数学分析大纲.doc

《数学分析》教学大纲说明
1、本课程是数学专业（本科）的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、微积分学、无穷级数等方面的系统知识。
本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯，也是用更高的观点深入理解中学数学教材、更好地将数学知识应用于生产实践所必要的基础。
2、通过本课程的教学应使学生做到：
（1） 对极限思想和方法有深刻的认识，从而有助于培养学生的辨证唯物主义观点；
（2） 正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得教熟练的演算技能和初步应用的能力；
（3） 逐步养成严谨的治学习惯，逐步提高自己的分析问题和解决问题的能力与书面及口头表达能力；
3、本课程总教学时数为373学时。
其中讲授约342学时，习题课约31学时。
4、实施本大纲时，注意以下几点：
（1） 本大纲所列顺序及学时数安排，可按所选用教材及每学期的周数，在不影响基本要求的情况下作适当调整。
（2） 作为中学教师，应对“实数理论”、“数表构造”有一定的理解，建议教学过程中注意作适当介绍。
（3） 大纲中每节所列出的讲授时数与习题课时数，可按学生学习的实际情况作少量调整。
（4） 大纲中列出*号和用小号排版的内容是为了扩大学生的视野，教学中可根据情况适当选用。
时间安排如下：（建议另外安排课外辅导时间）
第一学期讲授84学时，习题课14学时。
第二学期讲授85学时，习题课17学时。
第三学期讲授85学时。
第四学期讲授85学时。

大 纲 内 容
一、 实数集与函数（12学时）
实数概述。绝对值不等式。区间与邻域。数集的确界与确界原理。函数概念，函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等）。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。函数的有理运算。复合函数，反函数、基本函数、基本初等函数、初等函数。
[附注]
（1） 为了与中学数学衔接，建议用无限十进小数来定义实数，并指出它的性质。
（2） 在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射”的观点定义函数，并引用记号f：x y。
二、 数列极限（14学时）
数列，数列极限的 定义，收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。有界单调数列极限存在定理。
三、 函数极限（20学时）
函数极限。 。单侧极限。函数性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，迫敛性、有理运算。归结原则（Heine定理）。函数极限的柯西准则。 。无穷小量及其阶的比较，记号o、0、~。广义极限。无穷大量及其阶的比较。
四、 函数的连续性（12学时）
函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类、在区间上连续的函数。连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性，初等函数的连续性。
[附注]
在讲授“初等函数的连续性”时应给出“实指数的乘幂”的定义。
五、 导数与微分（20学时）
引入问题（瞬时速度问题）。导数定义。单侧导数，导函数，导数的几何意义，无穷大导数。和、积、商的导数。反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数，微分概念，微分的几何意义。微分运算法则。一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。高阶导数与高阶微分。有参量方程所表示的曲线的斜率。
[附注]
（1） 结合求导举例，可介绍对数求导法。
（2）高阶导数的布莱尼兹公式可述而不证。
六、 微分学基本原理与不定式极限（20学时）
费马（Fermat）定理、罗尔中值定理、拉格朗日定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺（Peano）型余项）。近似计算。罗比塔（L‘HOSPital）法则。
七、 运用导数研究函数性态。
函数单调性的判别法。极值，最大值与最小值。曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数图象的讨论。
八、 实数的一些基本定理（10学时）
区间套定理。数列的柯西收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理。
[附注]
建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。关于“闭区间上连续函数性质的证明”可视情况适当选用。
九、 不定积分（15学时）
原函数与不定积分概念。基本积分表，线性运算法则，换元积分，几种无理函数的积分（如 ）。
[附注]
连续函数的原函数存在性的证明留待一单元“定积分”中进行。
十、 定积分（33学时）
引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，可积的必要条件，上和与下和，上积分与下积分。可积的充要条件。可积函数类——闭区间上的连续函数、闭区间上只有有限个间断点的有界函数、单调函数，定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理。微积分学基本定理。牛顿——莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法。
无穷限非正常积分概念。柯西准则，线性运算法则，绝对收敛。无穷限非正常积分收敛判别法。无界函数非正常积分概念。无界函数非正常积分收敛性判别法。 [附注] 对下列内容可根据情况适当处理：上和与下和的性质，可积的充要条件的证明。可积函数类的证明，定积分性质的证明（积分中值定理的证明（积分中值定理的证明要求掌握）。
十一、定积分的应用（15学时）
简单平面图形面积。曲线的长，微分。由截面面积求立体体积，旋转体积与侧面积。物理应用（压力、功、静力矩与重心、平均值）。
十二、级数收敛与和的定义。柯西准则，收敛级数的基本性质。正项级数，比较原则，比式判别法与根式判别法，积分判别法*。一般级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼兹判别法，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。绝对收敛级数的重排定理。
十三、函数与函数项级数（15学时）
函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。一致收敛的充要条件，函数项级数一致收敛的M判别法。阿贝耳判别法与狄利克雷判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、可积性与可微性。
十四、幂级数（10学时）
阿贝耳定理。收敛半径与收敛区间，一致性收敛性，连续性，逐项积分与逐项微分的四则运算，泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。
十五、傅立叶级数（9学时）
三角函数，三角函数系的正交性，傅立叶级数。以 为周期的函数的傅立叶级数及其收敛定理（证明不作要求）。奇函数与偶函数的傅立叶级数。以2l为周期的傅立叶级数*。贝塞耳不等式*。
十六、多元函数的极限与连续（24学时）
平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念（建议用影射观点定义）。二重极限，累次极限。二元函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭区域上连续函数的性质（证明不作要求）。
十七、多元函数微积分（30学时）
偏导数、全微分概念及其几何意义。可微的必要与充分条件。全微分在近似 计算中的应用。复合函数的偏导数与全微分，一阶（全）微分形式的不变性。 方向导数与梯度*。高阶偏导数及其与顺序无关性。高阶微分，二元函数的中 值定理与泰勒定理，二元函数极值（在举例中可介绍“最小二乘法”）。
十八、隐函数定理及其应用（12学时）
隐函数概念，隐函数定理（证明不作要求），隐函数求导。 隐函数组概念，隐函数组定理*。隐函数组求导。反函数组与坐标变换，函数 行列式。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。
*十九。向量函数微分学
二十、重积分（34学时）
二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。
二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。三重积分与计算，三重积分 的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换），重积分应用（体积、曲 面、面积、重心、转动惯性*，引力）。含参量积分的连续性、可积性与可微性。
[附注]在讲授二重积分的换元法时应介绍 的计算。
二十一、重积分（续）与含参量非正常积分（12学时）
含参量的（无穷限与无界函数）非正常积分，含参量非正常积分的一致收敛 的柯西准则与M判别法。含参量非正常积分的性质（连续性、可微性与可积性）。 欧拉积分（ 函数与B函数）。
[附注]本章中的理论推导可不作要求。
二十二、曲线积分与曲面积分（27学分）
第一型和第二型曲线积分概念与计算。格林公式。曲线积分与路线无 关的条件，曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公 式与斯托克斯公式。