(3.1.1.7)两边取极限，得到 　
即  ，
这就是说，是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。  命题4 证毕。
命题5  设是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的一个连续解，则
，  。
　　证明  我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，从，   ， 我们可以进行如下估计 　　　　　　

现设  ，则有

故由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有下面的估计式
    (3.1.1.13)
因此，在上有     (3.1.1.14)
 是收敛级数的公项，故时。
因而在上一致收敛于。
根据极限的唯一性，即得     。    
命题5 证毕。
　　综合命题1—5，即得到存在唯一性定理的证明。
存在唯一性定理 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程 (3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件  (3.1.1.3) 这里，。

图(3.1)
　　附注1 存在唯一性定理中数的几何意义（参看图(3.1)):这里,定理证明方程(3.1.1.1)的过点的积分曲线在区间上确定。因为积分曲线的切线斜率介于直线和的斜率与之间。所以，当时，积分曲线上的点 的纵坐标满足不等式 =
也就是说，积分曲线弧夹在域及的内部，当然，也就不超出矩形。命题2中所有函数都可在上确定,它的图形都夹在域 的内部， 自然， 它的极限图形即积分曲线也不超出域的范围。
　　附注2 由于利普希茨条件比较难于检验，常用在上有对的连续偏导数来代替。事实上，如果在上存在且连续，则在上有界。设在上，这时
这里，，。
但反过来满足利普希茨条件的函数不一定有偏导数存在。例如，函数在任何区域都满足利普希茨条件，但它在处没有导数。
附注3 设方程(3.1.1.1)是线性的，即方程为    (2.2.1)
那么容易知道，当在区间上为连续时，定理1的条件就能满足。
不仅如此，这时由任一初值，所确定的解在整个区间上都有定义。
事实上，对于一般方程(3.1.1.1)，由初始值所确定的解只能定义在上，这是因为在构造逐步逼近函数序列时，要求它不越出原来的矩形区域。而现在,右端函数对没有任何限制，为了证明我们的结论，譬如取，而逐字重复定理的证明过程，即可证由(3.1.1.7)所作出的函数序列在整个区间上都有定义和一致收敛。
　　2）现在考虑一阶隐方程   (3.1.1.17)
　　根据隐函数存在定理，若于的某一领域内连续，且，而，则必可把唯一地表为的连续函数   (3.1.1.18) 并且于的某一邻域内连续，且满足  。
　　更进一步，如果关于所有变元存在连续偏导数，则对也存在连续偏导数，并且(3.1.1.19)显然它是有界的。于是依定理1，纺车功能(3.1.1.18)满足初始条件的解存在且唯一，即方程(3.1.1.17)的过点且切线斜率为的积分曲线存在且唯一。这样就得到下面定理。
　　定理2 如果在点的某一领域中：
对所有变元连续，且存在连续偏导数； 　　
； 　　
则方程(3.1.1.17)存在唯一解     （为足够小的正数）
满足初始条件，   (3.1.1.20)
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