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分析力学的形成及其不同表示
分析力学的形成及其不同的表示

摘要：分析了分析力学的历史背景及发展历程，介绍了分析力学的一些重要方程 和几种不同的表示方法.
关键词：约束力；虚功原理；非惯性系；拉格朗日方程；哈密顿原理；哈密顿正 则方程；积分形式；微分形式
引言：分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系
的基本运动微分方程,并研究这些方程本身以及它们的积分方法.分析力
学作为一般力学的一个分支,以广义坐标为描述质点系的变量,以虚位移 原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问 题,不必考虑理想约束,可以很方便地建立力学体系的运动微分方程,对一
些力学问题的解法进行优化，可以更加快速的求解.近20年来,又发展出 用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法.分析力学是经典物 理学的基础之一,也是整个力学的基础之一.它广泛用于结构分析、机器动 力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领 域,也可推广应用于连续介质力学和相对论力学.
一、 分析力学的历史背景
分析力学是18世纪后叶随着工业革命的迅速发展而建立起来的.
到现在为止，我们所研究的力学问题基本上是以牛顿运动定律来求解的，但是在求质点组的运动问题时，常常要解算大量的微分方程组，如果质点组受到约束，则因约束反力都是未知的，所以并不能因此减少甚至增加了问题的复杂性.18、19世纪，随着工业革命的迅速发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题.因此，迫切需要寻求另外的方法来解决这些问题.许多科学家将分析的方法用于力学解决了许多当时没有解决的问题，分析力学正是在这种历史的大背景下产生的.
二、 分析力学的发展历程
1788年拉格朗日出版的《分析力学》是世界上最早的一本分析力学的著作.分析力学是建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上.两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力方程.1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的.1834年，汉密尔顿推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程.汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题.从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论.20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究.
三、 分析力学的形成
（一）分析力学的基本方程及条件
对于完整保守系统，其基本方程及条件如下：
1、 广义速度广义位移关系
， （3.1.1）
式中广义速度向量,广义位移向量.
2、 广义动量广义速度关系
, （3.1.2）
式中广义动量向量，Lagrange函数.
3、 运动方程
, （3.1.3）
4、 初始条件
， （3.1.4a）
， （3.1.4b）
（二） 虚功原理
设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态.取体系中任意一点，并且作用在此质点上主动力的合力为，约束力的合力为，则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中，故此时必有
（3.2.1）
现在让每一个质点自它的位置发生一虚位移，则由（3.2.1）式，得
（3.2.2）
把式（3.2.2）中各等式相加，就得到
（3.2.3）
但如为理想约束，则根据，因此，如果这样的力学体系处于平衡状态，则其平衡条件是
（3.2.4）
或
（3.2.5）
反之，也可证明，如果平衡位置是约束所允许的位置，则当（3.2.4）式对任意都成立时，系统在该位置必保持平衡.由此可知，受有理想约束力的力学体系平衡的充要条件是此力学体系的诸多主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零.这个关系是1717年伯努利首先发现的，叫做虚功原理，也叫虚位移原理.
（三） 拉格朗日方程
1、 基本形式的拉格朗日方程
令s为惯性参考系, 为相对于s系的既平动又转动的非惯性参考系, 并且确定系原点的位矢和其转动角速度为已知函数。 在n个质点组成幷受到k个理想完整约束的力学体系中, 其自由度s=3n-k,选为广义坐标, 则第个质点对系的位矢仍可表示成,对其用非惯性系中的动力学方程得
（3.3.1）
或 （3.3.2）
式中为第个质点所受主动力的矢量和,为第个质点所受约束力的矢量和, 而惯性力(为原点相对s系原点的加速度,为质点相对系的角速度).
若用乘式（3.3.2），并对求和，在理想约束条件下，则得
（3.3.3）
（3.3.4）
如果把实位移改为虚位移，再经过微商计算得
（3.3.5）
上式右方含有求和号的两项，恰为体系动能
（3.3.6）
对及偏微商，可把（3.3.5）改写为
（3.3.7）
由于是相互独立的，所以
（3.3.8）
这就是基本形式的拉格朗日方程.它们是广义坐标以时间作自变量的s个二阶常微分方程.
2、 保守系的拉格朗日方程
对保守力来讲，基本形式的拉格朗日方程（3.3.8）还能再加简化.
（3.3.9）
因为势能中一般不包含广义速度,令
(3.3.10)
代表体系的动能与势能之差，则

而基本形式的拉格朗日方程则变为
（3.3.11）
这就是保守力系的拉格朗日方程，有时直接叫做拉格朗日方程或拉式方程.式中L叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数.
3、 循环积分与能量积分
（1）循环积分
在讨论质点在有心力场中运动时，如设质点的质量为，则动能

而平方反比引力的势能，故

一般地讲，如果拉氏函数中不显含某一类坐标，则因，故由式（3.3.11）得
（3.3.12）
在此情形下，常称为循环坐标.对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分.中不含某一广义坐标，并不意味着也不包含广义速度.
（2） 能量积分
如果力学体系是稳定的，则，因而，于是动能将仅为广义速度的二次其次函数，所以
（3.3.13）
此外，因为和都不是时间的显函数，故

由式，并积分，就得到
（3.3.14）
这就是力学体系的能量积分.
（四） 哈密顿正则方程与哈密顿原理
1、 哈密顿正则方程
要使拉氏函数中的一种独立变量由变为，其中，则应引入函数使
（3.4.1）
而 （3.4.2）
我们现在仍把认为是，及的函数，故
（3.4.3）
所以
（3.4.4）
因为经过变换后已是的函数，故
(3.4.5)
比较（3.4.4）及（3.4.5）两式，并因为及都是独立的，故得
（3.4.6）
方程式（3.4.6）即为哈密顿正则方程，简称正则方程，而式（3.4.1）为哈密顿函数.

2、 哈密顿原理
哈密顿原理是一种变分运算，力学变分原理有微分形式和积分形式.虚功原理是力学变分原理的微分形式，而哈密顿原理是力学变分原理的积分形式.
设个质点所形成的力学体系受有个几何约束，则这力学体系的自由度是.因此，如果能把个广义坐标作为时间的函数加以确定，也就确定了这力学体系的运动.因运动方程是个二阶微分方程，固有个微分常数，用表示.可以认为个确定的代表着维空间的一个点，所以
（3.4.7）
把拉格朗日方程（3.1.11）中的各项乘以，对求和，然后沿着一条可能的运动轨道对积分，得
（3.4.8）
但 （3.4.9）
因哈密顿用的是等时变分，这里用对易关系（若，则），把式（3.4.9）代入式（3.4.8）得
（3.4.10）
因，而，故式（3.4.10）简化为
（3.4.11）
又因，故式（3.4.11）积分号内的可移至积分号外，即
（3.4.12）
这就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式.哈密顿称为作用函数，当它表示为端点时间和位置的函数时，也叫主函数.
四、 分析力学的不同表示形式
分析力学的基本理论体系可以分为微分形式和积分形式两种表示,它们是可以互相推证的等价形式.
（一） 微分形式
由基本形式的拉个拉格朗日方程
(4.1.1)
它们是广义坐标以时间作自变量的s个二阶常微分方程,为系统的动能,如果体系是保守力系,则上式还可以进一步简化为
(4.1.2)
式中拉氏函数,表示体系的动能与势能之差,它是力学体系的一个特性函数, 表征着约束、运动状态、相互作用等性质.(4.1.1)、(4.2.2)式是分析力学微分形式的基本表达形式.
在上述基础上,拉普拉斯修改了拉氏函数的表示方法,并证明势函数总能满足微分方程
（4.1.3）
1831年,泊松给出了一个更一般的形式
(4.1.4)
（二） 积分形式
分析力学的积分形式是从最小作用原理发展起来的变分原理,是一种通过变分法求泛函极值的方法.
1657年,费马从反射光线沿需时最少的路径行走的现象得到启示,相信自然是“简单而又经济地行动的”,确言了最小时间原理,并将这一原理用变分的形式表示为
（4.2.1）
在这一理论的基础上,1744年,法国物理学家莫泊丢提出了适用于各种物理现象的“最小作用量原理”,他指出:体系实际发生的真正运动是使某一个作用量取最小值的运动,1755 年,拉格朗日把这种方法称为变分方法,并把作用量定义为运动量的空间积分,对于单个质点 ,这个作用等于
(4.2.2)
也可表示为
（4.2.3)
利用拉氏函数,把作用量写为
（4.2.4）
称为哈密顿作用量,在确定的初态和终态之间的所有可能的运动中,真实运动的作用函数具有极值
（4.2.5）
这就是哈密顿原理的数学表达式,也是分析力学积分形式的基础表示.由于,所以
（4.2.6）
此外,利用广义坐标及其与它相共轭的广义动量定义哈密顿函数
（4.2.7）
则 （4.2.8）
而 （4.2.9）
所以
（4.2.10）
因为经过变换后已是的函数，故
(4.2.11)
所以有 （4.2.12）
（4.2.12）式称为哈密顿正则方程,它是以为参量,包含有个一阶常微分方程的方程组,形式简单而对称,是分析力学积分表示的又一种形式,从经典物理学过渡到近代物理学,正则方程也常被认为是最方便的形式.
五、 结语
分析力学的形成是经典力学发展史上的一个重要里程碑,通过虚位移原理、拉格朗日方程、最小作用原理,把全部力学建立在能量不灭原理基础之上,充分显示了变分法的力量,从而使动力学达到了前所未有的高峰,为现代力学奠定了基础.哈密顿原理更是深刻揭示了客观事物之间的紧密联系,把力学原理归结成了一般的形式,不仅给出了解决力学问题的统一的观点和方法,而且成为新的科学研究的起点,为自然科学的发展提供了新的思路,架起了通往近代物理的桥梁,成为处理整个物理学领域的方法.

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