函数的连续性与间断点.doc

1.8函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
‍变量的增量:
‍设变量u从它的一个初值u1变到终值u2, 终值与初值的差u2-u1就叫做变量u的增量, 记作Du , 即Du =u2-u1.
‍设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x0变到x0+Dx时, 函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx), 因此函数y的对应增量为
Dy= f(x0+Dx)- f(x0).
‍函数连续的定义
‍设函数y=f(x)在点x0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量Dx =x-x0 趋于零时, 对应的函数的增量Dy= f(x0+Dx)- f(x0 )也趋于零, 即
, 或,
那么就称函数y=f(x)在点x0 处连续.
注: ①
‍②设x=x0+Dx, 则当Dx®0时, x®x0, 因此
‍ÛÛ.
‍函数连续的等价定义2:设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义
的正数e , 总存在着正数d , 使得对于适合不等式|x-x0|<d 的一切x, 对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-f(x0)|<e ,
那么就称函数y=f(x)在点x0处连续.
‍左右连续性:
‍如果, 则称y=f(x)在点处左连续.
‍如果, 则称y=f(x)在点处右连续.
‍左右连续与连续的关系:
‍函数y=f(x)在点x0处连续Û函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续.
‍函数在区间上的连续性:
‍在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续.
‍连续函数举例:
‍1. 如果f(x)是多项式函数, 则函数f(x)在区间(-¥, +¥)内是连续的.
‍这是因为, f(x)在(-¥, +¥)内任意一点x0处有定义, 且
.
‍2. 函数在区间[0, +¥)内是连续的.
‍3. 函数y=sin x 在区间(-¥, +¥)内是连续的.
‍证明: 设x为区间(-¥, +¥)内任意一点. 则有
‍Dy=sin(x+Dx)-sin x,
因为当Dx®0时, Dy是无穷小与有界函数的乘积, 所以. 这就证明了函数y=sin x在区间(-¥, +¥)内任意一点x都是连续的．

‍4. 函数y=cos x 在区间(-¥, +¥)内是连续的.

‍二、函数的间断点
‍间断定义:
‍设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f(x)有下列三种情形之一:
‍(1)在x0没有定义;
‍(2)虽然在x0有定义, 但f(x)不存在;
‍(3)虽然在x0有定义且f(x)存在, 但f(x)¹f(x0);
则函数f(x)在点x0为不连续, 而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.
‍例1. 正切函数y=tan x在处没有定义, 所以点是函数tan x的间断点.
‍因为, 故称为函数tan x的无穷间断点.
‍例2. 函数在点x=0没有定义, 所以点x=0是函数的间断点.
当x®0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.
‍例3. 函数在x=1没有定义, 所以点x=1是函数的间断点.
‍因为, 如果补充定义: 令x=1时y=2, 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
‍例4. 设函数.
‍因为,, , 所以x=1是函数f(x)的间断点.
‍如果改变函数f(x)在x=1处的定义:令f(1)=1, 则函数f(x)在x=1 成为连续, 所以x=1也称为该函数的可去间断点.
‍例5. 设函数.
‍因为,
‍,
‍,
所以极限不存在, x=0是函数f(x)的间断点. 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象, 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点.

‍间断点的分类:
‍通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点, 但左极限f(x0-0)及右极限f(x0+0)都存在, 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.
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